翁世洲,呂躍進(jìn)

(1.廣西民族師范學(xué)院 經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院,廣西 崇左 532200； 2.廣西大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)院,南寧 530004；3.廣西科技大學(xué) 鹿山學(xué)院,廣西 柳州 545616)

0 引言

區(qū)間粗糙數(shù)作為近年來(lái)興起的一種新的數(shù)據(jù)形式,以粗糙集和序信息系統(tǒng)為理論基礎(chǔ)[1],在處理不確定、不一致和不精確數(shù)據(jù)方面顯示出其獨(dú)特優(yōu)勢(shì).作為區(qū)間數(shù)和粗糙集的聯(lián)合推廣形式,區(qū)間粗糙數(shù)的數(shù)據(jù)區(qū)間從一個(gè)變?yōu)閮蓚€(gè),形如([a,b],[c,d]),其中c≤a≤b≤d.因此,如何將區(qū)間粗糙數(shù)與實(shí)數(shù)空間對(duì)應(yīng)起來(lái),進(jìn)而解決多屬性決策中的相關(guān)問(wèn)題尤為重要.

在對(duì)區(qū)間粗糙數(shù)進(jìn)行排序比較的研究領(lǐng)域,國(guó)內(nèi)學(xué)者已取得一些初步成果.如曾玲等人[2]1758將區(qū)間粗糙數(shù)的期望值定義為(a+b+c+d)/4,以期望值大小作為區(qū)間粗糙數(shù)排序的依據(jù).王堅(jiān)強(qiáng)等人[3]則進(jìn)一步引入?yún)^(qū)間粗糙數(shù)的隨機(jī)變量,使得每個(gè)對(duì)象在各個(gè)準(zhǔn)則下的取值對(duì)應(yīng)多個(gè)區(qū)間粗糙數(shù)和相應(yīng)的概率取值,并通過(guò)區(qū)間粗糙集結(jié)算子(WIRDAA)對(duì)準(zhǔn)則下的不同取值進(jìn)行集結(jié)以達(dá)到排序目的.錢偉懿等人[4]在定義加權(quán)平均算子(IRWA)與加權(quán)幾何算子(IRWG)的基礎(chǔ)上,提出了區(qū)間粗糙數(shù)比較的可能度公式,并討論了相關(guān)性質(zhì),最后通過(guò)IRWA算子進(jìn)行排序決策.呂躍進(jìn)等人[5]提出了一種考慮決策者偏好的加權(quán)期望值計(jì)算方法,孫琪恒[6]通過(guò)統(tǒng)計(jì)理論中的極大似然估計(jì)確定其數(shù)學(xué)期望進(jìn)而排序,張芳馨等人[7]通過(guò)定義區(qū)間粗糙數(shù)的可能度然后進(jìn)行排序,曾雪蘭等人[8]將集對(duì)分析與聯(lián)系數(shù)的概念引入?yún)^(qū)間粗糙數(shù),然后將區(qū)間粗糙數(shù)轉(zhuǎn)化為聯(lián)系數(shù)進(jìn)而加以比較和排序.此外謝鳳平等人[9]討論了基于區(qū)間粗糙數(shù)互補(bǔ)判斷矩陣的排序問(wèn)題,呂躍進(jìn)等[10]對(duì)基于區(qū)間粗糙數(shù)信息系統(tǒng)的覆蓋分類冗余度與屬性約簡(jiǎn)進(jìn)行了相關(guān)研究并取得一定成果.

在區(qū)間粗糙數(shù)分布類型的研究領(lǐng)域,國(guó)內(nèi)近年來(lái)也取得一些成果,如田瑾等人[11]提出了帶參數(shù)的區(qū)間粗糙數(shù)問(wèn)題,考慮了非均勻分布下的區(qū)間粗糙數(shù)比較問(wèn)題,并給出了集結(jié)算子.夏曉東等[12]在其成果中也采用了帶參數(shù)的區(qū)間粗糙數(shù),并結(jié)合理想點(diǎn)法給出了多屬性決策方法.盡管這些文獻(xiàn)開始意識(shí)到不能忽略區(qū)間粗糙數(shù)的分布類型去討論其相關(guān)性質(zhì),但在分布類型的研究上還有待進(jìn)一步深入.

從現(xiàn)有文獻(xiàn)來(lái)看,盡管研究區(qū)間粗糙數(shù)的排序方法已經(jīng)取得諸多成果,但是在將區(qū)間粗糙數(shù)轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)的過(guò)程中,不可避免需要涉及的一個(gè)問(wèn)題,即區(qū)間粗糙數(shù)分布類型的假定.在上述文獻(xiàn)中,文獻(xiàn)[6-7]給出了區(qū)間粗糙數(shù)服從均勻分布的假定,文獻(xiàn)[8-9]給出了區(qū)間粗糙數(shù)服從正態(tài)分布的假定.文獻(xiàn)[2-5]雖未明確表明其研究的區(qū)間粗糙數(shù)服從何種分布,但根據(jù)其所定義的數(shù)學(xué)期望等度量公式來(lái)看,研究者們也更傾向于數(shù)據(jù)服從均勻分布或正態(tài)分布.但在實(shí)際問(wèn)題中,區(qū)間粗糙數(shù)在給定范圍內(nèi)的取值可能服從各種不同類型的分布,如常見的還有指數(shù)分布、二項(xiàng)分布、泊松分布等形式,若區(qū)間粗糙數(shù)并非服從簡(jiǎn)單的均勻分布或正態(tài)分布,則上述文獻(xiàn)所定義的相關(guān)公式(如數(shù)學(xué)期望)將不再適用,這將給區(qū)間粗糙數(shù)的比較與排序帶來(lái)新的難題,但若針對(duì)每一種分布類型去研究其復(fù)雜的數(shù)學(xué)機(jī)理,進(jìn)而定義數(shù)學(xué)期望、方差的公式再用于比較,其晦澀的數(shù)學(xué)推理將成為阻礙區(qū)間粗糙數(shù)理論研究發(fā)展的一大障礙.

鑒于此,本文將對(duì)區(qū)間粗糙數(shù)所服從的不同分布類型進(jìn)行假定,從常見的均勻分布、正態(tài)分布、二項(xiàng)分布、指數(shù)分布入手展開相應(yīng)分析.在本文中,將避開復(fù)雜的數(shù)學(xué)理論,直接考慮隨機(jī)變量在區(qū)間粗糙數(shù)給定范圍內(nèi)的取值情況,并通過(guò)MATLAB軟件產(chǎn)生符合特定分布律的隨機(jī)數(shù),模擬這一情形,其關(guān)鍵在于如何將區(qū)間粗糙數(shù)的參數(shù)與不同分布類型的參數(shù)對(duì)應(yīng)起來(lái).對(duì)不同區(qū)間粗糙數(shù)的排序比較問(wèn)題,不再使用數(shù)學(xué)理論進(jìn)行推導(dǎo),在服從給定分布的情形下,用MATLAB軟件進(jìn)行大數(shù)據(jù)模擬,根據(jù)每次產(chǎn)生的不同隨機(jī)數(shù)進(jìn)行比較,統(tǒng)計(jì)總體結(jié)果并對(duì)不同的區(qū)間粗糙數(shù)比較排序.借助于軟件的強(qiáng)大功能并通過(guò)快速運(yùn)算在一定程度上替代數(shù)學(xué)推理,但能達(dá)到相同的效果,為人工智能的發(fā)展提供參考和借鑒.

1 區(qū)間粗糙數(shù)基本概念

定義1[16]設(shè)U是一個(gè)論域,并且是一個(gè)表示概念的集合,其下近似和上近似分別定義為

(1)

(2)

其中:R(x)={y∈U|y?x},R-1(x)={y∈U|x?y}.

定義3一個(gè)區(qū)間粗糙數(shù)是下近似和上近似均為區(qū)間的粗糙集,記為([a,b],[c,d]),其中c≤a≤b≤d.

例如某項(xiàng)目的投資額用區(qū)間粗糙數(shù)表示為([4,6],[3,7]),對(duì)于這一表達(dá)的含義,解釋為“投資額在4萬(wàn)～6萬(wàn)元之間是肯定的,在3萬(wàn)～7萬(wàn)元之間是可能的”[2]1757,筆者認(rèn)為這一解釋在邏輯上存在些許問(wèn)題,既然取值在4萬(wàn)～6萬(wàn)元之間是肯定的,自然就無(wú)法取到超出這一范圍的值,也就不存在于3萬(wàn)～7萬(wàn)元之間取值的提法.鑒于此,本文認(rèn)為對(duì)于區(qū)間粗糙數(shù)的語(yǔ)義解釋可有以下兩種:

1)若該項(xiàng)目的投資額在4萬(wàn)～6萬(wàn)元之間,是肯定能被投資者接受的,若投資額在3萬(wàn)～7萬(wàn)元之間,是可能被投資者接受的.這一解釋是站在投資人的角度,對(duì)不同投資額的接受程度進(jìn)行解釋,且“肯定”與“可能”的語(yǔ)義與粗糙集的下、上近似相一致.

2)該項(xiàng)目的投資額肯定會(huì)在3萬(wàn)～7萬(wàn)元之間,但實(shí)際上更有可能在4萬(wàn)～6萬(wàn)元之間.這一解釋是站在項(xiàng)目本身的角度,對(duì)其投資額可能的取值范圍進(jìn)行描述,以不同的概率取對(duì)應(yīng)值,這一解釋雖使得“肯定”與“可能”的語(yǔ)義與粗糙集不相一致,但與絕大多數(shù)實(shí)際情況是相符的.

2 各類隨機(jī)分布下的區(qū)間粗糙數(shù)模型

2.1 均勻分布

若區(qū)間粗糙數(shù)ξ=([a,b],[c,d])在給定區(qū)間上服從均勻分布,則對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)期望與方差分別為

(3)

此時(shí)ξ在區(qū)間[a,b]取值的概率為

(4)

在使用MATLAB軟件進(jìn)行仿真時(shí),利用系統(tǒng)自帶的函數(shù)unifrnd可以產(chǎn)生服從均勻分布的隨機(jī)數(shù),語(yǔ)法格式為

M=unifrnd(a,b):產(chǎn)生在區(qū)間[a,b]上服從均勻分布的隨機(jī)數(shù).

2.2 兩階段均勻分布

本文所指的兩階段均勻分布,其基本提法來(lái)源于文獻(xiàn),意為ξ在區(qū)間[c,d]上服從均勻分布的基本假定,但由于區(qū)間粗糙數(shù)的初衷為ξ“更有可能”在[a,b]上去取值,鑒于此,在均勻分布的基礎(chǔ)上,將ξ所對(duì)應(yīng)的區(qū)間分為兩部分,即[a,b]與[c,a]∪[b,d],然后ξ在[a,b]與[c,a]∪[b,d]各自服從均勻分布,但顯然應(yīng)在[a,b]上有更大的概率密度[18]820.

(5)

公式(5)意為ξ在[a,b]上取值的概率密度是在[c,a]∪[b,d]上取值的概率密度的k倍,解之得

(6)

在使用MATLAB軟件進(jìn)行仿真時(shí),無(wú)法直接產(chǎn)生此種類型的分布,因此只能借助于均勻分布的方法間接產(chǎn)生.步驟如下:

1)使用flag=unifrnd(0,1)產(chǎn)生[0,1]上服從均勻分布的隨機(jī)數(shù)；

2)若flag≤x,則使用M=unifrnd(a,b)產(chǎn)生區(qū)間[a,b]上服從均勻分布的隨機(jī)數(shù)；否則轉(zhuǎn)下一步；

3)使用flag2=unifrnd(0,1)產(chǎn)生[0,1]上服從均勻分布的隨機(jī)數(shù)；

注:上述第4步的flag2,意在使得ξ在[c,a]∪[b,d]}按區(qū)間長(zhǎng)度所占比例對(duì)應(yīng)產(chǎn)生隨機(jī)數(shù),避免因?yàn)閇c,a]∪[b,d]}不是一個(gè)連續(xù)區(qū)間而無(wú)法直接產(chǎn)生隨機(jī)數(shù).

2.3 正態(tài)分布

若區(qū)間粗糙數(shù)ξ∈([a,b]∪[c,d])在給定區(qū)間上服從正態(tài)分布N(μ,σ2),由于正態(tài)分布對(duì)應(yīng)的定義域?yàn)?-∞,+∞),區(qū)間[c,d]只是定義域中的一段,如何通過(guò)區(qū)間粗糙數(shù)的端點(diǎn)來(lái)界定正態(tài)分布的參數(shù)值得考慮,為避免在生成正態(tài)分布隨機(jī)數(shù)時(shí)產(chǎn)生溢出或越界現(xiàn)象,根據(jù)正態(tài)分布的3σ準(zhǔn)則,使得P{ξ∈[c,d]}≥Φ(3)-Φ(-3)=0.997 4,即溢出的概率僅為3‰以下,使隨機(jī)數(shù)以盡可能大的概率落入給定區(qū)間[c,d]上.

由準(zhǔn)則可知正態(tài)分布下對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)期望與標(biāo)準(zhǔn)差為

(7)

此時(shí)ξ在區(qū)間[a,b]取值的概率為

(8)

在使用MATLAB軟件進(jìn)行仿真時(shí),可直接使用系統(tǒng)自帶函數(shù)normrnd(MU,SIGMA)產(chǎn)生均值為°MU,標(biāo)準(zhǔn)差為°SIGMA°的正態(tài)隨機(jī)數(shù).步驟如下:

1)計(jì)算區(qū)間粗糙數(shù)ξ=([a,b],[c,d]}所對(duì)應(yīng)的正態(tài)分布均值MU和標(biāo)準(zhǔn)差SIGMA；

2)使用M=normrnd(MU,SIGMA)命令生成均值為°MU,標(biāo)準(zhǔn)差為°SIGMA°的正態(tài)隨機(jī)數(shù)；

3)若M?[c,d],表明數(shù)據(jù)溢出,則重新生成,直至符合要求為止.

2.4 二項(xiàng)分布

若區(qū)間粗糙數(shù)ξ∈([a,b],[c,d])在給定區(qū)間上服從二項(xiàng)分布b(n,p),其中二項(xiàng)分布X～b(n,p)的兩個(gè)參數(shù)分別表示最大實(shí)驗(yàn)次數(shù)和單次實(shí)驗(yàn)中某事件發(fā)生的概率.為使得區(qū)間粗糙數(shù)服從二項(xiàng)分布,對(duì)應(yīng)關(guān)系如下.

由于隨機(jī)變量應(yīng)在0～n之間取值,為了對(duì)應(yīng),需先將ξ∈([a,b],[c,d])轉(zhuǎn)化為ξ′=([a-c,b-c],[0,d-c]),此時(shí)則有n=d-c,二項(xiàng)分布的數(shù)學(xué)期望E(X)=np代表最有可能發(fā)生的位置,由于ξ′=([a-c,b-c],[0,d-c]),更有可能在[a-c,b-c]之間取值,因此有數(shù)學(xué)期望的近似公式:

(9)

(10)

將ξ=([a,b]，[c,d])轉(zhuǎn)化為ξ′=([a-c,b-c]，[0,d-c])的合理性在于:

E(X+C)=E(X)+C,D(X+C)=D(X),

(11)

即數(shù)據(jù)進(jìn)行線性變換后不會(huì)改變隨機(jī)變量的數(shù)字特征和分布規(guī)律,因此這種轉(zhuǎn)換是合理的.

在使用MATLAB軟件進(jìn)行仿真時(shí),可直接使用系統(tǒng)自帶函數(shù)°binornd(n,p)產(chǎn)生實(shí)驗(yàn)次數(shù)為°n,單次試驗(yàn)發(fā)生概率為p的二項(xiàng)分布隨機(jī)數(shù),具體步驟如下:

1)將區(qū)間粗糙數(shù)ξ=([a,b],[c,d])轉(zhuǎn)化為ξ′=([a-c,b-c]，[0,d-c])；

2)由公式計(jì)算所需參數(shù)n,p；

3)使用M=binornd(10n,p)命令產(chǎn)生0～10n上的二項(xiàng)分布隨機(jī)數(shù)；

4)令M=M/10+c將數(shù)據(jù)還原到區(qū)間[c,d]上.

2.5 指數(shù)分布

X服從參數(shù)為θ的指數(shù)分布的概率密度為

(12)

若區(qū)間粗糙數(shù)ξ=([a,b],[c,d])在給定區(qū)間上服從指數(shù)分布,為擬合指數(shù)分布,需做與二項(xiàng)分布類似的數(shù)據(jù)變換,即ξ′=([a-c,b-c]，[0,d-c]).由于指數(shù)分布的有效定義域?yàn)?0,+∞),而ξ對(duì)應(yīng)的區(qū)間[0,d-c]只是其中很小一部分,但占據(jù)著極大概率.因此,在確定參數(shù)θ時(shí)應(yīng)盡可能使得產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)落入?yún)^(qū)間[0,d-c]上.與正態(tài)分布類似,采取以1-α的概率保證這一結(jié)論的成立,即

(13)

其中x0=d-c.則解之得

(14)

在使用MATLAB軟件進(jìn)行仿真時(shí),可直接使用系統(tǒng)自帶函數(shù)exprnd(EX)產(chǎn)生均值為EX的隨機(jī)數(shù),具體步驟如下:

1)將區(qū)間粗糙數(shù)ξ=([a,b],[c,d])轉(zhuǎn)化為ξ′=([a-c,b-c]，[0,d-c])；

2)由公式計(jì)算對(duì)應(yīng)參數(shù)θ；

3)使用M=exprnd(θ)命令產(chǎn)生(0,+∞)上的指數(shù)分布隨機(jī)數(shù)；

4)若M>d-c,表明數(shù)據(jù)溢出,則返回上一步重新生成隨機(jī)數(shù),否則轉(zhuǎn)下一步；

5)令M=M+c將數(shù)據(jù)還原到區(qū)間[c,d]上.

2.6 無(wú)規(guī)律隨機(jī)分布

本文所指的無(wú)規(guī)律隨機(jī)分布,指不存在任何明顯規(guī)律,或者是尚未發(fā)現(xiàn)其規(guī)律,抑或是難以用常見的分布類型進(jìn)行表達(dá)的情形.即ξ=([a,b],[c,d])在區(qū)間[c,d]上的取值幾乎是完全隨機(jī)的.

MATLAB軟件本身沒(méi)有提供完全無(wú)規(guī)律的隨機(jī)數(shù),因此在仿真時(shí),實(shí)際上仍是產(chǎn)生服從某種常見分布的隨機(jī)數(shù),但是在選擇分布類型時(shí)是以隨機(jī)原則進(jìn)行的.其步驟可簡(jiǎn)單概括為:

1)使用某一分布函數(shù)隨機(jī)產(chǎn)生一個(gè)k∈[1,n]之間的整數(shù)隨機(jī)數(shù),即k=1,2,……,n；

2)根據(jù)k值選擇預(yù)先設(shè)定好的隨機(jī)數(shù)類型；

3)根據(jù)上一步選擇的分布類型使用對(duì)應(yīng)的函數(shù)產(chǎn)生相應(yīng)隨機(jī)數(shù),具體步驟如前所述.

例如預(yù)先設(shè)定了五種分布,則取n=5,若在步驟1中產(chǎn)生的數(shù)字為1,則按第一種分布類型(假定為均勻分布)產(chǎn)生隨機(jī)數(shù),在第二次試驗(yàn)時(shí),若在步驟1中產(chǎn)生的數(shù)字為3,則按第三種分布類型(假定為正態(tài)分布)產(chǎn)生隨機(jī)數(shù),以盡可能達(dá)到完全隨機(jī)的目的.

上述做法看似隨機(jī)數(shù)是由有規(guī)律的分布類型所產(chǎn)生,但由于在循環(huán)仿真中每次產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)實(shí)際上是由不同分布混合而成,而這些常見分布的混合并不服從某一常見分布,從而實(shí)現(xiàn)模擬無(wú)規(guī)律隨機(jī)分布的目的.

在統(tǒng)計(jì)領(lǐng)域,對(duì)于隨機(jī)變量的分布類型,遠(yuǎn)遠(yuǎn)不止上述幾種,如還有幾何分布、超幾何分布、泊松分布、卡方分布、t分布等各種類型,限于篇幅,本文無(wú)法一一列舉并做討論,對(duì)于其他分布,可按類似的方式確定區(qū)間粗糙數(shù)的邊界值與相應(yīng)分布類型參數(shù)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系,然后進(jìn)行轉(zhuǎn)化.值得說(shuō)明的是,不同分布之間并無(wú)優(yōu)劣之分,不同分布的存在僅僅是因?yàn)橛衅涓髯赃m用的問(wèn)題背景.至于在實(shí)際問(wèn)題中,不同的屬性或指標(biāo)數(shù)據(jù)符合何種分布,需要根據(jù)問(wèn)題特性以及行業(yè)經(jīng)驗(yàn)來(lái)加以確定,不是數(shù)學(xué)本身可以做出強(qiáng)制性規(guī)定的.如在排隊(duì)系統(tǒng)中,顧客到達(dá)率一般服從泊松分布或指數(shù)分布,乘客候車時(shí)間則服從均勻分布,考試成績(jī)一般服從正態(tài)分布等.在同一個(gè)問(wèn)題中,不同指標(biāo)可能服從不同的分布類型,不能采用統(tǒng)一的分布假設(shè)進(jìn)行處理.

3 區(qū)間粗糙數(shù)比較的仿真研究

為研究不同分布類型對(duì)區(qū)間粗糙數(shù)實(shí)際取值的影響,本文分別用MATLAB程序?qū)⑸鲜龇植碱愋蛯?duì)應(yīng)的產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)算法加以實(shí)現(xiàn),并對(duì)表1中不同的區(qū)間粗糙數(shù)進(jìn)行兩兩對(duì)比分析,得到的實(shí)驗(yàn)結(jié)果如表2所示(實(shí)驗(yàn)環(huán)境:Windows7 32位操作系統(tǒng),CPU AMD N830三核,內(nèi)存2GB,硬盤500GB).

表1 仿真分析原始數(shù)據(jù)

在表2中,仿真次數(shù)N=10 000,i和j分別表示表1中的對(duì)應(yīng)區(qū)間粗糙數(shù)xi和xj的對(duì)比,fk表示第k種分布下,xi>xj的次數(shù),ek表示第k種分布下,xi=xj的次數(shù)(只有二項(xiàng)分布和無(wú)規(guī)律隨機(jī)分布下會(huì)出現(xiàn)此種情形),pk表示根據(jù)仿真結(jié)果計(jì)算出的xi>xj的概率,則P{xi>xj}=fk/N.

表2 仿真分析統(tǒng)計(jì)結(jié)果表

基于本文比較方法,可得不同分布下的區(qū)間粗糙數(shù)排序關(guān)系如表3所示,為了驗(yàn)證本文算法,將文獻(xiàn)[2]和文獻(xiàn)[4]給出的排序方法應(yīng)用于本例中,對(duì)比結(jié)果如表3所示.

表3 本文算法與類似文獻(xiàn)對(duì)比

注:表中帶*的數(shù)字,表明該方法下的排序與其他各排序方法存在不一致的情況.

由表2的仿真結(jié)果可以看出,給定兩個(gè)區(qū)間粗糙數(shù),當(dāng)給出不同的分布類型假設(shè)時(shí),所得到的優(yōu)劣比較概率存在較大差別.以x3,x5的比較為例,在指數(shù)分布下,x3與x5不相上下,甚至x3還稍微占優(yōu),但在其他分布類型下,比較結(jié)果均為x3顯著劣于x5,整個(gè)占優(yōu)概率區(qū)間跨度為[0.02,0.51],差異性較大.

由表3可以看出,盡管大多數(shù)分布下得出的排序結(jié)果一致,均為x4?x1?x2?x5?x3,該結(jié)果與文獻(xiàn)[2]和[4]一致,但也存在特殊情況,例如在二項(xiàng)分布中,x1與x4出現(xiàn)了逆序情況,在指數(shù)分布中,x3與x5同樣出現(xiàn)了逆序.

仿真結(jié)論:區(qū)間粗糙數(shù)分布類型的不同假定對(duì)于區(qū)間粗糙數(shù)大小的比較有一定影響,甚至可能會(huì)在不同的分布類型下得到完全不同的結(jié)論,因此在現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的區(qū)間粗糙數(shù)比較研究中,有必要根據(jù)實(shí)際情況對(duì)區(qū)間粗糙數(shù)所服從的分布類型進(jìn)行研究,從而做出合理的假定.

為進(jìn)一步驗(yàn)證對(duì)不同分布類型假定下的合理性,特地選取x1在二項(xiàng)分布和指數(shù)分布下的隨機(jī)數(shù)取值結(jié)果進(jìn)行分析,取值規(guī)律如圖1、圖2所示.

圖1 二項(xiàng)分布下的x1取值效果圖 圖2 指數(shù)分布下的x1取值效果圖

從圖1、圖2可以看出,在對(duì)x1進(jìn)行的10 000次仿真模擬中,產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)服從二項(xiàng)分布和指數(shù)分布的擬合效果與相應(yīng)分布的理論情形基本吻合,說(shuō)明隨機(jī)數(shù)模擬算法達(dá)到了預(yù)定目標(biāo).同時(shí)可以看出,盡管x1都是在[9,13]之間取值,但是由于分布類型不同,其取值的集中區(qū)間明顯不同,在二項(xiàng)分布下,x1取值主要集中在[11,12],基本呈對(duì)稱分布,而在指數(shù)分布下,x1取值則主要集中在[9,10],并且取值概率逐漸下降.

4 區(qū)間粗糙數(shù)在物流中心選址中的應(yīng)用

4.1 案例背景

物流配送中心的選址關(guān)系到物流運(yùn)輸成本、車輛調(diào)度等諸多問(wèn)題,越來(lái)越受到企業(yè)重視.因此,在企業(yè)物流規(guī)模的擴(kuò)張中,何處選址需要企業(yè)進(jìn)行科學(xué)分析.假定某公司現(xiàn)有5個(gè)候選地址可供建立物流配送中心,企業(yè)在選址時(shí)考慮的主要因素包括成本、期望收益、管理效益和風(fēng)險(xiǎn)四個(gè)方面.各指標(biāo)對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù)由于是預(yù)估值,因此都是以區(qū)間粗糙數(shù)的形式給出,為了避免指標(biāo)間的數(shù)據(jù)類型差異,成本數(shù)據(jù)表示成本節(jié)約量、風(fēng)險(xiǎn)數(shù)據(jù)表示規(guī)避和防范風(fēng)險(xiǎn)能力,因此所有數(shù)據(jù)都是效益型數(shù)據(jù).原始數(shù)據(jù)如表4所示,其中a1,a2,a3,a4分別表示節(jié)約成本、期望收益、管理效益和規(guī)避風(fēng)險(xiǎn)四個(gè)方面的評(píng)價(jià)指標(biāo).

表4 物流中心選址原始數(shù)據(jù)

對(duì)于區(qū)間粗糙數(shù)形式的多屬性決策問(wèn)題,首先需要解決兩個(gè)難題,一是區(qū)間粗糙數(shù)向?qū)崝?shù)的轉(zhuǎn)化,這就涉及數(shù)據(jù)分布的假設(shè)問(wèn)題,而傳統(tǒng)方法在求其期望值時(shí)基本是按照均勻分布或正態(tài)分布進(jìn)行處理,且對(duì)所有指標(biāo)均是如此,缺乏科學(xué)依據(jù).二是多屬性的數(shù)據(jù)集結(jié)問(wèn)題,一般方法如層次分析法、模糊綜合評(píng)價(jià)等均需要確定不同指標(biāo)的權(quán)重,然后在此基礎(chǔ)上進(jìn)行集結(jié),但權(quán)重的確定是一個(gè)極為主觀的問(wèn)題,不同的權(quán)重完全可能導(dǎo)致不同的排序結(jié)果.綜合上述分析,擬采用本文所提的方法,一是根據(jù)不同指標(biāo)擬合不同的分布類型,二是避免不同屬性集結(jié)過(guò)程中的數(shù)據(jù)歸一化處理和權(quán)重確定問(wèn)題,最大程度上做到客觀公正.

4.2 排序比較

根據(jù)指標(biāo)本身的數(shù)據(jù)特性,同時(shí)為了進(jìn)一步驗(yàn)證本文所給出的不同分布形式,故假定節(jié)約成本和期望收益服從均勻分布,管理效益服從二項(xiàng)分布,規(guī)避風(fēng)險(xiǎn)服從指數(shù)分布.根據(jù)上節(jié)中的MATLAB仿真算法進(jìn)行再次仿真,得到的結(jié)論見如下表5.

表5 物流中心數(shù)據(jù)兩兩比較仿真結(jié)果

表5中,第一行第二列表格中的(0.899,0.772,0.979,1)表示x1與x2相比,在四個(gè)屬性下各自的優(yōu)勢(shì)度(仿真次數(shù)N=10 000),即Pa1(x1>x2)=0.899,Pa2(x1>x2)=0.772,Pa3{x1>x2}=0.979,Pa4{x1>x2}=1,其他數(shù)值可做類似解釋.

若取α=0.5表示優(yōu)劣比較的下限,則根據(jù)優(yōu)勢(shì)關(guān)系的構(gòu)造方法[18]823,可得

進(jìn)而根據(jù)優(yōu)勢(shì)關(guān)系排序法[19],可得五個(gè)方案的排序結(jié)果為

x5?x3?x1?x2～x4.

排序結(jié)果表明,在5個(gè)候選地址中,x5是最佳選擇,x2和x4則不相上下,且均不宜作為選址方案.這與文獻(xiàn)[18]的排序結(jié)果一致,說(shuō)明了本文對(duì)區(qū)間粗糙數(shù)分布的假定是合理的.

5 結(jié)語(yǔ)

本文通過(guò)對(duì)區(qū)間粗糙數(shù)所服從的分布做出合理假定,討論了六種不同分布類型下的區(qū)間粗糙數(shù)取值與分布類型參數(shù)之間的關(guān)系,并給出了如何使用MATLAB軟件進(jìn)行仿真分析的相關(guān)算法.通過(guò)樣例數(shù)據(jù),在MATLAB軟件下對(duì)各種分布類型的區(qū)間粗糙數(shù)進(jìn)行比較分析,得出分布類型對(duì)區(qū)間粗糙數(shù)的比較存在一定影響的結(jié)論.此外,論文還將這一方法應(yīng)用到物流領(lǐng)域,用于輔助進(jìn)行物流中心的選址決策,結(jié)果與其他文獻(xiàn)一致.

通過(guò)MATLAB軟件進(jìn)行數(shù)據(jù)仿真分析,可大大降低分析難度,避開晦澀難懂的概率求解問(wèn)題,具有更好的推廣價(jià)值.今后我們將進(jìn)一步討論其他分布類型下的區(qū)間粗糙數(shù)比較問(wèn)題,并進(jìn)一步推廣到其他應(yīng)用領(lǐng)域,以不斷豐富和完善多屬性決策的理論方法.