王立棟， 陳原

(山東大學(xué)(威海) 機(jī)電與信息工程學(xué)院, 山東 威海 264209)

0 引言

當(dāng)兩船間進(jìn)行集裝箱貨物轉(zhuǎn)運(yùn)時，為避免吊裝集裝箱與被補(bǔ)給船甲板之間發(fā)生不必要的碰撞，確保吊裝作業(yè)的安全，同時實(shí)現(xiàn)集裝箱準(zhǔn)確下放至被補(bǔ)給船甲板的指定位置，需要在吊裝作業(yè)過程中利用波浪補(bǔ)償裝置消除補(bǔ)給船與被補(bǔ)給船之間的相對運(yùn)動。由于海上無規(guī)則的波浪和海風(fēng)運(yùn)動，海洋作業(yè)平臺或者工作船舶在進(jìn)行海上作業(yè)時會產(chǎn)生不規(guī)則運(yùn)動，需要進(jìn)行多維相對運(yùn)動補(bǔ)償。多維相對運(yùn)動補(bǔ)償技術(shù)又稱為波浪運(yùn)動補(bǔ)償技術(shù)，已廣泛應(yīng)用于海上石油開采[1]、浮吊重載打撈[2]、船舶間貨物轉(zhuǎn)運(yùn)[3]、深海采礦[4-5]、船舶建設(shè)[6]、潛水器吊放回收[7]、深?？辈靃8]等海上作業(yè)領(lǐng)域。近年來，隨著海洋重工業(yè)的高速發(fā)展，提高海上作業(yè)精度逐漸成為海上作業(yè)順利進(jìn)行的主要因素。海上波浪運(yùn)動補(bǔ)償裝置的研制，可以大大提高海上吊裝作業(yè)的精度和穩(wěn)定性，對提高港口吞吐能力具有一定的促進(jìn)作用。

現(xiàn)有用于海上吊裝作業(yè)的波浪運(yùn)動補(bǔ)償技術(shù)，大多采用單根驅(qū)動繩直接吊裝貨物，同時結(jié)合復(fù)雜的電、液或者氣動控制系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)貨物在升沉方向上的相對運(yùn)動補(bǔ)償，該補(bǔ)償技術(shù)也稱為主動或者被動式升沉補(bǔ)償技術(shù)[9]。隨動小車補(bǔ)償系統(tǒng)[10]和升沉補(bǔ)償緩沖器[10]是常用的被動式升沉補(bǔ)償系統(tǒng)。當(dāng)進(jìn)行貨物吊裝作業(yè)的兩船發(fā)生相對升沉運(yùn)動時，起重機(jī)驅(qū)動繩索承受的張力值會發(fā)生變化，此時波浪運(yùn)動補(bǔ)償器會根據(jù)張力值的變化對補(bǔ)償參數(shù)進(jìn)行調(diào)整，從而達(dá)到被動式波浪補(bǔ)償?shù)哪康?。但是，被動補(bǔ)償系統(tǒng)具有滯后性和補(bǔ)償精度較低等缺點(diǎn)。而主動式波浪補(bǔ)償系統(tǒng)中的主動控制器能實(shí)時檢測兩船之間的相對運(yùn)動偏差，并能利用先進(jìn)的控制算法或者結(jié)合波浪預(yù)報系統(tǒng)有效地提高補(bǔ)償精度。然而，主動式補(bǔ)償方式大多結(jié)合液壓絞車和電動吊臂等復(fù)雜系統(tǒng)。這類補(bǔ)償方式具有補(bǔ)償效率低和消耗能量多等不足。與多維波浪運(yùn)動補(bǔ)償技術(shù)相比，升沉補(bǔ)償技術(shù)的功能單一，僅僅可以實(shí)現(xiàn)升沉方向的相對運(yùn)動補(bǔ)償，貨物的放置位置精度和穩(wěn)定性難以得到保證。

為了彌補(bǔ)傳統(tǒng)升沉補(bǔ)償技術(shù)的不足，國內(nèi)外學(xué)者開展了多自由度相對補(bǔ)償技術(shù)的研究。20世紀(jì)80年代美國國家標(biāo)準(zhǔn)與技術(shù)研究院研制出一種用于重物吊裝的繩驅(qū)動并聯(lián)機(jī)器人RoboCrane[11]，其中6根驅(qū)動繩之間按照Stewart構(gòu)型連接，該機(jī)構(gòu)能夠控制貨物實(shí)現(xiàn)6自由度運(yùn)動。美國海軍研究辦公室研制出用于海上波浪補(bǔ)償?shù)腖VI LO/LO起重機(jī)[12]，可通過8根冗余驅(qū)動繩控制貨物實(shí)現(xiàn)6自由度運(yùn)動，同時也能利用慣性測量單元和攝像機(jī)陣列測量船與船之間的相對運(yùn)動，是目前國際上最先進(jìn)的6自由度波浪運(yùn)動補(bǔ)償技術(shù)。Lü等[13]也提出了與LVI LO/LO相似的6自由度并聯(lián)波浪補(bǔ)償系統(tǒng)，并完成了相關(guān)理論分析和相應(yīng)實(shí)驗(yàn)平臺的搭建，驗(yàn)證了該技術(shù)用于海上波浪補(bǔ)償?shù)挠行?。但是，該類補(bǔ)償裝置為全柔性繩索驅(qū)動機(jī)構(gòu)，會導(dǎo)致機(jī)構(gòu)整體剛度減小，抗干擾性能和穩(wěn)定性較剛性機(jī)構(gòu)差，易受海風(fēng)等外部復(fù)雜環(huán)境的干擾。此外，Kim等[14]也開展了6自由度補(bǔ)償技術(shù)的研究，利用雙層天車、張力控制器和智能移動平臺等機(jī)構(gòu)來控制被吊裝貨物實(shí)時調(diào)整位姿狀態(tài)。但是，該補(bǔ)償系統(tǒng)直接與集裝箱貨物相連的提升模塊為兩根驅(qū)動繩驅(qū)動的被動式升沉補(bǔ)償系統(tǒng)，補(bǔ)償精度相對較低。Wang等[15]開發(fā)了一種可以實(shí)現(xiàn)3自由度波浪運(yùn)動補(bǔ)償功能的海上起重機(jī)，該補(bǔ)償裝置由一個2自由度剛性并聯(lián)抗擺平臺和一根在升沉方向牽引貨物的驅(qū)動繩組成。顧永鳳等[16]利用3自由度全剛性并聯(lián)機(jī)構(gòu)開發(fā)了一種用于船上的波浪補(bǔ)償運(yùn)動平臺，可補(bǔ)償橫搖、縱搖、垂蕩3個方向的波浪運(yùn)動。但是，相對于繩驅(qū)動并聯(lián)機(jī)構(gòu)，純剛性并聯(lián)機(jī)構(gòu)的有效工作空間較小，且只能通過改變整體機(jī)構(gòu)的大小來滿足較大的波浪運(yùn)動補(bǔ)償，具有消耗能量較多和慣性較大等缺點(diǎn)。綜上所述，傳統(tǒng)多維波浪運(yùn)動補(bǔ)償技術(shù)大都通過純?nèi)嵝岳K驅(qū)動并聯(lián)機(jī)構(gòu)和純剛性并聯(lián)機(jī)構(gòu)來實(shí)現(xiàn)波浪補(bǔ)償，然而純?nèi)嵝岳K驅(qū)動并聯(lián)機(jī)構(gòu)的抗干擾性能和穩(wěn)定性較差，純剛性并聯(lián)機(jī)構(gòu)的有效補(bǔ)償工作空間較小和能量消耗較大。如果能充分運(yùn)用繩驅(qū)動和剛性并聯(lián)機(jī)構(gòu)之間的各自優(yōu)點(diǎn)，則波浪補(bǔ)償裝置就能更加有效地補(bǔ)償兩船之間的相對運(yùn)動。

近年來，繩驅(qū)動并聯(lián)機(jī)構(gòu)憑借其結(jié)構(gòu)簡單、整體慣性小、有效工作空間大等優(yōu)點(diǎn)得到飛速發(fā)展，并已得到廣泛應(yīng)用。比較有名的繩驅(qū)動并聯(lián)機(jī)構(gòu)有Robocrane[17]、FALCON-7[18]、SEGESTA[19]、IPAnema[20]等。另外，加拿大滑鐵盧大學(xué)成功研制出兩種剛?cè)峄旌褪匠咚俨⒙?lián)機(jī)構(gòu)BetaBOT[21]和DeltaBot[22]。BetaBOT由3對兩兩平行的驅(qū)動繩和1根中間剛性驅(qū)動支鏈組成，3個驅(qū)動電機(jī)驅(qū)動的搖臂分別驅(qū)動3對驅(qū)動繩，可實(shí)現(xiàn)3個平動自由度，DeltaBot機(jī)構(gòu)與BetaBOT機(jī)構(gòu)相似，但3對相互平行的驅(qū)動繩分別由3個電機(jī)驅(qū)動，也可以實(shí)現(xiàn)3個平動自由度，但遺憾的是這兩種機(jī)構(gòu)均無法實(shí)現(xiàn)3個轉(zhuǎn)動方向上的運(yùn)動。加拿大女王大學(xué)機(jī)器人實(shí)驗(yàn)室研制出一種剛?cè)峄旌鲜讲⒙?lián)機(jī)構(gòu)CAT4[23]，利用6根驅(qū)動繩實(shí)現(xiàn)3轉(zhuǎn)動和1移動的4自由度運(yùn)動，該機(jī)構(gòu)已經(jīng)用于執(zhí)行太空的探索任務(wù)，但是該機(jī)構(gòu)無法實(shí)現(xiàn)在升沉方向上的運(yùn)動。Alamdari等[24]設(shè)計了一種剛?cè)峄旌鲜娇祻?fù)機(jī)器人系統(tǒng)，主要用于增強(qiáng)功能性肌肉骨骼恢復(fù)和神經(jīng)受損康復(fù)的輔助運(yùn)動療法。眾多國內(nèi)外學(xué)者還將剛?cè)峄旌鲜讲⒙?lián)機(jī)構(gòu)應(yīng)用于仿造人體眼球[25-26]，仿制擬人手臂[27-28]、腿機(jī)構(gòu)[29]以及肩關(guān)節(jié)[30]等仿生運(yùn)動中。這些仿生機(jī)構(gòu)中的驅(qū)動繩和中間支鏈分別模擬人體肌肉和骨骼，中間剛性支鏈可以實(shí)現(xiàn)對驅(qū)動繩的支撐作用，使驅(qū)動繩時刻保持張緊狀態(tài)。但是，上述剛?cè)峄旌鲜讲⒙?lián)機(jī)構(gòu)中的中間剛性支鏈長度不可控，從而導(dǎo)致其工作空間有限且靈活性較差，很難應(yīng)用到海洋環(huán)境下的6自由度全方位波浪運(yùn)動補(bǔ)償。結(jié)合純?nèi)嵝岳K驅(qū)動和純剛性并聯(lián)機(jī)構(gòu)的各自優(yōu)點(diǎn)，本文提出一種用于海上波浪運(yùn)動補(bǔ)償?shù)?自由度繩驅(qū)動剛?cè)峄旌鲜讲⒙?lián)機(jī)構(gòu)。該剛?cè)峄旌鲜讲⒙?lián)補(bǔ)償機(jī)構(gòu)可以看成是多根柔性驅(qū)動繩和剛性主動驅(qū)動支鏈混合驅(qū)動來實(shí)現(xiàn)海上波浪運(yùn)動的補(bǔ)償，該繩驅(qū)動剛?cè)峄旌鲜讲⒙?lián)機(jī)構(gòu)不僅有效空間大，而且剛度也較大。

為了實(shí)現(xiàn)海上6自由度波浪運(yùn)動補(bǔ)償功能、提高海上作業(yè)精度和穩(wěn)定性，本文構(gòu)思了一種多維方向的波浪運(yùn)動補(bǔ)償技術(shù),提出一種用于海上波浪運(yùn)動補(bǔ)償?shù)睦K驅(qū)動剛?cè)峄旌鲜讲⒙?lián)機(jī)構(gòu)。首先，分析繩驅(qū)動剛?cè)峄旌鲜讲ɡ搜a(bǔ)償機(jī)構(gòu)裝置的功能需求。其次，計算機(jī)構(gòu)的位姿逆解和驅(qū)動繩與中間支鏈上的速度變化，建立機(jī)構(gòu)的雅克比矩陣。再次，建立機(jī)構(gòu)的靜力學(xué)模型，計算柔性驅(qū)動繩和剛性支鏈上的張緊力分配大小。然后，對整體機(jī)構(gòu)各部件的位置利用幾何法進(jìn)行碰撞分析檢測。最后，通過仿真分析驗(yàn)證該機(jī)構(gòu)用于海上波浪運(yùn)動補(bǔ)償?shù)目尚行浴?/p>

1 海上波浪運(yùn)動特點(diǎn)與波浪補(bǔ)償思想

對于海上作業(yè)，海洋狀況是影響海上吊裝作業(yè)的精度和穩(wěn)定性一個重要影響因素。海平面的不規(guī)則運(yùn)動使得海上作業(yè)船會產(chǎn)生橫蕩、縱蕩、升沉、橫搖、縱搖和艏搖6自由度運(yùn)動，如圖1(a)所示。在波浪運(yùn)動的作用下，貨船船甲板會在6個自由度方向分別產(chǎn)生不同程度的波動變化。為了避免集裝箱與船甲板之間發(fā)生碰撞，同時保證貨物準(zhǔn)確地下放到指定位置，需要利用波浪補(bǔ)償技術(shù)使集裝箱位姿實(shí)時與船甲板指定放置位置的位態(tài)保持一致，以保證集裝箱的精準(zhǔn)安全吊裝工作，如圖1(a)所示。

圖1 海上波浪補(bǔ)償原理及方案圖Fig.1 Principle and blueprint of wave motion compensation

統(tǒng)計數(shù)據(jù)[31]顯示，要使集裝箱運(yùn)輸船的海上吊裝作業(yè)效率達(dá)到90%～100%，作業(yè)貨船在縱蕩、橫蕩和升沉方向上的運(yùn)動必須在以下范圍內(nèi):±(0.6～1.0 m)、±(0.6～0.8 m)和±(0.6～0.9 m)，而在橫搖、縱搖和艏搖方向上的運(yùn)動角度必須滿足以下范圍：±3.0°、±1.5°和±0.5°. 但是，海洋狀況的復(fù)雜不確定性很難保證海面環(huán)境隨時都滿足上述海況。據(jù)統(tǒng)計，海洋表面85%的時間內(nèi)都處于3～6級海況中，波浪高度能達(dá)到5.18 m，橫搖角和艏搖角分別能達(dá)到19°和8°[32]. 因此，亟需設(shè)計一種多維波浪運(yùn)動補(bǔ)償裝置，使其作業(yè)效率達(dá)到90%～100%，以提高海上吊裝作業(yè)精度和作業(yè)效率。在進(jìn)行海上吊裝作業(yè)的過程中，通過重型起重機(jī)將集裝箱貨物吊至待放置區(qū)域上方區(qū)域，如圖1(a)所示。利用傳感器反饋實(shí)時貨物位姿與待放置區(qū)域位姿之間的差距，然后由剛?cè)峄旌鲜讲ɡ搜a(bǔ)償裝置對集裝箱貨物在6自由度方向不斷微調(diào)，直至實(shí)現(xiàn)與待放置區(qū)域位姿完全重合，實(shí)現(xiàn)6自由度波浪補(bǔ)償?shù)墓δ埽鐖D1(b)所示。在補(bǔ)償裝置內(nèi)部通過6根驅(qū)動繩和1根剛性支鏈實(shí)現(xiàn)運(yùn)動平臺以及被吊集裝箱貨物的6自由度運(yùn)動。這一過程僅僅通過補(bǔ)償裝置內(nèi)的電機(jī)實(shí)現(xiàn)波浪補(bǔ)償功能，具有消耗能量小、補(bǔ)償精度高等優(yōu)點(diǎn)。

2 繩驅(qū)動剛?cè)峄旌鲜讲ɡ搜a(bǔ)償機(jī)構(gòu)的運(yùn)動學(xué)模型

2.1 繩驅(qū)動剛?cè)峄旌鲜讲ɡ搜a(bǔ)償機(jī)構(gòu)的位置模型

滑鐵盧大學(xué)實(shí)驗(yàn)室曾開發(fā)一套如圖2(a)所示BetaBot剛?cè)峄旌鲜讲⒙?lián)機(jī)構(gòu)，該機(jī)構(gòu)利用3對相互平行的驅(qū)動繩和1根中間剛性支鏈驅(qū)動運(yùn)動平臺實(shí)現(xiàn)3個平移方向的自由度運(yùn)動[21]。為了進(jìn)一步實(shí)現(xiàn)更多自由度，滿足海上多維波浪補(bǔ)償運(yùn)動的需求，本文將BetaBot驅(qū)動繩的配置進(jìn)行改進(jìn)，使6根驅(qū)動繩按照參考文獻(xiàn)[11]中的Robocrane配置方式進(jìn)行配置，提出一種如圖2(b)所示用于海上多維運(yùn)動波浪補(bǔ)償?shù)?自由度繩驅(qū)動剛?cè)峄旌鲜讲ɡ搜a(bǔ)償機(jī)構(gòu)。安裝于靜平臺上的6個驅(qū)動電機(jī)分別驅(qū)動6根繩，6根驅(qū)動繩上下鉸接點(diǎn)成3-3配置，同時在兩平臺之間并聯(lián)1條UPS主動驅(qū)動剛性支鏈。運(yùn)動平臺通過6根驅(qū)動繩和1條UPS中間剛性支鏈，可以實(shí)現(xiàn)空間6自由度的運(yùn)動。因此，與BetaBot機(jī)構(gòu)相比，本文所提6自由度繩驅(qū)動剛?cè)峄旌鲜讲ɡ搜a(bǔ)償機(jī)構(gòu)不僅能擴(kuò)展BetaBot機(jī)構(gòu)的自由度，而且可以有效地改善整體機(jī)構(gòu)的剛性和提高機(jī)構(gòu)的承載力[33-34]。

圖2 滑鐵盧大學(xué)實(shí)驗(yàn)室開發(fā)的BetaBot剛?cè)峄旌鲜讲⒙?lián)機(jī)構(gòu)[21]和本文提出的繩驅(qū)動剛?cè)峄旌鲜讲⒙?lián)機(jī)構(gòu)Fig.2 BetaBot rigid-flexible hybrid driven parallel mechanism[21] developed by the University of Waterloo Laboratory and the proposed rigid-flexible hybrid driven wave compensation mechanism

如圖2(b)所示為繩驅(qū)動剛?cè)峄旌鲜讲⒙?lián)機(jī)構(gòu)簡圖與坐標(biāo)軸，其中A為靜平臺，B為動平臺，動平臺直接與集裝箱平臺相連。為了簡化機(jī)構(gòu)分析，假定地球坐標(biāo)系Osxsyszs位于靜平臺的質(zhì)心處，運(yùn)動坐標(biāo)系Odxdydzd位于動平臺的質(zhì)心處。圖2(b)中：α、β和γ分別為繞zs軸、ys軸和xs軸轉(zhuǎn)動的角度；sli為沿第i根繩的矢量，sl0=OsOd為沿中間剛性支鏈的矢量；Ai與Bi分別表示驅(qū)動繩與靜平臺和動平臺的鉸接點(diǎn)坐標(biāo)，i=1,2,…,6；sai和dbi分別為沿靜平臺和動平臺半徑方向的矢量，sai=OsAi，dbi=OdBi，其歐幾里得范數(shù)大小為相應(yīng)平臺的半徑；rA和rB分別表示靜平臺和運(yùn)動平臺半徑。

靜平臺A和動平臺B之間通過6根驅(qū)動繩和1根中間剛性支鏈連接。運(yùn)動坐標(biāo)系{Odxdydzd}相對于地球坐標(biāo)系{Osxsyszs}的姿態(tài)變換矩陣選用zs-ys-xs歐拉角表示，相應(yīng)的變換矩陣為

由矢量封閉原理，可得

sli=sOd+sRd·dbi-sai.

(1)

由(1)式可以得出該機(jī)構(gòu)的逆運(yùn)動學(xué)模型：

(2)

2.2 繩驅(qū)動剛?cè)峄旌鲜讲⒙?lián)補(bǔ)償機(jī)構(gòu)的雅克比矩陣

機(jī)構(gòu)雅克比矩陣對進(jìn)一步分析機(jī)構(gòu)靜力學(xué)、剛度、工作空間以及奇異性具有重要的意義[35]。將(2)式的逆運(yùn)動學(xué)模型兩端同時對時間t求導(dǎo)數(shù)，由于sai和dbi均為定值，應(yīng)用線性代數(shù)恒等式cTd+dTc=2cTd=2dTc并化簡，可得

(3)

(4)

式中：sΩd為運(yùn)動平臺B相對于靜平臺A的角速度叉積算子，

ωx、ωy和ωz分別表示動平臺繞各個坐標(biāo)軸的角速度分量，sωd表示運(yùn)動平臺和角速度。

結(jié)合矢量混合積運(yùn)算法則，(3)式可進(jìn)一步轉(zhuǎn)換為

(5)

(5)式的矩陣形式表示為

(6)

(7)

2.3 速度和加速度模型

由(5)式可知，運(yùn)動平臺的線速度和角速度映射到第i根驅(qū)動繩上的速度可以表示為

(8)

(8)式兩邊同時對時間t求導(dǎo)，可得機(jī)構(gòu)第i根驅(qū)動繩的加速度：

(9)

由(9)式可以求得驅(qū)動繩與中間支鏈的加速度隨運(yùn)動平臺運(yùn)動的變化規(guī)律。

3 驅(qū)動繩張緊力的計算與分配

相比于傳統(tǒng)的剛性并聯(lián)機(jī)構(gòu)，繩驅(qū)動并聯(lián)機(jī)構(gòu)由于柔性驅(qū)動繩本身具有單向受力特點(diǎn)(只能承受拉力，不能承受壓力)[36]。當(dāng)運(yùn)動平臺處在任意位姿狀態(tài)時，無法確定機(jī)構(gòu)整體是否達(dá)到靜力平衡狀態(tài)，這也是整體機(jī)構(gòu)能否完全發(fā)揮其優(yōu)良性能的關(guān)鍵所在。靜力學(xué)分析對于進(jìn)一步計算每條驅(qū)動支鏈上的張緊力起著重要作用。

在集裝箱吊裝作業(yè)過程中，集裝箱貨物的質(zhì)量相對于整體補(bǔ)償裝置較大，在分析中不能忽略，因此將被吊裝貨物的質(zhì)量等價替換成一根拉力大小恒定、方向始終沿著重力方向的驅(qū)動繩支鏈。機(jī)構(gòu)中間的主動剛性UPS支鏈既可以承受拉力，又可以承受壓力。為了簡化機(jī)構(gòu)整體的靜力學(xué)分析，將中間剛性支鏈當(dāng)成兩條沿著剛性支鏈同時方向相反，并時刻處于張緊狀態(tài)的驅(qū)動繩。當(dāng)剛性支鏈?zhǔn)艿嚼ψ饔脮r，其方向由動平臺中心點(diǎn)Od指向靜平臺中心點(diǎn)Os(即沿OdOs方向)；當(dāng)剛性支鏈?zhǔn)艿綁毫ψ饔脮r，其方向由靜平臺的中心點(diǎn)Os指向動平臺的中心點(diǎn)Od(即沿OsOd方向)。機(jī)構(gòu)整體靜力學(xué)模型如圖3所示。

圖3 靜力學(xué)模型圖Fig.3 Statics model

圖3中，fi為驅(qū)動繩支鏈所受的張緊力大小，F(xiàn)s為中間剛性支鏈所受的力，mdg為動平臺及重物的重力總和，(Fd,Md)表示海風(fēng)等外力作用于運(yùn)動平臺B上的任意力旋量。

在某時刻靜止?fàn)顟B(tài)時，所有驅(qū)動繩和中間剛性支鏈所受到的內(nèi)力、海風(fēng)作用于運(yùn)動平臺B上任意的力旋量(Fd,Md)等外部力旋量，以及運(yùn)動平臺上的重力必須達(dá)到靜力平衡狀態(tài)。結(jié)合作用于運(yùn)動平臺上的力和力矩平衡方程[36]，可得

(10)

等式fi代入(10)式，可得

Ac×f+Ab×f0+Mdg+Wd=0,

(11)

將吊裝和連接于運(yùn)動平臺上的集裝箱重力和中間剛性支鏈分別等價替換成驅(qū)動繩模型，可以將(11)式進(jìn)一步寫成該繩驅(qū)動剛?cè)峄旌鲜讲⒙?lián)機(jī)構(gòu)的整體靜力平衡方程：

(12)

式中：AT表示將運(yùn)動平臺及重物視為額外驅(qū)動繩后整體機(jī)構(gòu)的雅克比矩陣；ftot表示將運(yùn)動平臺及重物的重力和視為額外驅(qū)動繩后整體機(jī)構(gòu)張緊力所組成的力矩

為了控制完全約束或冗余約束繩驅(qū)動并聯(lián)機(jī)構(gòu)的動平臺沿著任意給定運(yùn)動軌跡運(yùn)動，需要實(shí)時計算機(jī)構(gòu)中每根驅(qū)動繩的張緊力大小(即每根驅(qū)動繩所分配到的張緊力大小)。尤其當(dāng)動平臺在以較高速度或較高加速度運(yùn)動時，繩的松弛會使動平臺產(chǎn)生晃動現(xiàn)象，對于機(jī)構(gòu)發(fā)揮其補(bǔ)償性能顯然是不利的。為了避免繩出現(xiàn)松弛現(xiàn)象，同時也為了限制繩的受力超過極限值，對驅(qū)動繩受力分配和受力優(yōu)化是非常必要的。

由(12)式可得外部任意力旋量Wd和驅(qū)動繩以及中間剛性支鏈上的受力fall之間的關(guān)系為

ATfall+Wd=0.

(13)

如果利用p-范數(shù)(p>1)將計算繩所受張緊力大小的問題轉(zhuǎn)化為計算最優(yōu)解問題，即將(12)式轉(zhuǎn)換為如(14)式的最優(yōu)化問題，則可以找到具有連續(xù)力分布的軌跡[36]：

(14)

式中：m為驅(qū)動支鏈的數(shù)量。

根據(jù)Verhoeven定理[36]，當(dāng)范數(shù)p>1時,(14)式具有多維解空間，即求得的張緊力大小沒有唯一解。為了解決這一復(fù)雜問題，眾多學(xué)者提出了多種方法求解最優(yōu)解[37-40]。本文利用代數(shù)變換中的歐幾里得范數(shù)(p=2)結(jié)合偽逆矩陣A?T，將驅(qū)動繩上所受張緊力大小表達(dá)為如下封閉解形式[41]：

(15)

與其他方法相比,力封閉解算法僅利用矩陣轉(zhuǎn)置和矩陣基本運(yùn)算求解偽逆矩陣，計算簡單且速度快，可以有效縮短計算時間[41]，可用于實(shí)時控制，同時可以根據(jù)偽逆矩陣A?T中的(ATA)-1存在與否來判斷機(jī)構(gòu)是否位于可行工作區(qū)間內(nèi)[41]。

4 碰撞干涉檢測

波浪補(bǔ)償機(jī)構(gòu)可能會發(fā)生驅(qū)動繩與驅(qū)動繩之間的碰撞干涉、驅(qū)動繩與中間剛性支鏈之間的碰撞干涉，以及驅(qū)動繩與運(yùn)動平臺(貨物)之間的碰撞干涉。當(dāng)繩驅(qū)動剛?cè)峄旌鲜讲⒙?lián)機(jī)構(gòu)的驅(qū)動繩、中間剛性支鏈以及動平臺之間發(fā)生碰撞或者干涉時，繩驅(qū)動剛?cè)峄旌鲜讲⒙?lián)機(jī)構(gòu)在運(yùn)動過程中會失去本身的靈活性和穩(wěn)定性，嚴(yán)重時會損壞機(jī)構(gòu)本身，對于機(jī)構(gòu)的設(shè)計分析顯然是不允許的。同時，碰撞干涉現(xiàn)象也會影響機(jī)構(gòu)整體工作區(qū)間的大小。因此在機(jī)構(gòu)分析過程中，碰撞檢測是必要的也是重要的一步。

4.1 驅(qū)動繩之間的碰撞干涉檢測

本文采用幾何矢量方法檢測驅(qū)動繩之間是否發(fā)生碰撞干涉，即將兩條驅(qū)動繩看成兩個矢量，通過計算矢量之間的最小距離判斷驅(qū)動繩之間是否發(fā)生干涉現(xiàn)象。驅(qū)動繩之間碰撞干涉檢測示意圖如圖4所示。圖4中：d為兩根驅(qū)動繩之間的距離；li和lj分別為第i、第j根驅(qū)動繩的長度，li=AiBi,lj=AjBj.

圖4 驅(qū)動繩之間碰撞干涉檢測示意圖Fig.4 Schematic diagram of collision interference detection of driving cables

由圖4可以看出，任意兩條驅(qū)動繩i和j之間存在點(diǎn)Hi和Hj,使得點(diǎn)Hj到驅(qū)動繩j的距離最短，點(diǎn)Hj到驅(qū)動繩j的距離最短可以表達(dá)為d=(AiBi,AjBj)=mind(Hi,Hj),{Hi∈AiBi,Hj∈AjBj}，d(·)表示兩根驅(qū)動繩之間的距離。當(dāng)‖HiHj‖<2σ時，可以判斷兩根驅(qū)動繩之間發(fā)生碰撞干涉，其中σ表示垂直于驅(qū)動繩橫截面的半徑。進(jìn)一步，點(diǎn)Hi和Hj在空間坐標(biāo)系下可以表示為

OsHi=sai-cii,OsHj=saj-cjj,

式中：ci和cj為任意大小的實(shí)數(shù)；i和j分別表示沿第i、第j根驅(qū)動繩方向的單位矢量。此時令向量χij=Ai-Aj，由圖4可得重心坐標(biāo)系下的垂直向量為

(16)

如果兩向量AiBi和AjBj相關(guān)，則系數(shù)ci和cj分別存在唯一的值。當(dāng)(16)式中的兩個方程線性獨(dú)立時，意味著線段是平行的，在這種情況下，ci=0或cj=0為方程組的解。如果ci或cj不滿足0

由圖4可以看出，驅(qū)動繩與動平臺的鉸接點(diǎn)為兩根相鄰驅(qū)動繩共用一個鉸接點(diǎn)，此時相鄰兩根驅(qū)動繩之間的最短距離d為0 mm，故由以上分析可知相鄰驅(qū)動繩碰撞干涉的現(xiàn)象不會發(fā)生。進(jìn)一步通過計算可以判斷非相鄰驅(qū)動繩之間的碰撞干涉現(xiàn)象是否發(fā)生。

4.2 驅(qū)動繩與中間剛性支鏈之間的碰撞干涉檢測

可以將中間剛性支鏈視為大直徑驅(qū)動繩，從而驅(qū)動繩與中間剛性支鏈之間的碰撞干涉檢測方法與4.1節(jié)中兩條驅(qū)動繩之間的碰撞干涉檢測類似。此時，判斷條件變?yōu)椤琀0Hi‖<σ′+σ，其中H0表示中間剛性支鏈上到驅(qū)動繩li距離最短的點(diǎn)，σ′表示中間剛性支鏈的半徑大小。因此可以通過判斷c0和ci的大小，來檢測中間剛性支鏈與驅(qū)動繩之間是否發(fā)生碰撞干涉。

4.3 驅(qū)動繩與運(yùn)動平臺之間的碰撞干涉檢測

由于在驅(qū)動繩與運(yùn)動平臺的連接配置上，相鄰兩根驅(qū)動繩共用一個與運(yùn)動平臺相連的鉸接點(diǎn)，這些鉸接點(diǎn)在運(yùn)動平臺上的位置呈三角形。因此，可以通過檢測驅(qū)動繩所在的直線與運(yùn)動平臺上鉸接點(diǎn)組成的三角形平面之間的位置關(guān)系，來判斷驅(qū)動繩與中間剛性支鏈之間是否發(fā)生碰撞干涉(見圖5)。

圖5 驅(qū)動繩與中間剛性支鏈之間碰撞干涉檢測示意圖Fig.5 Schematic diagram of detecting the collision interference between the driving cables and central rigid branched chains

由圖5可知，驅(qū)動繩li所在直線可以表示為sli=Bi+cki，ck為任意大小的實(shí)數(shù)，運(yùn)動平臺上3個鉸接點(diǎn)Bi、Bj、Bk組成一個位于運(yùn)動平臺內(nèi)的三角形平面。令Q0=Bj-Bi且Q1=Bk-Bi，則三角形平面內(nèi)的單位長度法線向量可以表示為

(17)

5 數(shù)值算例與實(shí)驗(yàn)分析

為了模擬繩驅(qū)動剛?cè)峄旌鲜讲⒙?lián)機(jī)構(gòu)在地球坐標(biāo)系Osxsyszs下的補(bǔ)償運(yùn)動，設(shè)定動平臺的平動軌跡分別為

(18)

同時，為了模擬補(bǔ)償在橫搖、縱搖、艏搖3個歐拉角方向上貨物與被補(bǔ)給船之間的相對轉(zhuǎn)動，設(shè)定動平臺在轉(zhuǎn)動方向上的運(yùn)動軌跡分別為

(19)

假定平動補(bǔ)償軌跡從位置點(diǎn)P1=(0 mm,0 mm,-600 mm)開始計時，補(bǔ)償位置終點(diǎn)為P2=(0 mm,0 mm,-600 mm)，補(bǔ)償時間T=8.0 s，補(bǔ)償兩個運(yùn)動周期，設(shè)計的補(bǔ)償機(jī)構(gòu)其他結(jié)構(gòu)參數(shù)為

5.1 繩長及中間支鏈長度、速度以及加速度變化

根據(jù)(2)式逆運(yùn)動學(xué)方程，結(jié)合模擬軌跡方程(18)式和(19)式，利用MATLAB軟件計算得到補(bǔ)償過程中驅(qū)動繩以及中間支鏈的長度變化，仿真結(jié)果如圖6(a)所示；進(jìn)一步分析(8)式和(9)式，可得關(guān)于驅(qū)動繩以及中間支鏈的速度和加速度變化趨勢，如圖7(a)、8(a)所示；進(jìn)一步在ADAMS仿真軟件中利用Cable模塊搭建補(bǔ)償機(jī)構(gòu)的物理模型，仿真得出驅(qū)動繩及中間支鏈的長度、速度以及加速度的變化曲線，如圖6(b)、圖7(b)和8(b)所示。以上仿真結(jié)果均表明在補(bǔ)償過程中，驅(qū)動繩以及中間支鏈的長度、速度和加速度變化連續(xù)平滑，且變化均在可控范圍內(nèi)。通過對比分析可知各變化趨勢基本一致，同時MATLAB軟件理論計算結(jié)果與ADAMS軟件仿真結(jié)果最大誤差在5%以內(nèi)，證明了所建數(shù)學(xué)模型的正確性，為后期驅(qū)動繩張緊力的計算分析提供了基礎(chǔ)。

圖6 驅(qū)動繩及中間支鏈長度變化Fig.6 Length variation of cables and central rigid branched chain

圖7 驅(qū)動繩及中間支鏈速度變化Fig.7 Velocity variation of driving cables and central rigid branched chain

圖8 驅(qū)動繩及中間支鏈加速度變化Fig.8 Acceleration variation of driving cables and central rigid branched chain

圖9 波浪補(bǔ)償實(shí)驗(yàn)樣機(jī)Fig.9 Experimental prototype of wave motion compensation system

5.2 驅(qū)動繩張緊力模擬分析及碰撞干涉檢測

根據(jù)(15)式，假定驅(qū)動繩最小拉力值fi,min=3 N，最大極限拉力值為fi,max=100 N，貨物集裝箱負(fù)載mdg=80 N，外部力旋量取特例Wd=0簡化計算。通過MATLAB軟件進(jìn)行仿真分析，得到驅(qū)動繩以及中間支鏈所受張緊力及拉壓力理論計算值，MATLAB軟件仿真理論值如圖10所示。

為了保證補(bǔ)償過程的順利進(jìn)行，需要實(shí)時檢測波浪補(bǔ)償裝置自身機(jī)構(gòu)內(nèi)部各部件間是否發(fā)生碰撞干涉。通過第4節(jié)的理論分析和5.1節(jié)的結(jié)構(gòu)參數(shù)設(shè)定，利用MATLAB軟件數(shù)值仿真計算和ADAMS軟件模擬仿真，在模擬補(bǔ)償波浪運(yùn)動過程中均未發(fā)生部件間的碰撞干涉現(xiàn)象，驗(yàn)證了該補(bǔ)償裝置在進(jìn)行波浪補(bǔ)償過程中的可行性，保證了機(jī)構(gòu)在波浪補(bǔ)償過程中的安全、可靠性。

5.3 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證分析

通過搭建如圖9所示1∶20等比例繩驅(qū)動剛?cè)峄旌鲜讲ɡ搜a(bǔ)償實(shí)驗(yàn)平臺，所搭建的實(shí)驗(yàn)平臺主要由計算機(jī)控制端、UMAC運(yùn)動控制卡、6根驅(qū)動繩及其對應(yīng)的驅(qū)動模塊、中間剛性支鏈、AML拉壓傳感器以及拉壓力數(shù)據(jù)采集模塊組成。利用AML拉壓傳感器實(shí)時檢測補(bǔ)償過程中驅(qū)動繩以及中間剛性支鏈所受張緊力的大小，并在8 s的運(yùn)動周期中提取100個拉力樣本數(shù)據(jù)值，各驅(qū)動繩與中間支鏈所受張緊力的理論計算值和實(shí)驗(yàn)值對比如圖10所示。由圖10可見，各驅(qū)動繩和中間支鏈的理論計算值與實(shí)驗(yàn)值變化趨勢大體一致且呈周期性變化，變化較為平滑。其中驅(qū)動繩所受張緊力大小均在可控范圍內(nèi)，二者最大誤差在25%以內(nèi)，驗(yàn)證了該算法的有效性。由于在理論分析中沒有考慮驅(qū)動繩與線輪之間摩擦力以及外部力旋量等其他外部影響因素，導(dǎo)致實(shí)驗(yàn)值與理論值存在一定的誤差。

通過搭建如圖11所示模擬波浪運(yùn)動補(bǔ)償平臺，利用造浪裝置和船模分別模擬海上波浪運(yùn)動以及被補(bǔ)給船。由圖11(a)、圖11(b)和圖11(c)可以看出，吊裝有集裝箱的波浪運(yùn)動補(bǔ)償平臺能實(shí)現(xiàn)實(shí)時補(bǔ)償模擬的波浪運(yùn)動，具有明顯的波浪補(bǔ)償效果；由圖11(d)可以看出，被吊集裝箱整體基本放置在被補(bǔ)給船甲板的指定位置處。綜上所述，模擬實(shí)驗(yàn)分析驗(yàn)證了該創(chuàng)新設(shè)計的多維波浪補(bǔ)償裝置的有效性和可行性。

6 結(jié)論

本文針對海上多維波浪運(yùn)動補(bǔ)償，創(chuàng)新設(shè)計了一種6自由度繩驅(qū)動剛?cè)峄旌鲜讲ɡ搜a(bǔ)償機(jī)構(gòu)，該波浪補(bǔ)償機(jī)構(gòu)解決了現(xiàn)有海上波浪補(bǔ)償功能單一的問題，實(shí)現(xiàn)了多維波浪運(yùn)動補(bǔ)償?shù)墓δ?。通過理論仿真與實(shí)驗(yàn)分析得到如下結(jié)論：

圖10 驅(qū)動繩與中間支鏈張緊力變化Fig.10 Tension distributions on the driving cables and the center branched chain

圖11 多維波浪運(yùn)動補(bǔ)償效果圖Fig.11 Effect pictures of multidimensional wave motion compensation

1)補(bǔ)償機(jī)構(gòu)在給定的6自由度運(yùn)動軌跡下，驅(qū)動繩以及中間支鏈的長度、速度以及加速度變化均是平滑連續(xù)的，且數(shù)值變化都在合理范圍內(nèi)，并與ADAMS軟件模型仿真結(jié)果進(jìn)行了對比，驗(yàn)證了該機(jī)構(gòu)數(shù)學(xué)模型的正確性，同時仿真對比結(jié)果也表明了該波浪補(bǔ)償機(jī)構(gòu)在波浪補(bǔ)償過程中的平穩(wěn)、連續(xù)性。

2)基于構(gòu)建的整體靜力學(xué)模型，利用力封閉算法計算了驅(qū)動繩和中間剛性支鏈上的張緊力分配大?。粚Σɡ搜a(bǔ)償過程中驅(qū)動繩及中間剛性支鏈所受張緊力大小進(jìn)行了數(shù)值仿真和實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，其仿真和實(shí)驗(yàn)結(jié)果間的誤差在合理范圍內(nèi)，驗(yàn)證了該算法的有效性，為下一步對算法的優(yōu)化和張力控制提供了基礎(chǔ)。

3)通過對機(jī)構(gòu)中各個運(yùn)動部件之間進(jìn)行碰撞干涉的數(shù)值仿真分析，驗(yàn)證了該機(jī)構(gòu)各部件之間在波浪補(bǔ)償運(yùn)動過程中沒有出現(xiàn)碰撞干涉現(xiàn)象，保證了機(jī)構(gòu)在波浪補(bǔ)償過程中的安全、可靠性。

4)通過搭建實(shí)驗(yàn)?zāi)M平臺，模擬波浪運(yùn)動補(bǔ)償，驗(yàn)證了本文創(chuàng)新設(shè)計的多維波浪運(yùn)動補(bǔ)償裝置的有效性和可行性，為今后的實(shí)際應(yīng)用奠定了基礎(chǔ)。