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2020-2 如圖1所示，一陀螺由質(zhì)量為m、半徑為r的均質(zhì)圓盤(厚度可不計(jì))及通過盤心且與盤面垂直的直桿AB剛連后組成。直桿AB長為l，質(zhì)量忽略不計(jì)，設(shè)l>r/2。陀螺鉸接于鉛垂軸Z上，當(dāng)Z軸以勻角速度ω轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，求：

(1) 陀螺的平衡位置(用AB桿與Z軸的交角θ表示)，并分析其穩(wěn)定性。

(2)陀螺在穩(wěn)定平衡位置附近微振動(dòng)的圓頻率。

(選自上海交通大學(xué)吳鎮(zhèn)編《理論力學(xué)》下冊22-22題，由江蘇大學(xué)張孝祖改編并提供解答)

圖1

問題： 圓環(huán)半徑為r，質(zhì)量為m，以向前的水平速度v0和相應(yīng)于閑回里滾動(dòng)的方向的角速度ω0與水平地面接觸。接觸時(shí)，圓環(huán)與其移動(dòng)速度v0在同一個(gè)鉛垂平面內(nèi)。圓環(huán)和地面的滑動(dòng)摩擦系數(shù)為f，滾動(dòng)摩阻不計(jì)。問：

(1) 在什么條件下圓環(huán)會(huì)往回里滾動(dòng)？

(2) 在何時(shí)何處開始作純滾動(dòng)，角速度是多少？

(3) 在什么條件下，往回里滾動(dòng)的圓環(huán)正好在著地時(shí)開始作純滾動(dòng)？

(供稿：薛聿瀧)

解答：

(1)根據(jù)圓環(huán)著地后移動(dòng)速度v和轉(zhuǎn)動(dòng)角速度的方向，地面摩擦力的方向仍是向后。

圓環(huán)中心運(yùn)動(dòng)微分方程為

其中，a為中心的加速度(水平)，據(jù)此可得

圓環(huán)的轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程為

得

因此，圓環(huán)中心的移動(dòng)速度等于

圓環(huán)轉(zhuǎn)動(dòng)角速度等于

以往回里滾動(dòng)的方向?yàn)檎?。使圓環(huán)最后能回滾的條件就是：當(dāng)v=0時(shí)，ω >0。v=0時(shí)t的計(jì)算如下：由式(4)可得

這時(shí)的角速度之值

因此，使圓環(huán)最后能回滾的條件就是ω0?v0/r >0，即ω0>v0/r。

根據(jù)式(7)，圓環(huán)開始回滾的瞬時(shí)，其滾動(dòng)角速度為

(2)此后的運(yùn)動(dòng)規(guī)律

由于滾動(dòng)的方向仍是向后(順時(shí)針)，故地面滑動(dòng)摩擦力仍是指向后面，因而加速度和角加速度仍是指向后面(順時(shí)針)，各值仍為式(1)和式(2)。

因此，從開始回滾算起，圓環(huán)中心的移動(dòng)速度(這回以向回里為正)等于

圖1

其中，t以開始回滾算起。圓環(huán)轉(zhuǎn)動(dòng)角速度則等于

依以往，ω以回滾為正。作純滾動(dòng)時(shí)，即v=ωr時(shí)

得所要時(shí)間

若從著地時(shí)算起，則時(shí)間為

回滾到開始作純滾動(dòng)的距離，根據(jù)式(7)，等于

然根據(jù)式(3)和式(5)，開始回滾處離著地點(diǎn)的距離等于

故開始作純滾動(dòng)處與著地點(diǎn)間的距離等于

以向前為正。這時(shí)的速度，即以后的等速運(yùn)動(dòng)的速度等于

(3)所要條件就是x=0，即，根據(jù)式(16)可得

或者