林劍疊， 閻玉秀

(浙江理工大學 服裝學院，浙江 杭州 310018)

庫存管理(inventory management)是管理界永恒的話題，對庫存管理的研究一直都是生產管理領域探索的前沿[1]，特別是1905年威爾遜·哈利斯(HARRIS W)提出著名的經濟訂購批量(economic order quantity,EOQ)模型以后，現代存貯理論的發(fā)展有了重大突破。簡單的EOQ模型是單品種、確定型、多周期、需求獨立的基本經濟訂貨批量模型，主要用于解決庫存訂貨決策問題[2]。近年來，計算機科學的成熟發(fā)展也為庫存管理中的仿真模型提供了計算基礎，使模型大大貼合生產管理的實際需要。服裝庫存管理一直是EOQ模型的經典應用領域，眾多學者引入需求服從隨機分布的EOQ模型、需求時序函數的EOQ模型等[3-5]。也有學者引入缺貨延遲的庫存管理模型，主要考慮生產過程中的延遲，提出持續(xù)生產情況下的庫存決策模型，如張云豐等[6-7]在二級供應鏈系統中進行改良品研究，分析了銷售允許缺貨與供應商愿意提供價格折扣的博弈庫存模型。這些模型中變量較多，計算難度較大，不利于實際生產運用。由于消費者對服裝產品有獨特的偏好，可以接受一定的等待期，基于此，CHANG H J等[8]研究了易變質物品在考慮時變需求以及部分短缺量拖后時的EOQ問題；羅兵[1]將時變需求和部分短缺量拖后時的EOQ模型在汽車配件庫存問題中進行了一定程度的具體化，但無法針對具體零售環(huán)境指導商家采取相應的訂貨策略。

文中在文獻[1，3-7]的基礎上，針對服裝產品缺貨時消費者一定程度上可以接受延遲滿足的消費特點，建立需求穩(wěn)定的單個周期庫存管理平均總成本的數學模型，分析缺貨情況下服裝庫存的最低庫存管理成本和庫存訂貨策略，對缺貨影響因子及各個成本變量進行靈敏度測試。依照測試結果，商家可根據具體的環(huán)境采取相應訂貨策略。該模型簡單且易于理解，也貼合服裝銷售的實際特點，具有實用性，對研究缺貨狀態(tài)下的補貨策略具有現實意義。

1 模型描述及假設

服裝產品具有時尚性和季節(jié)性，零售商準備過多的庫存，會使其庫存成本和積壓資金大幅增加，但如果庫存不足就會導致缺貨，所以研究服裝銷售過程中的缺貨現象具有現實意義。另外消費者對自己喜歡的服裝產品可以接受一定的等待期，等待期內零售商對銷售策略及訂貨策略的適當調整，有助于避免零售商損失潛在的消費者，從而降低庫存管理成本。

基于服裝銷售過程的缺貨問題，提出缺貨延遲條件下的EOQ庫存模型，其基本特點為：訂貨提前期為零，當服裝持有量降低到零時，不一定立即補充庫存持有量，允許發(fā)生一定量的缺貨；在產品缺貨期間，部分消費者愿意等待這種缺貨量的拖后，所以缺貨期間的需求率比擁有現貨期間的需求率小。文中假定缺貨量拖后率與擁有現貨期間需求率的比值固定[1]，其庫存量變化如圖1 所示。

假設服裝產品供應間隔為T，現貨期間需求率R恒定，需求率R的銷售階段設為T1;在缺貨延遲情況下的需求率為R′，相應的銷售階段設為T2,R′的缺貨影響因子為α；周期開始時，企業(yè)進行一次性進貨，數量為Q；單件服裝在統計周期內的儲存費用(即單位庫存持有成本)為C1,單件服裝在統計周期的缺貨成本(即單位缺貨成本)為C2,單件服裝在缺貨期間引起的銷售機會損失成本(即缺貨引起的單位銷售機會損失成本)為C3,一次訂購服裝成本(即一次訂貨成本)為C4。T=T1+T2，T1時間內，期初庫存量為Q,期末庫存量為0，現貨期間需求率為R；T2時間內，期初庫存量為0，期末庫存量為-S，銷售需求量為R′。由此，需要研究：①服裝企業(yè)在T周期內如何實現單位周期庫存管理成本最低；②缺貨延遲條件下，各成本對最低庫存成本管理決策的影響。

通常情況下，缺貨量直接影響服裝銷售需求率，缺貨量增大，銷售需求率減小，但缺貨量足夠大時，缺貨量繼續(xù)增大，銷售需求率減小的幅度下降。因此可設缺貨延遲條件下銷售需求率為

R′=e-αRα≥0

(1)

將式(1)對α求導，得到

(2)

式(2)<0,表明隨著缺貨影響因子α增大，R′減小。由e-α(α≥0)的圖像可知，此假設與服裝零售商發(fā)生缺貨時的銷售情況相符合。

2 庫存模型的建立與求解

根據文中的模型假設，零售商在統計周期內庫存管理的相關成本主要包括庫存持有成本、缺貨成本、在缺貨期間引起的銷售機會損失成本、一次訂貨成本4部分。其中缺貨成本指不能滿足消費者需求所引起的損失，主要由兩部分組成：①生產系統處理誤期訂單而支付的費用，如趕單時的加班費等；②誤期交貨對企業(yè)收入的影響，如罰款等[9]。

文中借鑒文獻[1]的處理方式，將庫存持有量、缺貨量、在缺貨期間引起的銷售機會損失量分別用圖1中△abc，△cde，△cef的面積表示，故統計周期內持有成本為QT1C1/2，缺貨成本為ST2C2/2，在缺期間引起的銷售機會損失成本為(RT2-S)T2C3/2,則平均庫存總管理成本為

C(S,T)=

(3)

式中:

T1=Q/R；T2=S/R′。

進而根據式(1)整理求得

Q=RT-eαS

(4)

將式(1)、式(4)及T1,T2關系式代入式(3)，得到關于S和T的總函數，即

C(S,T)=

式(5)為未知變量，為S和T的多元函數，對其求最小值，可構建關于S和T的海塞矩陣

(6)

若海塞矩陣為正定，則最低庫存管理成本minC(S,T)存在[10]。采用判定H(C(S，T))的順序主子式皆大于0的方法，證明H(C(S，T))為正定矩陣，經計算

因此

(8)

式(7)、式(8)成立的條件是所有成本取值都為正且T>0，這些條件可以在現實中得到滿足，表明H(C(S,T))的順序主子式都大于0，即海塞矩陣H(C(S,T))是正定的，也即是minC(S,T)存在。設滿足minC(S,T)的未知數分別為S*,T*，則令?C/?S=0,?C/?T=0，聯合求解，得到最佳缺貨量

(9)

最佳服裝進貨周期為

(10)

將式(9)、式(10)代入式(4)，計算得最佳服裝進貨批量

(11)

此時

minC(S,T)=

3 實例數值仿真計算及分析

利用Matlab R2017a實現實例數值計算，對文中模型進一步討論，并根據某服裝零售商單品類數據對模型的主要參數進行靈敏度分析。

以1個季度為統計周期，進行零售商銷售數據的相關參數取值仿真。取R=2 000件,C1=1.2元/件,C2=3元/件,C3=8元/件,C4=35元/件，對α進行0～1的數值靈敏度分析。為了更加直觀地表達各變量對最佳缺貨量的影響，文中引入最佳缺貨率，即在零售商運營現狀下，庫存管理成本最低時的缺貨率。設最佳缺貨率為η，且η=S*/Q*，聯合式(9)～式(12)求解，運算結果見表1。由表1可以看出，S*,T*,Q*和minC(S,T)的數值范圍相差比較大，借鑒文獻[11]的處理方式，通過選定某個值，可計算出S*,T*,Q*和minC(S,T)相對于該值的變化，使得所有數據保持在較小范圍內，結果如圖2所示。

圖2中，橫坐標表示α的相對變化取值，α在0～1的數值范圍內以0.125的間距逐步遞增，其中α=0.5為各數值的中位數；縱坐標表示S*,Q*,T*,minC(S,T)等庫存因變量指標相比α=0.5時的相對變化量，縱坐標為0指與α=0.5時的指標值相等。由表1、圖2數值變化可知，隨著缺貨的延遲，α值遞增，S*與T*單調遞減，S*減小幅度逐漸減小，Q*與minC(S,T)呈小幅度遞增。由此可知，為保證庫存管理成本最低，缺貨延遲影響需求率的程度越大，缺貨量越?。粚畹蛶齑婀芾沓杀镜娜必浟肯陆?，其最低庫存管理成本小幅增加。

同樣，α=0.750時，分別對C1,C2,C3,C4進行數值靈敏度分析，結果見表2～表5。C1～C4對因變量相對變化的影響如圖3～圖6所示。

表5 C4對最佳庫存管理成本變量的影響

由圖3可知，當C1遞增時，T*,Q*均遞減，S*和minC(S,T)則遞增。這表明庫存持有成本增加時，零售商為了避免庫存占用過多的資金，需小批量進貨，同時縮短進貨周期，以保持較低的庫存管理成本。圖4表明，當C2遞增時，S*，T*單調遞減，Q*和minC(S,T)略微增加，說明當生產過程中因為誤期等意外造成的缺貨成本增加時，為避免管理成本過高，零售商應采用小批量進貨。由圖5看出，當C3增大時，S*遞減，說明避免缺貨是商家的最佳選擇。由圖6可知，當C4遞增時，S*，Q*遞減，T*和minC(S,T)遞增，說明在訂貨成本過高時，保持缺貨狀態(tài)能維持較低的庫存管理成本。

4 結語

服裝產品缺貨時，消費者一定程度上可以接受延遲滿足，針對此消費特點，在傳統EOQ模型的基礎上，建立單個周期中庫存管理平均總成本的數學模型，研究缺貨因素下服裝庫存的最低庫存管理成本和庫存訂貨策略，對缺貨影響因子及各個成本變量進行靈敏度測試。研究表明：

1)為保證庫存管理成本最低，缺貨延遲影響需求率的程度越大，缺貨量越??；對應最低庫存管理成本的缺貨量下降，最低庫存管理成本小幅增加。

2)庫存持有成本增大時，應小批量進貨，同時縮短進貨周期，以保持較低庫存管理成本。

3)當生產過程中因誤期等意外造成缺貨成本增加時，商家應小批量進貨。

4)訂貨成本過高時，可保持缺貨狀態(tài)，以降低庫存管理成本。

商家可參照靈敏度分析的結果根據具體情況采取相應的訂貨策略，因此缺貨延遲條件下的EOQ庫存模型對商家的運營管理具有一定參考意義。