王博　于金鵬　于海生

摘要：針對永磁同步電機(jī)驅(qū)動(dòng)的柔性關(guān)節(jié)機(jī)器人的位置跟蹤控制問題，本文采用反步法進(jìn)行控制，并基于永磁同步電機(jī)和柔性關(guān)節(jié)機(jī)器人構(gòu)建的新系統(tǒng)，通過永磁同步電機(jī)的電壓，實(shí)現(xiàn)機(jī)器人的位置跟蹤。同時(shí)，結(jié)合模糊自適應(yīng)控制方法，利用命令濾波技術(shù)，解決了傳統(tǒng)反步法中存在的“計(jì)算復(fù)雜性”問題。為驗(yàn)證本文控制算法的有效性，利用Matlab進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，機(jī)器人的位置信號可以快速跟蹤給定的期望信號，且跟蹤誤差小，跟蹤效果良好，控制精度高，說明本文所設(shè)計(jì)的控制方法，對永磁同步電機(jī)驅(qū)動(dòng)的柔性關(guān)節(jié)機(jī)器人系統(tǒng)具有良好的控制效果。該研究能夠有效實(shí)現(xiàn)對柔性關(guān)節(jié)機(jī)器人的位置跟蹤控制，具有較好的應(yīng)用前景。

關(guān)鍵詞：模糊自適應(yīng)控制; 命令濾波反步控制; 柔性關(guān)節(jié)機(jī)器人; 永磁同步電機(jī)

中圖分類號： TP242.2; TP273+.4; TM341文獻(xiàn)標(biāo)識碼： A

文章編號： 1006-9798（2020）02-0083-08; DOI： 10.13306/j.1006-9798.2020.02.013

目前，機(jī)器人控制在國內(nèi)外引起了越來越多的關(guān)注。機(jī)器人在各個(gè)領(lǐng)域發(fā)展迅速，在搶災(zāi)救險(xiǎn)、娛樂及軍事等許多方面都具有非常好的應(yīng)用前景[1-3]。其中，柔性關(guān)節(jié)機(jī)器人（flexible joint robot，F(xiàn)JR）因?yàn)榫哂懈哓?fù)載、質(zhì)量輕，低功耗等特點(diǎn)被廣泛應(yīng)用，對其控制方法的研究成為焦點(diǎn)問題。以往針對FJR的控制方法[4-6]大多只考慮其本身的動(dòng)力學(xué)模型，通過控制驅(qū)動(dòng)電機(jī)的輸出力矩，實(shí)現(xiàn)機(jī)器人的位置跟蹤，忽略了其驅(qū)動(dòng)電機(jī)的控制問題，導(dǎo)致工程實(shí)踐中控制效果不佳。為了提高FJR系統(tǒng)的控制效果，應(yīng)同時(shí)考慮其驅(qū)動(dòng)電機(jī)系統(tǒng)的控制穩(wěn)定性。近年來，隨著電機(jī)相關(guān)理論及控制技術(shù)日趨成熟，永磁同步電機(jī)（permanent magnet synchronous motor，PMSM）以其功率因數(shù)高、結(jié)構(gòu)簡單、使用周期長及維護(hù)簡單等優(yōu)點(diǎn)取得越來越廣泛的應(yīng)用[7]，PMSM的自身特性滿足FJR驅(qū)動(dòng)控制的需要，因此PMSM可以被用作FJR的驅(qū)動(dòng)電機(jī)。FJR系統(tǒng)與PMSM系統(tǒng)都是非線性系統(tǒng)，具有強(qiáng)耦合、高階次等特性，其控制器設(shè)計(jì)過程十分復(fù)雜。針對此類系統(tǒng)，學(xué)者們提出了反步控制[8-9]、奇異攝動(dòng)控制[10-11]和滑模控制[12-13]等控制方法。趙丹青[14]使用反步法對FJR進(jìn)行控制，但傳統(tǒng)反步法在應(yīng)用過程中仍然存在無法處理系統(tǒng)中未知的非線性函數(shù)項(xiàng)及虛擬控制信號重復(fù)求導(dǎo)引起的“計(jì)算復(fù)雜性”問題這兩個(gè)缺點(diǎn)，限制了傳統(tǒng)反步法應(yīng)用的范圍。為了克服傳統(tǒng)反步法中的第1個(gè)缺點(diǎn)，于金鵬等人[15]提出了一種基于模糊邏輯系統(tǒng)（fuzzy logic system，F(xiàn)LS）逼近的自適應(yīng)反步法，來處理非線性系統(tǒng)中存在未知非線性函數(shù)的問題;針對第2個(gè)缺點(diǎn)，Tong S C等人[16]將模糊自適應(yīng)反步技術(shù)與動(dòng)態(tài)面技術(shù)相結(jié)合，引入一階濾波器，解決了“計(jì)算復(fù)雜性”問題，然而在應(yīng)用過程中濾波器會產(chǎn)生濾波誤差，導(dǎo)致系統(tǒng)的控制精度下降。為了解決上述問題，可在高階非線性系統(tǒng)控制中引入命令濾波技術(shù)，克服了動(dòng)態(tài)面技術(shù)的缺陷，對濾波器產(chǎn)生的濾波誤差進(jìn)行補(bǔ)償，控制效果更加理想[17]?；诖耍疚奶岢隽艘环N基于PMSM驅(qū)動(dòng)FJR的命令濾波模糊自適應(yīng)反步控制方法，并采用Matlab進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)。仿真結(jié)果證明本文提出的控制方法，對永磁同步電機(jī)驅(qū)動(dòng)的柔性關(guān)節(jié)機(jī)器人系統(tǒng)具有良好的控制效果。

1PMSM驅(qū)動(dòng)的FJR的數(shù)學(xué)模型

單自由度FJR的動(dòng)力學(xué)模型[18]為

其中，q代表機(jī)器人的角度;代表機(jī)器人的角加速度;I代表機(jī)器人的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量;g（q）代表機(jī)器人的重力矩;J代表電機(jī)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量;τ代表機(jī)器人的輸入力矩;τm代表驅(qū)動(dòng)電機(jī)的電磁轉(zhuǎn)矩;K代表彈簧系數(shù);Θ代表電機(jī)的角度;ω代表電機(jī)的角速度。

在d-q軸同步旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系下，PMSM的部分?jǐn)?shù)學(xué)模型[19]描述為

其中，ω代表電機(jī)的角速度;τm代表電機(jī)的電磁轉(zhuǎn)矩;iq和id分別代表電機(jī)的q軸和d軸定子電流;uq和ud分別代表電機(jī)的q軸和d軸定子電壓;代表永磁體產(chǎn)生的磁鏈;np代表極對數(shù);Rs代表點(diǎn)擊的定子電阻;Lq和Ld分別代表q軸和d軸電感。

將式（1）和式（2）聯(lián)立，由PMSM驅(qū)動(dòng)的單自由度FJR的非線性系統(tǒng)為

為了更簡便的表示基于PMSM驅(qū)動(dòng)的FJR模型，定義新的變量為

則新建立的非線性系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型為

系統(tǒng)的控制目標(biāo)為設(shè)計(jì)控制器的輸入uq和ud，使輸出信號x1能跟蹤期望信號xd。

引理1[20]定義命令濾波器為

式中，1和2均為命令濾波器輸出信號;α1為命令濾波器的輸入信號，如果輸入信號α1對所有的t≥0，都使1≤ρ1和1≤ρ2成立。其中，ρ1和ρ2均為正常數(shù)。同時(shí)φ1（0）=α1（0），φ2（0）=0，則可得出對任意常數(shù)μ>0，存在ωn>0，且ζ∈（0，1]，使（φ1-α1）≤μ，1、1和φ···1都是有界的。

2控制器設(shè)計(jì)

根據(jù)反步設(shè)計(jì)方法，構(gòu)建PMSM驅(qū)動(dòng)的FJR命令濾波模糊控制器。定義跟蹤誤差變量為

式中，xd為位置的期望信號;x1，c，x2，c，x3，c，x4，c為濾波器的輸出信號。定義濾波誤差補(bǔ)償信號為ξi=zi-vi（i=1，2，3，4，5，6）。

第1步選取Lyapunov函數(shù)V1=12v21，求導(dǎo)后，得

構(gòu)建虛擬控制律α1和補(bǔ)償信號ξ1，即

其中，k1為正常數(shù)。通過式（7）和式（8），可將式（6）改寫為

第2步選取Lyapunov函數(shù)V2=V1+12v22，求導(dǎo)后得

其中，f2（Z）=-a1x1-a2g（x1），Z=[x1，x2，x3，x4，x5，x6，xd，d]T。根據(jù)萬能逼近定理[15]，對于任意給定ε2>0，存在一個(gè)模糊系統(tǒng)WT2S2（Z），使f2（Z）=WT2S2（Z）+δ（Z），其中δ（Z）為逼近誤差，并滿足‖δ（Z）‖≤ε2。在h2>0的情況下，可得

構(gòu)建虛擬控制律α2和補(bǔ)償信號ξ2，即

其中，k2為正常數(shù);為未知常數(shù)θ的估計(jì)值，θ的結(jié)構(gòu)將會在后文給出。將式（12）和式（13）代入式（11），可得

第3步選取Lyapunov函數(shù)V3=V2+12v23，求導(dǎo)后得

選取虛擬控制律α3和補(bǔ)償信號ξ3，即

將式（16）和式（17）代入式（15），有

第4步選取Lyapunov函數(shù)V4=V3+12v24，求導(dǎo)后得

其中，f4（Z）=b1x5x6-b3x3+b3x1。同理，運(yùn)用模糊邏輯系統(tǒng)逼近此非線性函數(shù)，對于任意給定的ε4>0，在h4>0的情況下，可得

選取虛擬控制律α4和補(bǔ)償信號ξ4，即

將式（21）和式（22）代入式（20），可得

第5步構(gòu)建Lyapunov函數(shù)V5=V4+12v25，求導(dǎo)后得

其中，f5（Z）=c1x5+c2x4x6+c3x4，任意給定的ε5>0，在h5>0的情況下，可得

選取真實(shí)控制律uq和補(bǔ)償信號ξ5，即

將式（26）和式（27）代入式（25），有

第6步構(gòu)建Lyapunov函數(shù)V6=V5+12v26，求導(dǎo)后得

其中，f6（Z）=d1x6+d2x4x5，對于任意給定的ε6>0，在h6>0的情況下，可得

選取真實(shí)控制律ud和補(bǔ)償信號ξ6，即

將式（31）和式（32）代入式（30），得

設(shè)計(jì)θ=max‖W2‖2，‖W4‖2，‖W5‖2，‖W6‖2。其中，是θ的估計(jì)值。定義估計(jì)誤差為

=θ-（34）

為了證明系統(tǒng)的穩(wěn)定性，構(gòu)建Lyapunov函數(shù)為

求導(dǎo)后得

選取自適應(yīng)律為

3穩(wěn)定性分析

將式（37）代入式（36），可得

由楊氏不等式可知

則式（38）可轉(zhuǎn)化為

其中，a=min{2k1，2k2，2k3，2k4，2k5，2k6，m1};b=12ε22+12h22+∑6i=412h2i+12ε2i+m12r1θ2。

由式（40）可得

式（41）表明，vi（i=1，2，3，4，5，6）屬于緊集Ω={（vi，）V≤V（t0）+a/b，t≥t0}，故閉環(huán)系統(tǒng)中的所有信號都是有界的，則limt→∞vi≤2b/a，其中i=1，2，3，4，5，6。

由于zi=vi+ξi，要想證明誤差zi是有界的，必須證明命令濾波中的補(bǔ)償信號ξi是有界的。

選取Lyapunov函數(shù)為

求導(dǎo)后得

其中，i=1，2，3，4，5，6。

由上述證明可知，vi和ξi都是有界的，則跟蹤誤差zi是有界的，即

其中，i=1，2，3，4，5，6。

當(dāng)選定參數(shù)ki和m1后，選取足夠大的r1和足夠小的μ，hi和εi，可以保證系統(tǒng)的跟蹤誤差足夠小。

4仿真結(jié)果分析

為驗(yàn)證本文的控制算法對PMSM驅(qū)動(dòng)的FJR系統(tǒng)的有效性，利用Matlab進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)。其中，機(jī)器人的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為I=0.2 kg·m2，機(jī)器人的質(zhì)量m=1 kg，重力加速度為g=9.8 m/s2，起始時(shí)刻q=0，機(jī)器人的重力矩為g（q）=-mgsin（q），彈簧系數(shù)K=10 000。

PMSM的參數(shù)：J=0.003 79 kg·m2，Rs=0.68 Ω，np=3，Ld=0.003 15 H，Lq=0.002 85 H，=0.124 5 Wb。

控制器的參數(shù)：k1=800，k2=200，k3=1，k4=500，k5=100，m1=0.5，r1=0.07，h2=h4=h5=h6=100。

命令濾波器的參數(shù)：ζ=0.7，ωn=3 000;期望的跟蹤信號：xd=sin（t）;選擇模糊集如下：

μF1i=exp-（x+5）22， μF2i=exp-（x+4）22， μF3i=exp-（x+3）22， μF4i=exp-（x+2）22

μF5i=exp-（x+1）22， μF6i=exp-（x-0）22， μF7i=exp-（x-1）22， μF8i=exp-（x-2）22

μF9i=exp-（x-3）22， μF10i=exp-（x-4）22， μF11i=exp-（x-5）22

x1和xd的波形對比如圖1所示，跟蹤誤差z1的波形如圖2所示，q軸電壓隨時(shí)間變化曲線如圖3所示，d軸電壓隨時(shí)間變化曲線如圖4所示。

由圖1～圖4可以看出，本文設(shè)計(jì)的控制方法中，機(jī)器人的位置信號可以快速跟蹤給定的期望信號，并且跟蹤誤差小，跟蹤效果良好，響應(yīng)速度快，控制精度高。

5結(jié)束語

本文針對PMSM驅(qū)動(dòng)的FJR系統(tǒng)，將FJR的動(dòng)力學(xué)模型與PMSM的數(shù)學(xué)模型相結(jié)合，建立新的非線性系統(tǒng)。同時(shí)，采用命令濾波技術(shù)，結(jié)合模糊自適應(yīng)反步控制方法，通過PMSM的輸入電壓，實(shí)現(xiàn)了對FJR的位置控制。同時(shí)，利用模糊自適應(yīng)技術(shù)處理了新系統(tǒng)中的不確定非線性函數(shù)，將命令濾波技術(shù)與反步法結(jié)合應(yīng)用于新系統(tǒng)中，解決了傳統(tǒng)反步法中存在的“計(jì)算復(fù)雜性問題”;引入濾波誤差補(bǔ)償機(jī)制，對濾波器產(chǎn)生的誤差進(jìn)行補(bǔ)償，降低濾波誤差在控制過程中造成的影響。仿真結(jié)果表明，本文提出的控制方法能夠有效的實(shí)現(xiàn)對FJR的位置跟蹤控制。

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Command Filtered Fuzzy Control for Flexible Joint Robot Driven by Permanent Magnet Synchronous Motor

WANG Bo， YU Jinpeng， YU Haisheng

（School of Automation， Qingdao University， Qingdao 266071， China）

Abstract：Aiming at the position tracking control of the flexible joint robot driven by permanent magnet synchronous motor， this paper adopts the backstepping and realizes the position tracking of the robot through the voltage of the permanent magnet synchronous motor based on the new system constructed by permanent magnet synchronous motor and flexible joint robot. At the same time， the problem of "computational complexity" in the traditional backstepping is solved by the command filtering technology combined with the adaptive fuzzy control method. The simulation experiment is carried out in Matlab to verify the effectiveness of the control algorithm in this paper. The experimental results show that the position signal of the robot can accurately track the desired signal. The method proposed in this paper has the advantages of small error， great tracking effect and excellent control accuracy. It shows that under the control method designed in this paper， the flexible joint robot system driven by PMSM has great control effect. The research can effectively realize the position tracking control of the flexible joint robot and has a good application prospect.

Key words：adaptive fuzzy control; command filtered backstepping control; flexible joint robot; permanent magnet synchronous motor

收稿日期： 2019-12-20; 修回日期： 2020-02-03

基金項(xiàng)目：? 國家重點(diǎn)研發(fā)計(jì)劃（2017YFB1303503）;國家自然基金資助項(xiàng)目（61573204）;泰山學(xué)者工程專項(xiàng)經(jīng)費(fèi)資助（TSQN20161026）

作者簡介： 王博（1994- ），男，山東煙臺人，碩士研究生，主要研究方向?yàn)闄C(jī)器人與電機(jī)控制。

通信作者： 于金鵬（1978- ），男，山東乳山人，教授，博士生導(dǎo)師，泰山學(xué)者，主要研究方向?yàn)殡娔茏儞Q與電機(jī)系統(tǒng)控制。 Email： yjp1109@126.com