李 燕

(雅安職業(yè)技術(shù)學(xué)院智信學(xué)院 四川 雅安 625000)

1 引言

麥克斯韋提出：即使不存在導(dǎo)體回路，在變化的磁場周圍也存在一個變化的電場，這個由變化的磁場激發(fā)的電場稱為感生電場.感生場強E感滿足以下兩個規(guī)律:

高斯定理

所以,對任何閉合曲面S，E感線是無頭無尾的連續(xù)閉合曲線，E感場是無散場.

環(huán)路定理

所以,對任何閉合曲線L，其中S是以L為邊線的曲面，E感是渦旋場，不能引入電位概念.

一般情況下感生電場的計算較為復(fù)雜，在多數(shù)大學(xué)電磁學(xué)教材中利用環(huán)路定理討論了少數(shù)具有對稱性感生電場的問題，例如無限長螺線管的電流隨時間作線性變化時其管內(nèi)外的E感問題，在討論此問題時,部分教材利用反證法證明了螺線管管內(nèi)外的E感線都是與螺線管軸線相垂直的同心圓.如圖1所示.

圖1為一無限長螺線管的一段，C為螺線管的橫截面，L為橫截面圓周長,半徑為R.筆者在此利用解析法和類比法兩種方法來證明E感線都是與C同心的同心圓，并在此基礎(chǔ)上計算E感的大小，以供教學(xué)參考，如有不妥，敬請指正.

圖1 無限長螺線管

2 解析法

在柱坐標(biāo)下，感生電場遵從的麥克斯韋方程為

(1)

(2)

因為螺線管為無限長且是對稱的，所以對r相同、θ和z不同的各點來說周圍磁場的分布情況應(yīng)該是一樣的，也就是說感生電場大小不隨θ和z變化，比較式(1)兩端有

可得

從而有

Er=0

由此可見E感既沒有徑向分量，也沒有軸向分量，只有θ分量，所以E感線都是與螺線管軸線相垂直的同心圓.下面還可根據(jù)式(2)求出Eθ的大小.

在管內(nèi)，即r

式中r=0時，Eθ有限，C1=0，所以有

(3)

(4)

當(dāng)r=R時，由式(3)知

故有

(5)

3 類比法

變化磁場激發(fā)的感生電場和傳導(dǎo)電流激發(fā)的磁場都遵從高斯定理和環(huán)路定理，所以可作對比如下:

感生電場

(6)

(7)

電流的磁場

(8)

(9)

由長直圓柱形電流的磁場得

r>R時，有

(10)

r

(11)

r>R時，有

(12)

r

(13)

值得注意的是使用類比法時應(yīng)滿足以下兩個條件：首先,j是電流密度,B為空間分布均勻的交變電流激發(fā)的磁場.其次,只有在不考慮邊界的無限空間中B和E感的矢量場才能由它們的散度和旋度完全確定，否則還應(yīng)給出邊界條件.

4 結(jié)束語

通過以上分析可以看出，不管是教材上的反證法，還是本文中的解析法或類比法，當(dāng)證明螺線管管內(nèi)外的E感線都是與螺線管軸線相垂直的同心圓時，除了利用已知條件的對稱性外，還要利用E感本身所遵從的定律，只有這樣才能得出正確結(jié)論.