汪金奎， 婁文忠， 劉偉桐， 蘇子龍

(北京理工大學(xué) 機(jī)電學(xué)院, 北京 100081)

0 引言

制導(dǎo)和引信一體化(GIF)技術(shù)已經(jīng)成為引信技術(shù)的重要發(fā)展方向之一[1-4]?？罩袡C(jī)動(dòng)目標(biāo)攔截問題中，圖像導(dǎo)引頭或雷達(dá)導(dǎo)引頭通常作為防空導(dǎo)彈的感知方式，可以抵近獲得目標(biāo)的高精度方位信息，但圖像導(dǎo)引頭或雷達(dá)導(dǎo)引頭通常存在近距盲區(qū)[5-6]，進(jìn)入近距盲區(qū)后導(dǎo)引頭處于失效狀態(tài),目標(biāo)的位置無法觀測。引信與戰(zhàn)斗部(簡稱引戰(zhàn))配合應(yīng)用于此類作戰(zhàn)環(huán)境，對(duì)其起爆控制算法的研究主要是最佳起爆延時(shí)和最佳起爆方位角的計(jì)算；隨著防空目標(biāo)機(jī)動(dòng)能力的提升,進(jìn)入視野盲區(qū)后目標(biāo)的位置更加難以預(yù)測，基于目標(biāo)方位的精確延時(shí)設(shè)計(jì)更加困難。雖然也有通過2階、3階多項(xiàng)式來描述彈目相對(duì)運(yùn)動(dòng)[7],但其采用的是目標(biāo)機(jī)動(dòng)可預(yù)測的先驗(yàn)信息，實(shí)際情況中目標(biāo)的機(jī)動(dòng)特性可能完全無法預(yù)測，其在視野盲區(qū)內(nèi)的位置分布具備隨機(jī)特性。目標(biāo)最佳起爆方位角的傳統(tǒng)方法采用定向戰(zhàn)斗部，但定向戰(zhàn)斗部不僅設(shè)計(jì)復(fù)雜，而且依賴精確的彈目相對(duì)方位信息[8]。

在目標(biāo)無法精確預(yù)測的情況下，本文提出制導(dǎo)和引信及戰(zhàn)斗部一體化設(shè)計(jì)方法，針對(duì)近距盲區(qū)內(nèi)目標(biāo)機(jī)動(dòng)不確定性問題，考慮目標(biāo)的有限機(jī)動(dòng)能力，分析目標(biāo)的可行狀態(tài)集；使用常規(guī)周向破片戰(zhàn)斗部作為毀傷元，研究制導(dǎo)終點(diǎn)彈目相對(duì)位置與相對(duì)速度對(duì)目標(biāo)攔截能力的影響，解算進(jìn)入盲區(qū)前最優(yōu)彈目相對(duì)位置、相對(duì)速度與引信最佳起爆時(shí)間。

針對(duì)末端狀態(tài)約束的目標(biāo)攔截方法近些年來也是研究的熱門[9-12]，其大都基于線性化系統(tǒng)模型。采用最優(yōu)控制理論對(duì)最優(yōu)控制量進(jìn)行求解。本文基于Gauss偽普法[13]，設(shè)計(jì)末端多狀態(tài)約束的制導(dǎo)方法，使攔截導(dǎo)彈在彈道末端達(dá)到最優(yōu)攔截狀態(tài)。最后對(duì)提出的算法進(jìn)行仿真驗(yàn)證。

1 彈目交會(huì)模型

防空導(dǎo)彈與目標(biāo)交會(huì)時(shí)，在攔截平面內(nèi)存在如圖1所示的交會(huì)模型。假設(shè)導(dǎo)引頭存在近距盲區(qū)r,以防空導(dǎo)彈戰(zhàn)斗部中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，進(jìn)入導(dǎo)引頭盲區(qū)時(shí)，目標(biāo)的相對(duì)位置為[xt0,yt0]，目標(biāo)視線角為θt0,目標(biāo)空速為vt,導(dǎo)彈空速為vm，則存在：

xt0=r，

(1)

yt0=rtanθt0.

(2)

圖1 彈目交會(huì)模型Fig.1 Missile-target encounter model

目標(biāo)存在法向機(jī)動(dòng)能力at，由于目標(biāo)機(jī)動(dòng)能力無法預(yù)測，可假設(shè)其最大機(jī)動(dòng)能力atmax與速度的平方具有線性關(guān)系，即有

(3)

式中：kat為比例系數(shù)，在確定目標(biāo)類型的情況下，kat可根據(jù)實(shí)際情況選取。

2 常規(guī)戰(zhàn)斗部破片飛散模型

基于全向飛散破片戰(zhàn)斗部建立戰(zhàn)斗部破片飛散模型。相對(duì)于定向戰(zhàn)斗部或桿式殺傷戰(zhàn)斗部而言，全向飛散破片戰(zhàn)斗部要求破片的數(shù)量多，戰(zhàn)斗部裝藥量大，但同時(shí)定向戰(zhàn)斗部或桿式殺傷戰(zhàn)斗部在彈道終點(diǎn)目標(biāo)方位丟失時(shí)破片會(huì)完全脫靶，而全向飛散破片戰(zhàn)斗部仍具備毀傷能力。

靜態(tài)爆炸條件下，破片前、后飛散邊界飛行方向與彈軸前向夾角分別為φf、φb,則破片靜態(tài)主飛散角φ可表示為

φ=(φf+φb)/2.

(4)

動(dòng)態(tài)條件下，破片分散方向角與導(dǎo)彈速度相關(guān)，靜爆條件下破片初速為vps，則動(dòng)態(tài)前、后飛散邊界φfp、φbp與主飛散角φp可分別表示為

φfp=arctan (sinφf/(cosφf+vm/vps))，

(5)

φbp=arctan (sinφb/(cosφb+vm/vps))，

(6)

φp=arctan (sinφ/(cosφ+vm/vps)).

(7)

主飛散方向上破片動(dòng)態(tài)初速度vpd0為

(8)

取破片的飛行阻力系數(shù)c，根據(jù)牛頓阻力定律，其運(yùn)動(dòng)微分方程[14]為

(9)

式中：mp為破片質(zhì)量；vpd為破片飛行速度；ρ為當(dāng)?shù)乜諝饷芏?；S為破片阻力面積。破片速度時(shí)間衰減關(guān)系為

(10)

3 引戰(zhàn)配合模型

迎擊攔截是一種典型的攔截模式，可以實(shí)現(xiàn)破片與目標(biāo)之間較大的相對(duì)速度，增大破片的毀傷能力。設(shè)防空導(dǎo)彈在位置xm1處引爆戰(zhàn)斗部，如圖2所示，由于導(dǎo)彈進(jìn)入視野盲區(qū)時(shí)間極短，防空導(dǎo)彈空速可設(shè)為常量，以目標(biāo)進(jìn)入盲區(qū)的時(shí)刻為計(jì)時(shí)零點(diǎn)，引信延期時(shí)間為t1，因此有

xm1=vmt1.

(11)

圖2 盲區(qū)內(nèi)破片與目標(biāo)交會(huì)狀態(tài)Fig.2 Intersection of fragment and target in blind zone

起爆點(diǎn)處彈目視線角為θt1,首先假設(shè)目標(biāo)進(jìn)入視野盲區(qū)后無機(jī)動(dòng)，則

tanθt1=yt1/(xt0-xm1).

(12)

(1)式、(2)式、(11)式代入(12)式，可得

(13)

在目標(biāo)無機(jī)動(dòng)假設(shè)下，定義破片飛散速度為vp、破片飛行時(shí)間為t2，則在攔截點(diǎn)處有

(14)

(15)

式中：vpd為主飛散方向上破片動(dòng)態(tài)速度。

由(14)式、(15)式可得

(16)

實(shí)際情況下，目標(biāo)在導(dǎo)引頭視野盲區(qū)內(nèi)存在機(jī)動(dòng)能力。當(dāng)目標(biāo)以最大機(jī)動(dòng)能力躲避導(dǎo)彈攔截時(shí)，目標(biāo)偏離攔截視線的距離最遠(yuǎn)，此時(shí)目標(biāo)偏離攔截視線的距離為

m=0.5atmax(t1+t2)2，

(17)

即目標(biāo)的可行區(qū)域近似分布在以m為半長軸的橢圓區(qū)域內(nèi)。為實(shí)現(xiàn)目標(biāo)的可靠攔截，令防空導(dǎo)彈破片完全覆蓋目標(biāo)的可行區(qū)域，即破片前、后飛散邊界與橢圓相切。為方便計(jì)算，可以認(rèn)為破片前、后飛散邊界與目標(biāo)可行區(qū)域相切于橢圓長軸處，如圖2所示，因此

(18)

最佳攔截方案的彈目速度矢量夾角為破片動(dòng)態(tài)主飛散角，由(7)式可得

θt1=arctan (sinφ/(cosφ+vm/vps)).

(19)

由(14)式、(15)式、(18)式可得

(20)

(21)

(22)

對(duì)(22)式求解并取小值，可得

(23)

(23)式代入(20)式可求得引信起爆時(shí)間t1,代入(16)式可求得進(jìn)入盲區(qū)時(shí)最佳的彈目視線角θt0.

4 終端視線角與彈目速度夾角約束制導(dǎo)律

根據(jù)目標(biāo)進(jìn)入視野盲區(qū)的視線角約束θt0和彈目速度矢量夾角θt1的約束，末端彈目距離為r/cosθt0.

由于無法獲取目標(biāo)準(zhǔn)確的機(jī)動(dòng)信息，因此可將目標(biāo)的機(jī)動(dòng)看作系統(tǒng)擾動(dòng)，如圖3所示，定義狀態(tài)向量x=[R,θv,θmt]，其中R為彈目視線距離，θv彈目速度矢量夾角，θmt為視線角與速度夾角，建立彈目相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程如下：

(24)

(25)

(26)

式中：am為導(dǎo)彈的法向過載。

圖3 目標(biāo)攔截幾何Fig.3 Target intercept geometry

定義xf為末端狀態(tài)約束，即

xf=[r/cosθt0,θt1,θt0].

(27)

考慮到法向機(jī)動(dòng)能力有限，因此還存在導(dǎo)彈最大機(jī)動(dòng)能力約束：

a≤amax.

(28)

針對(duì)本文多約束末制導(dǎo)問題，其非線性特性使得難以求出精確的解析解，本文采用Guass偽譜法對(duì)非線性彈目運(yùn)動(dòng)方程進(jìn)行在線軌跡優(yōu)化。Guass偽譜法是求解多約束控制問題最優(yōu)解的一種數(shù)值方法，應(yīng)用Largrange插值多項(xiàng)式對(duì)離散的系統(tǒng)狀態(tài)變量機(jī)控制變量進(jìn)行擬合逼近,以此將原系統(tǒng)微分方程、約束方程等轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程[15]，進(jìn)而數(shù)值逼近求解?？紤]到終端狀態(tài)誤差最小和最少的能量消耗，同時(shí)為了增加尋優(yōu)算法的收斂區(qū)域，增強(qiáng)制導(dǎo)算法的魯棒性，把末端狀態(tài)的約束加入性能指標(biāo)中，選擇二次型性能指標(biāo)函數(shù)為

(29)

式中：tf為優(yōu)化過程中的導(dǎo)彈飛行時(shí)間。

5 仿真實(shí)驗(yàn)與結(jié)果分析

5.1 視距盲區(qū)內(nèi)最優(yōu)攔截仿真驗(yàn)證

為驗(yàn)證近距盲區(qū)內(nèi)引戰(zhàn)配合設(shè)計(jì)，假設(shè)破片在動(dòng)態(tài)飛散角內(nèi)均勻飛散，為符合實(shí)際情況，可假定在二維平面內(nèi)分布的破片數(shù)量N為50個(gè)，導(dǎo)引頭近距盲區(qū)為200 m，破片初始速度為1 600 m/s，破片采用球形預(yù)制破片，其余相關(guān)參數(shù)如表1所示。

表1 引戰(zhàn)配合仿真參數(shù)Tab.1 Simulation parameters

定義當(dāng)破片和目標(biāo)的相對(duì)距離小于3 m時(shí)，表示破片成功擊中目標(biāo)。由于當(dāng)前空中目標(biāo)的機(jī)動(dòng)能力通常小于100g[14]，目標(biāo)機(jī)動(dòng)能力系數(shù)kat可假定為0.01，在目標(biāo)速度300 m/s下可產(chǎn)生91.8g的可用過載，重力加速度為9.8 m/s2. 由于本文提出的引戰(zhàn)配合設(shè)計(jì)方法在目標(biāo)無法達(dá)到最大機(jī)動(dòng)能力時(shí)仍能可靠攔截，目標(biāo)在盲區(qū)機(jī)動(dòng)時(shí)，可在機(jī)動(dòng)能力范圍內(nèi)隨機(jī)選擇法向加速度大小。設(shè)定不同的目標(biāo)速度、目標(biāo)實(shí)際機(jī)動(dòng)能力，通過(16)式、(19)式、(23)式計(jì)算可得最優(yōu)彈目交會(huì)視線角、速度矢量夾角以及引信最佳起爆時(shí)間，如表2所示。

根據(jù)算例參數(shù)，通過設(shè)定不同的目標(biāo)實(shí)際過載，對(duì)典型目標(biāo)攔截，如軍用運(yùn)輸機(jī)攔截條件下，破片與目標(biāo)交會(huì)情況進(jìn)行可視化仿真驗(yàn)證。目標(biāo)速度300 m/s的彈目交會(huì)情況下仿真結(jié)果如圖4所示。由圖4可以看出，在目標(biāo)極限機(jī)動(dòng)能力條件下，破片飛散后沿處實(shí)現(xiàn)對(duì)目標(biāo)的攔截。實(shí)際應(yīng)用中，計(jì)算最優(yōu)引戰(zhàn)配合參數(shù)時(shí)可將破片飛散角適當(dāng)縮小，或?qū)⒛繕?biāo)機(jī)動(dòng)能力增大，以保證在極限條件下對(duì)目標(biāo)的攔截能力。圖4同時(shí)表明，在多種因素同時(shí)影響下，可以通過調(diào)整戰(zhàn)斗部的設(shè)計(jì)，如改變破片飛散角、破片速度來實(shí)現(xiàn)所需的攔截方案。

表2 最佳引戰(zhàn)配合參數(shù)算例Tab.2 Simulated results of example

圖4 典型工況下對(duì)機(jī)動(dòng)目標(biāo)攔截情況Fig.4 Interception of maneuvering targets under typical conditions

本文提出算法對(duì)目標(biāo)的攔截能力受目標(biāo)飛行速度、目標(biāo)機(jī)動(dòng)能力、導(dǎo)引頭視野盲區(qū)大小的影響，理論上可以計(jì)算任何目標(biāo)速度下的戰(zhàn)斗部最佳起爆時(shí)間。但受破片有效毀傷半徑和破片密集程度影響，本文只給出了300 m/s的算例，當(dāng)前可以適用于預(yù)警機(jī)、軍用運(yùn)輸機(jī)等亞音速飛行器的攔截。隨著導(dǎo)引技術(shù)和戰(zhàn)斗部技術(shù)的提高，該方法的適用性將更廣。

5.2 終端多約束制導(dǎo)律仿真

目標(biāo)類型、速度以及機(jī)動(dòng)能力通?？捎傻孛嫣綔y設(shè)備獲取，以攔截目標(biāo)最大速度300 m/s，最大可用過載91.8g工況為研究算例，為實(shí)現(xiàn)彈目終端位置、視線角與速度矢量夾角同時(shí)約束，設(shè)定：

(30)

假設(shè)導(dǎo)彈的機(jī)動(dòng)能力范圍為70g，即

-70g

(31)

根據(jù)末端狀態(tài)約束條件，使用Gauss偽譜法求解目標(biāo)在不同方向上運(yùn)動(dòng)時(shí)導(dǎo)彈對(duì)目標(biāo)的攔截情況，攔截初始狀態(tài)如表3所示。

表3 彈目初始狀態(tài)Tab.3 Initial states of missile and target

圖5(a)為彈目交會(huì)彈道，其中γt為目標(biāo)的速度方向角，在目標(biāo)不同的運(yùn)動(dòng)方向上，導(dǎo)彈均能實(shí)現(xiàn)對(duì)目標(biāo)的攔截。圖5(b)、圖5(c)分別為彈目速度夾角與視線速度夾角，其在不同初始狀態(tài)下均能收斂到引戰(zhàn)配合所需的終端約束條件。

圖5 多約束下狀態(tài)量收斂情況Fig.5 Convergence of state under multiple constraints

圖6為導(dǎo)彈法向需用過載。由圖6可以看出：導(dǎo)彈的控制量在彈道前期，并且不同目標(biāo)狀態(tài)下，導(dǎo)彈控制量均在約束范圍內(nèi)；導(dǎo)彈彈道的調(diào)節(jié)主要在彈道前期，有利于彈道的穩(wěn)定控制。

圖6 導(dǎo)彈法向需用過載Fig.6 Required acceleration in normal of missile

6 結(jié)論

針對(duì)空中機(jī)動(dòng)目標(biāo)攔截、導(dǎo)引頭存在近距盲區(qū)的問題，本文提出了一種考慮目標(biāo)最大機(jī)動(dòng)能力的制導(dǎo)和引信及戰(zhàn)斗部一體化設(shè)計(jì)方法，在目標(biāo)進(jìn)入盲區(qū)后進(jìn)行任意能力范圍內(nèi)的機(jī)動(dòng)情況下，實(shí)現(xiàn)目標(biāo)的可靠攔截，基于破片與目標(biāo)交會(huì)模型，推導(dǎo)了引信最佳起爆時(shí)間、進(jìn)入盲區(qū)時(shí)的視線角、速度矢量夾角的解析解；以末端彈目相對(duì)位置、視線角、速度矢量夾角為約束條件，建立彈目相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程，基于Gauss偽譜法對(duì)多約束下的制導(dǎo)律進(jìn)行數(shù)值求解。仿真分析表明，提出的引戰(zhàn)配合方法實(shí)現(xiàn)了目標(biāo)任意可行范圍內(nèi)的可靠攔截，基于Gauss偽譜法的在線求解多末端約束條件的制導(dǎo)方程，成功實(shí)現(xiàn)了導(dǎo)彈進(jìn)入盲區(qū)時(shí)的狀態(tài)約束。本文提出的方法將可解決防空導(dǎo)彈導(dǎo)引頭盲區(qū)內(nèi)攔截問題，提高防空導(dǎo)彈對(duì)機(jī)動(dòng)目標(biāo)的攔截能力，但該方法同時(shí)存在一定的適用性，當(dāng)飛行器速度更高、機(jī)動(dòng)能力更大時(shí)，對(duì)戰(zhàn)斗部毀傷半徑和破片密度都產(chǎn)生了較大的考驗(yàn)；并且，當(dāng)飛行器在多個(gè)方向上存在較大機(jī)動(dòng)能力時(shí)，需要考慮三維情況的引戰(zhàn)配合，這些問題將在未來進(jìn)一步研究。