李道奎 劉軍虎 周仕明

?(國防科技大學(xué)空天科學(xué)學(xué)院，長沙410073)

?(北京航天長征飛行器研究所，北京100076)

在2017 年第十一屆全國周培源大學(xué)生力學(xué)競賽初賽試題[1]的第(13)題中，要求計算均布扭矩m作用下圓截面圓環(huán)(如圖1所示，圓環(huán)半徑為R，橫截面半徑為r，且r?R)橫截面上的內(nèi)力最大值，在所給出的解答[2]中，根據(jù)截面內(nèi)力(合彎矩M)與扭轉(zhuǎn)角φ之間的關(guān)系，當(dāng)φ=π時取得最大內(nèi)力。本文作者[3]也曾給出相同的結(jié)果，其實都是在不考慮穩(wěn)定性的條件下得到的，沒有討論系統(tǒng)是否可以達到這一狀態(tài)。黃志龍[4]曾對均布扭矩作用下任意截面圓環(huán)的穩(wěn)定性及分岔進行了分析，但沒有討論其變形及內(nèi)力的計算等問題。

本文在文獻[3]得到的圓截面圓環(huán)在均布扭力矩作用下總勢能表達式的基礎(chǔ)上，推導(dǎo)出圓環(huán)的平衡路徑，并根據(jù)系統(tǒng)穩(wěn)定性的能量判據(jù)[5]，對圓截面圓環(huán)在均布扭力矩作用下的平衡穩(wěn)定性、變形與運動過程進行分析，進而得到穩(wěn)定平衡狀態(tài)下圓環(huán)橫截面上的內(nèi)力最大值。

圖1 均布扭力矩作用下的圓環(huán)

1 系統(tǒng)的總勢能與平衡路徑

圓環(huán)在均布扭力矩作用下的總勢能等于應(yīng)變能與外力勢能之和[3]，即

式中，E為圓環(huán)材料的彈性模量，I=πr4/4為圓環(huán)橫截面對形心軸的慣性矩。

由最小勢能原理

將式(1)代入式(2)，再由δφ=0可得

根據(jù)式(2)，圖2 畫出了均布力偶載荷m隨橫截面的轉(zhuǎn)角φ的變化關(guān)系。從圖中可以看出，當(dāng)0φπ/2 時，m隨著φ的增大而增大；當(dāng)π/2φπ時，m隨著φ的增大而減小。這也就是說，當(dāng)φ=π/2時，m取得極大值，mmax=EI/R2。下面用能量法對變形過程的穩(wěn)定性進行分析[5]。

圖2 均布扭力矩m 隨橫截面的轉(zhuǎn)角φ 的變化關(guān)系

2 系統(tǒng)的平衡穩(wěn)定性分析

將式(3)兩邊對φ求導(dǎo)兩次，得

(1)當(dāng)0φ <π/2 或3π/2< φ2π 時，系統(tǒng)的平衡狀態(tài)是穩(wěn)定的。

(2)當(dāng)π/2< φ <3π/2 時系統(tǒng)的平衡狀態(tài)是不穩(wěn)定的。

(3)當(dāng)φ= π/2 或φ= 3π/2 時，必須進一步判斷將式(4)兩邊再次對φ求導(dǎo)得

當(dāng)φ=π/2時當(dāng)φ=3π/2時系統(tǒng)的平衡狀態(tài)都是不穩(wěn)定的。

3 圓環(huán)的變形與運動過程分析

根據(jù)以上討論可知，隨著橫截面轉(zhuǎn)角φ的增大，平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性是在發(fā)生變化的。在載荷m的作用下，其變形與運動過程是這樣的。

(1)當(dāng)0φπ/2時，m隨著φ的增大而增大，此階段的平衡狀態(tài)是穩(wěn)定的。

(2)當(dāng)φ= π/2 時，m取得極大值，mmax=EI/R2，此時平衡狀態(tài)是不穩(wěn)定的，圓環(huán)將失穩(wěn)翻轉(zhuǎn)，即文獻[5]中所謂的跳躍。翻轉(zhuǎn)過程中如果保持mmax不變(或繼續(xù)增大)，將會直接跳躍到φ=5π/2時的C點。

(3)當(dāng)π/2<φπ，此階段若因施加某種約束，使得翻轉(zhuǎn)過程很緩慢，m隨著φ的增大而減小，圓環(huán)也有可能在某個位置處于平衡狀態(tài)，如m=m0的E點，但這個平衡狀態(tài)將會是不穩(wěn)定的，微小擾動下將會直接跳躍回到D點。

(4)當(dāng)π< φ2π，此階段相當(dāng)于反向加載的情況，若從φ=2π處反向加載至B點，將會直接跳躍到φ=?π/2時的G點，這里就不再仔細(xì)分析了。

4 圓環(huán)橫截面上的內(nèi)力最大值

圓環(huán)橫截面上的合彎矩為[2-3]

根據(jù)以上分析可知，在沒有施加其他約束的情況下，截面的轉(zhuǎn)角φ不能達到π，而是在達到π/2時圓環(huán)就將翻轉(zhuǎn)。因此，截面內(nèi)力的最大值是在φ=π/2時達到的，即

而不是文獻[23]中給出在φ= π 時的Mmax=2EI/R。

需要說明的是，翻轉(zhuǎn)過程中盡管也會存在φ=π的狀態(tài)，但此狀態(tài)轉(zhuǎn)瞬而過，可以不考慮其受力情況。

5 結(jié)論

本文在文獻[3]得到的圓截面圓環(huán)在均布扭力矩作用下總勢能表達式的基礎(chǔ)上，推導(dǎo)得到了圓環(huán)的平衡路徑，并根據(jù)系統(tǒng)穩(wěn)定性的能量判據(jù)，分析了圓截面圓環(huán)在均布扭力矩作用下的平衡穩(wěn)定性、變形與運動過程，得到了穩(wěn)定平衡狀態(tài)下圓環(huán)橫截面上的內(nèi)力最大值。主要結(jié)論如下：

(1) 均布扭力矩作用下圓截面圓環(huán)的平衡狀態(tài)，在扭轉(zhuǎn)角φ∈[0,π/2)或φ∈(3π/2,2π]時是穩(wěn)定的，在φ∈[π/2,3π/2]時是不穩(wěn)定的；

(2)當(dāng)φ=π/2時，扭力矩取得極大值，圓環(huán)將失穩(wěn)翻轉(zhuǎn)；

(3)當(dāng)φ=π/2時，圓環(huán)橫截面上的內(nèi)力達到最大值，且直接根據(jù)內(nèi)力表達式得到的最大內(nèi)力(在φ=π時)因圓環(huán)失穩(wěn)而不存在。