劉曉飛，張 堃，宋國(guó)翠

(中山火炬職業(yè)技術(shù)學(xué)院，廣東 中山 528437)

0 引 言

快速工具伺服系統(tǒng)(FTS)被廣泛研究并應(yīng)用于工業(yè)制造、航空航天、國(guó)防軍事、天文觀測(cè)等多個(gè)領(lǐng)域，F(xiàn)TS具有高頻響、高精度的特點(diǎn)。目前面臨一大技術(shù)難題是設(shè)計(jì)有效的控制器。在這方面國(guó)外學(xué)者做了研究大量研究，也取得不少成果[1]。 Fu J T等人采用PID控制方法效果良好，但是對(duì)模型參數(shù)要求高，影響系統(tǒng)的穩(wěn)定性，并且頻率不高[2]; 劉春芳等人使用了免疫重復(fù)控制的策略，取得了較高控制精度，但存不能準(zhǔn)確跟蹤給定信號(hào)的缺陷[3]；黃慶等人則采用模糊自抗擾技術(shù)，取得良好效果，但方法過(guò)于復(fù)雜，實(shí)際操作比較困難[4]。

筆者采用一種壓電液壓快速工具伺服系統(tǒng)，可充分發(fā)揮其響應(yīng)快、精度高的特點(diǎn)，以具有積分作用的線性二次高斯控制器(LQGi)作為內(nèi)環(huán)控制器。采用高增益反饋(重復(fù)控制)相結(jié)合的方法來(lái)跟蹤諧波分量和前饋迭代學(xué)習(xí)控制(ILC)相結(jié)合的方法來(lái)實(shí)現(xiàn)對(duì)重復(fù)非諧波分量的跟蹤。通過(guò)仿真驗(yàn)證了本方案的可行性與有效性。

1 實(shí)驗(yàn)裝置

采用一種新型壓電液壓快速工具伺服系統(tǒng)，基于60 μm行程PZT的新型FTS設(shè)計(jì)，與設(shè)計(jì)行程和帶寬分別為1 mm和400 Hz的液壓放大方案耦合。這種設(shè)計(jì)的優(yōu)點(diǎn)是軸向放大，降低了對(duì)阿貝誤差的敏感性，具有緊湊的放大器設(shè)計(jì)和高帶寬行程比。

實(shí)驗(yàn)裝置由FTS裝置本身及其相關(guān)放大器、壓力和位移傳感器的外部信號(hào)調(diào)節(jié)器、實(shí)時(shí)目標(biāo)和主機(jī)等部件組成。實(shí)時(shí)目標(biāo)是安裝了PXI-7833R多功能RIO數(shù)據(jù)采集卡的儀器PXI機(jī)箱。該系統(tǒng)在所有實(shí)驗(yàn)中均以10 kHz采樣，實(shí)驗(yàn)設(shè)置系統(tǒng)圖見(jiàn)圖1所示。

圖1 實(shí)驗(yàn)設(shè)置系統(tǒng)圖

對(duì)于高性能控制設(shè)計(jì)，黑盒系統(tǒng)辨識(shí)模型更適合。使用動(dòng)態(tài)信號(hào)分析儀在5 Hz～5 kHz的頻率范圍內(nèi)進(jìn)行開(kāi)環(huán)裝置的四次掃描正弦識(shí)別(控制電壓至尖端位移)。輸入幅度從1 V變化到5 V。結(jié)果發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)具有非線性;最低振幅掃描與較高振幅掃描具有根本不同的波德圖。為了研究這種非線性的來(lái)源，進(jìn)行了靜態(tài)實(shí)驗(yàn)，其中將直流步進(jìn)給到PZT放大器，并且用外部傳感器測(cè)量實(shí)際尖端位移，以消除作為非線性源的傳感器。發(fā)現(xiàn)存約2 V的死區(qū)，之后位移與控制電壓成線性關(guān)系。雖然存在死區(qū)，但它不影響系統(tǒng)傳遞函數(shù)的變化，因?yàn)榇蠖鄶?shù)時(shí)候控制信號(hào)不進(jìn)入死區(qū)。由于放大器設(shè)備在PZT上放置了大量負(fù)載，因此PZT放大器可能存在電流飽和問(wèn)題，所以PZT驅(qū)動(dòng)電子設(shè)備影響系統(tǒng)傳遞函數(shù)的變化，

為了嘗試在裝置上使用線性控制，我們假設(shè)內(nèi)環(huán)控制器可以將控制電壓保持在線性區(qū)域。對(duì)于出現(xiàn)的強(qiáng)烈的諧波分量，提出了一種高增益反饋(重復(fù)控制)相結(jié)合的方法來(lái)跟蹤諧波分量和前饋迭代學(xué)習(xí)控制(ILC)相結(jié)合的方法來(lái)實(shí)現(xiàn)對(duì)重復(fù)非諧波分量的跟蹤。以具有積分作用的線性二次高斯控制器(LQGi)作為內(nèi)環(huán)控制器。

2 LQGi控制設(shè)計(jì)

LQGi控制是將系統(tǒng)辨識(shí)模型放入狀態(tài)空間形式，如公式(1)所示。設(shè)備型增加了一個(gè)額外的狀態(tài)， 公式(2)所示：

(1)

(2)

LQGi控制器在MISO系統(tǒng)中，其輸入是工廠輸出y和誤差r-y?？刂破魅〉玫焦?(3)的形式。

控制器取決于參數(shù)kx、ki和L，分別是狀態(tài)反饋、積分器和觀測(cè)器增益。通過(guò)求解代數(shù)黎卡提方程(ARE) ，得到了狀態(tài)反饋和積分器增益。將離散時(shí)間的解決方案稱為加權(quán)矩陣Q和R為dlqr(A，B，Q，R)。這樣得到狀態(tài)反饋增益如下：

[KxKi]=dlqr(Aaug,Baug,Qk,Rk)

(4)

其中加權(quán)矩陣Qk和Rk參數(shù)化如方程式(5)所示：

(5)

使得我們可以用兩個(gè)參數(shù)來(lái)參數(shù)化LQGi控制器：一個(gè)控制狀態(tài)反饋部分，另一個(gè)控制積分器。

觀測(cè)器增益是通過(guò)求解ARE, 如公式 (6)，使用加權(quán)矩陣Q0和R0作為調(diào)整參數(shù)。

(6)

3 ILC控制設(shè)計(jì)

首先，根據(jù)方程式(8)和圖2中的更新定律，允許ILC收斂到最終的前饋輸入序列。圖2中Q是一個(gè)線性相位低通濾波器環(huán)節(jié)，如公式(7)所示，階數(shù)為6，用于降低建模不當(dāng)?shù)母哳l系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)的影響。L是閉環(huán)裝置G的倒數(shù)，可以通過(guò)零相位誤差跟蹤控制(ZPETC)獲得。在學(xué)習(xí)過(guò)程中，重復(fù)控制器保持?jǐn)嚅_(kāi)狀態(tài)，不允許干擾。這使得ILC和重復(fù)控制器可以單獨(dú)設(shè)計(jì)。

圖2 ILC控制器結(jié)構(gòu)

學(xué)習(xí)過(guò)程的迭代性質(zhì)允許更積極的低通濾波器，通過(guò)設(shè)置小的學(xué)習(xí)增益來(lái)確保每個(gè)連續(xù)的迭代與前一次迭代的差別最小。這使得我們能夠比重復(fù)性的高增益反饋型控制器更深入地探索高頻區(qū)域。

(7)

uILC(k+1)=Q[uILC(k)+uLe(k)]

(8)

在ILC收斂到穩(wěn)態(tài)前饋輸入后，自適應(yīng)停止，ILC表現(xiàn)為靜態(tài)前饋濾波器。此時(shí)，重復(fù)控制器連接并衰減誤差中其設(shè)計(jì)基頻的任何剩余諧波。

4 重復(fù)控制器設(shè)計(jì)

完整控制器的框圖如圖3所示;在該圖中，Q再次是零相位低通濾波器環(huán)節(jié)，如公式(7)所示，但是10階，并且F與用作ILC公式中的學(xué)習(xí)濾波器的濾波器相同。

圖3 控制器框圖

圖4 乘法不確定性模型

重復(fù)控制設(shè)計(jì)的主要變量是低通濾波器Q傳遞函數(shù)，其階數(shù)經(jīng)過(guò)優(yōu)化以保證魯棒穩(wěn)定性。對(duì)帶有重復(fù)插件控制器的LQGi閉環(huán)進(jìn)行了魯棒穩(wěn)定性和靈敏度分析，如圖4所示。通過(guò)控制設(shè)計(jì)模型與原始頻率響應(yīng)數(shù)據(jù)之間的差異，計(jì)算出控制設(shè)計(jì)模型的不確定性界限。從小增益定理出發(fā)，魯棒穩(wěn)定的一個(gè)充分條件|TWr|<1，其中T是互補(bǔ)靈敏度函數(shù)，Wr是先前得到的不確定性界限。為了計(jì)算靈敏度和互補(bǔ)靈敏度函數(shù)，必須得到回路增益。假定參考值為零時(shí)，MISO LQGi控制器可以縮減為SISO控制器C=C2-C1，其中C1是MISO控制器從工廠輸出到控制(狀態(tài)反饋部分)的傳遞函數(shù)，C2是傳遞函數(shù)從誤差到控制，通過(guò)這種簡(jiǎn)化，可以顯示環(huán)路增益：

L=(1+Cr(z))(C2(z)-C1(z))P(z)

(9)

(10)

Cr代表重復(fù)控制器，定義如方程式(10)所示。一旦獲得環(huán)路增益，就可以計(jì)算靈敏度和補(bǔ)充靈敏度函數(shù)。驗(yàn)證方程式|TWr|<1條件的圖形方法是繪制兩個(gè)函數(shù)的幅值，并確保T在整個(gè)頻帶內(nèi)低于Wr，如方程式(9)所示。對(duì)于僅用LQGi控制器的情況，并且插入式重復(fù)控制器打開(kāi)，得到了互補(bǔ)靈敏度函數(shù)。為了實(shí)現(xiàn)魯棒穩(wěn)定性，必須對(duì)重復(fù)公式中的低通濾波器Q傳遞函數(shù)進(jìn)行調(diào)諧，以切斷互補(bǔ)靈敏度函數(shù)中由于重復(fù)瞄準(zhǔn)基本重復(fù)頻率的所有諧波而產(chǎn)生的高頻峰值。由于濾波器Q傳遞函數(shù)的作用，為了實(shí)現(xiàn)魯棒穩(wěn)定性，靈敏度函數(shù)中的正態(tài)深重復(fù)缺口最大僅下降40 dB。

5 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

第一個(gè)實(shí)驗(yàn)是只使用內(nèi)環(huán)LQGi控制器跟蹤輪廓。從跟蹤結(jié)果可以清楚地看出，內(nèi)環(huán)控制器雖然能夠很好地跟蹤大部分諧波段的振幅，但相位延遲較大。這導(dǎo)致其整體跟蹤性能最差，均方根誤差(RMSE)為53.1 μm。為了減小相位誤差，除了LQGi內(nèi)環(huán)外，還開(kāi)啟了重復(fù)控制器，重復(fù)控制雖然糾正了相位誤差，但不能完全跟蹤基準(zhǔn)，特別是在方向變化附近，而且在斜坡和實(shí)際輪廓之間的過(guò)渡過(guò)程中會(huì)出現(xiàn)較大的瞬態(tài)。重復(fù)控制器比單用LQGi更好，將均方根誤差降低到10.4 μm。對(duì)于第三個(gè)測(cè)試，ILC與內(nèi)部回路LQGI控制器一起啟用 ,這產(chǎn)生了迄今為止最好的整體跟蹤性能，也補(bǔ)償了大振幅段中的相位延遲。然而，這些測(cè)試是在理想條件下進(jìn)行的，沒(méi)有像切割金屬那樣給刀架施加干擾力。重復(fù)控制器的加入增加了抗干擾能力，也提高了性能。組合控制器的結(jié)果表明重復(fù)控制器的加入使在2.8 μm均方根誤差下測(cè)試的所有控制器的跟蹤性能最佳。跟蹤結(jié)果匯總在表 1中。從頻譜上看，在輪廓的主要諧波分量(100 Hz)處，重復(fù)控制單獨(dú)提供約40 dB的誤差減小，ILC單獨(dú)提供近60 dB，組合控制器將誤差信號(hào)中的諧波減小70 dB。

表1 控制結(jié)果匯總表

對(duì)黑盒系統(tǒng)進(jìn)行了辨識(shí)，得到了控制設(shè)計(jì)模型。研究并表征了系統(tǒng)的非線性，為了減小其影響設(shè)計(jì)了一種內(nèi)環(huán)路控制器。設(shè)計(jì)組合反饋和前饋外環(huán)控制器，并在物理系統(tǒng)上進(jìn)行了設(shè)計(jì)和實(shí)現(xiàn)，跟蹤了實(shí)際測(cè)試模式。通過(guò)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了組合控制模式在所有控制器排列中的跟蹤誤差最小。

6 結(jié) 語(yǔ)

針對(duì)壓電液壓快速工具伺服系統(tǒng)，提出了以具有積分作用的線性二次高斯控制器(LQGi)作為內(nèi)環(huán)控制器，采用高增益反饋(重復(fù)控制)相結(jié)合的方法來(lái)跟蹤諧波分量和前饋迭代學(xué)習(xí)控制(ILC)相結(jié)合的方法來(lái)實(shí)現(xiàn)對(duì)重復(fù)非諧波分量的跟蹤。仿真結(jié)果表明，所提出的控制方法取得了良好的效果，該方法能夠?qū)ο到y(tǒng)進(jìn)行快速響應(yīng)，且具有較強(qiáng)的抗干擾性能，改善了系統(tǒng)的穩(wěn)定性，提高了加工精度，最終驗(yàn)證了本方案的可行性與有效性。