尤晶晶，朱俊豪，符周舟，雙家煒

（1.南京林業(yè)大學(xué)機(jī)械電子工程學(xué)院，江蘇 南京 210037；2.江蘇省精密與微細(xì)制造技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，江蘇 南京 210016；3.南京林業(yè)大學(xué)汽車與交通工程學(xué)院，江蘇 南京 210037）

1 引言

并聯(lián)機(jī)構(gòu)具有高剛度、高精度等優(yōu)點(diǎn)，愈發(fā)受到關(guān)注[1]，其中的六自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)在傳感器[2-3]、模擬器[4]等領(lǐng)域有著非常良好的應(yīng)用前景。并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)正解算法是研究其動(dòng)力學(xué)控制、奇異位形、工作空間等問題的基礎(chǔ)，甚至可以說，正解問題不解決，后續(xù)工作將舉步維艱。針對(duì)該問題，國內(nèi)外學(xué)者提出了很多不同的方法，如對(duì)偶四元數(shù)[5-6]、粒子群[7]、拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)[8-9]。從算法形式來劃分，并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)正解又可以分為解析法、數(shù)值法和半解析法（本質(zhì)上也是數(shù)值法）。其中，數(shù)值法適用于任何構(gòu)型，但運(yùn)算效率低、過度依賴于給定的初值且容易失根。相比較，解析法有明確的數(shù)學(xué)表達(dá)式，精確度高、運(yùn)算效率高，有著數(shù)值法和半解析法無法比擬的優(yōu)勢，故六自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)要想得到大規(guī)模的實(shí)際運(yùn)用，給出其正解的解析表達(dá)式極其重要。

從檢索到的文獻(xiàn)資料來看，并不是所有的六自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)都具有解析正解，而且，即使存在解析解，其推導(dǎo)過程也異常復(fù)雜，不利于程式化。在文獻(xiàn)[10]中提出了一種可完全解耦的六自由度十二桿的臺(tái)體型冗余并聯(lián)機(jī)構(gòu)，并給出了其運(yùn)動(dòng)學(xué)正解的求解流程。然而，進(jìn)一步研究發(fā)現(xiàn)，由于不能確定正解的具體個(gè)數(shù)，該算法在處理幾類特殊位形時(shí)存在增根或失根的可能性，這將影響機(jī)構(gòu)的連續(xù)性控制。

針對(duì)上述問題，通過剖析文獻(xiàn)[10]的正解算法，并結(jié)合機(jī)構(gòu)拓?fù)錁?gòu)型內(nèi)固有的尺度約束關(guān)系，對(duì)所有可能出現(xiàn)的特殊位形逐類進(jìn)行分析，確定了新型并聯(lián)機(jī)構(gòu)的正解數(shù)，給出了最終的解析解表達(dá)式。最后，通過虛擬試驗(yàn)驗(yàn)證了算法的正確性。

2 結(jié)構(gòu)模型及正解算法

2.1 結(jié)構(gòu)模型

所討論的并聯(lián)機(jī)構(gòu)共有12根初始長度為L的可伸縮支鏈，支鏈的一端通過一般球鉸鏈與靜平臺(tái)相連，另一端通過復(fù)合球鉸鏈與動(dòng)平臺(tái)相連，且每兩條支鏈共用1個(gè)復(fù)合球鉸鏈；動(dòng)平臺(tái)是邊長為2n的正方體，靜平臺(tái)是邊長為2（n+L）的空殼狀正方體；初始狀態(tài)下，動(dòng)平臺(tái)與靜平臺(tái)的中心點(diǎn)重合，且姿態(tài)相同；六個(gè)復(fù)合球鉸鏈分別位于動(dòng)平臺(tái)的左上棱、后上棱、右后棱、右下棱、左前棱、前下棱的中點(diǎn)位置，如圖1所示。

圖1 初始位形下的機(jī)構(gòu)簡圖Fig.1 Schematic Diagram of Mechanism in the Initial State

2.2 正解算法

以靜平臺(tái)的中心為原點(diǎn)，固連三維直角坐標(biāo)系｛o-x-y-z｝，其中，x、y、z軸分別指向靜平臺(tái)右側(cè)面、上側(cè)面、前側(cè)面的中心點(diǎn)。將靜平臺(tái)上十二個(gè)一般球鉸鏈的中心點(diǎn)記為b1～b12，動(dòng)平臺(tái)上六個(gè)復(fù)合球鉸鏈的中心點(diǎn)記為B1～B6，動(dòng)平臺(tái)的中心點(diǎn)記為P，十二條支鏈記為①～12○，其實(shí)時(shí)桿長表示為li。分別將B1、B2、B3、P點(diǎn)的笛卡爾坐標(biāo)表示為（x1，y1，z1）、（x2，y2，z2）、（x3，y3，z3）、（x0，y0，z0），因此，正解算法中共有十二個(gè)未知量。任意給定一組桿長，容易推導(dǎo)出y1、z1、x2、y2、x3、z3、x0、y0、z0這9個(gè)量的解析表達(dá)式[10]。然而，在特殊位形時(shí)，x1、y3、z2可能會(huì)出現(xiàn)多解。為便于討論，這里首先對(duì)多解的情況進(jìn)行分組，如表1所示。

表1 多解情況的分組Tab.1 The Division of Situations of Multiple Solutions

3 正解唯一性分析

3.1 兩組解的情況分析

以位形1為例，2、3的分析過程與此類似。根據(jù)動(dòng)平臺(tái)上復(fù)合球鉸鏈之間、復(fù)合球鉸鏈與動(dòng)平臺(tái)質(zhì)心之間的固有尺度約束關(guān)系，建立未知量之間的約束方程：

當(dāng)x2≠0且x3≠0或者x2=0且x3≠0或者x2≠0且x3=0時(shí)，x1均具有唯一解。

構(gòu)型中，B1B2平行于B3P，且B1、B2、B3、P四點(diǎn)共面。因此，當(dāng)x2=0且x3=0時(shí)，x1只有零解。

綜上所述，當(dāng)x0，y0，z0中只有一個(gè)為0時(shí)，新型并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)正解是唯一的。

3.2 四組解的情況分析

以位形4為例，位形5、6的分析過程與此類似。約束方程為：

當(dāng)z1≠0且y1≠0或者z1=0、y1≠0且z3≠0時(shí)，y3、z2有唯一解。

當(dāng)z1=0、y1≠0且z3=0時(shí)，y3有唯一解；另外，根據(jù)“四點(diǎn)共面”，z2的值等于0。同理，當(dāng)z1≠0且y1=0時(shí)，y3、z2有唯一解。

當(dāng)z1=y1=0時(shí)，若y2=z3=0，則由“四點(diǎn)共面”可得z2=y3=0；若y2=0且z3≠0，則z2有唯一解，且由“四點(diǎn)共面”得到y(tǒng)3=0；若z3=0且y2≠0，同理可得，y3、z2只有唯一解；若z3≠0且y2≠0，由“四點(diǎn)共面”可得z2≠0、y3≠0，且：

為更好地描述式（3）中變量之間的幾何關(guān)系，以y3、z2為正交軸建立輔助笛卡爾坐標(biāo)系，如圖2所示。

圖2 輔助笛卡爾坐標(biāo)系Fig.2 The Auxiliary Cartesian Coordinate System

式（3）中的前兩個(gè)方程在坐標(biāo)系中表示為四條直線，如圖2中的虛線所示，它們的四個(gè)交點(diǎn)A、B、C、D關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。第三個(gè)方程為一條斜線，理論上它與A、B、C、D可能有一個(gè)交點(diǎn)（如L1、L3、L4等），也可能有兩個(gè)交點(diǎn)（如L2、L5等），而后者一定對(duì)應(yīng)著斜線過原點(diǎn)的情況。由于z1=y1=y0=z0=0，故B1、P點(diǎn)在x軸上；又因?yàn)锽2與B1、P的距離相等，故B2在x軸上的投影為B1、P的中點(diǎn)。同理，B3在x軸上的投影也為B1、P的中點(diǎn)。又由于n＞0，故第三個(gè)方程對(duì)應(yīng)的斜線一定不可能過原點(diǎn)。綜上所述，當(dāng)x0，y0，z0中有兩個(gè)為0時(shí)，正解是唯一的。

3.3 八組解的情況分析

約束方程為：

3.3.1 位形7

以x2=0為例分析，其它五種情況與此類似。

結(jié)合式（4）可知，x1、y3有唯一解。

3.3.2 位形8

僅分析三種典型情況，其它與此類似。

當(dāng)x2=x3=0時(shí)，由“四點(diǎn)共面”關(guān)系得到x1、y3、z2的唯一解。

當(dāng)z1=y1=0時(shí)，x1、z2、y3有唯一解。

當(dāng)x2=z1=0時(shí)，x1、z2、y3有唯一解。

3.3.3 位形9

僅分析兩種典型情況，其它與此類似。

當(dāng)x2=x3=z1=0時(shí)，由“四點(diǎn)共面”關(guān)系得到x1、y3、z2的唯一解。

當(dāng)x2=z1=y2=0時(shí)，z2有唯一解。此時(shí)，B2、P點(diǎn)都在z軸上；又因?yàn)锽2P平行于B1B3，所以B1B3也平行于z軸，即y3=y1且x1=x3。因此，x1、y3的解唯一。

3.3.4 位形10

以x2=x3=z1=y1=0為例進(jìn)行分析。由“四點(diǎn)共面”得到x1=0；再結(jié)合式（4），z2、y3的解唯一。

3.3.5 位形11

以x2=x3=z1=y1=y2=0為例進(jìn)行分析。z2的解唯一；再結(jié)合“四點(diǎn)共面”關(guān)系，得到x1=y3=0。

3.3.6 位形12

直接由“四點(diǎn)共面”關(guān)系得到：x1=y3=z2=0。

3.3.7 位形13

當(dāng)上述行列式的值等于零時(shí)，方程組發(fā)生退化；但此時(shí)由“四點(diǎn)共面”的幾何特征關(guān)系可得：

綜上，當(dāng)x0，y0，z0全部為0時(shí)，正解也是唯一的。

4 虛擬試驗(yàn)的算例驗(yàn)證

運(yùn)用Mathematica軟件建立新型并聯(lián)機(jī)構(gòu)的虛擬樣機(jī)，如圖3所示。其中，質(zhì)量塊的邊長和支鏈的初始長度分別設(shè)置為30mm、25mm。虛擬試驗(yàn)中，通過給定并聯(lián)機(jī)構(gòu)12條支鏈的長度，可以測量出動(dòng)平臺(tái)的位置、姿態(tài)數(shù)據(jù)以及所有特征點(diǎn)的坐標(biāo)值；相反地，通過給定動(dòng)平臺(tái)的位置、姿態(tài)或者三個(gè)非共線特征點(diǎn)的坐標(biāo)值，也可以測量出12條支鏈的長度數(shù)據(jù)。

圖3 并聯(lián)機(jī)構(gòu)的虛擬樣機(jī)Fig.3 The Virtual Prototype of Parallel Mechanism

給出三個(gè)典型算例，首先，基于正解算法計(jì)算特征點(diǎn)的坐標(biāo)值；然后，將理論計(jì)算值與試驗(yàn)測量數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比，如表2所示。結(jié)果顯示，該新型并聯(lián)機(jī)構(gòu)具有確定的、唯一的運(yùn)動(dòng)學(xué)正解，且計(jì)算值與試驗(yàn)值完全吻合，表明這里的算法是正確、有效的。

表2 并聯(lián)機(jī)構(gòu)正解模型的算例驗(yàn)證Tab.2 Exam ples of Forward Kinematics of Parallel Mechanism

5 結(jié)論

針對(duì)一種新提出的12-6臺(tái)體型并聯(lián)機(jī)構(gòu)，對(duì)其正向運(yùn)動(dòng)學(xué)算法進(jìn)行了剖析，從理論上證明了該機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)正解不存在增根和失根的現(xiàn)象，并推導(dǎo)出了全解析表達(dá)式。進(jìn)一步通過虛擬試驗(yàn)驗(yàn)證了所提出方法的正確性和有效性。研究結(jié)果表明，當(dāng)給定一組合適的桿長時(shí)，并聯(lián)機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)的位姿能夠唯一確定，這為機(jī)構(gòu)后續(xù)的實(shí)時(shí)、有效控制奠定了理論保障。下一步工作計(jì)劃是從輸入、輸出量的解析映射出發(fā)，推導(dǎo)并求解桿長協(xié)調(diào)方程。