安徽省安慶市岳西縣實(shí)驗(yàn)小學(xué) 儲(chǔ)銀桃

在小學(xué)六年級(jí)開始學(xué)習(xí)圓的知識(shí)，如圓的周長(zhǎng)計(jì)算公式C=2πR，圓的面積計(jì)算公式S=πR2。這其中，圓周率π是一個(gè)相當(dāng)重要的數(shù)學(xué)常數(shù)，這個(gè)常數(shù)在后續(xù)的數(shù)學(xué)課程中如影隨形，如三角函數(shù)、立體幾何、概率統(tǒng)計(jì)中都能見到它的身影；在其他自然科學(xué)中也隨處可見，如物理中單擺的周期公式、海森堡的不確定性原理、愛因斯坦相對(duì)論的場(chǎng)方程等?？梢哉f(shuō)，π的歷史，涉及人類文明包括數(shù)學(xué)學(xué)科的整個(gè)發(fā)展歷史。適度地給小學(xué)生深入淺出地講解這個(gè)常數(shù)，介紹它的神奇性質(zhì)、它的前世今生，可以激發(fā)小學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和勇攀科學(xué)高峰的精神；給小學(xué)生講解中國(guó)古代數(shù)學(xué)家在這方面所做出的杰出貢獻(xiàn)，對(duì)激發(fā)學(xué)生的愛國(guó)熱情和民族自豪感也有重要意義。

一、圓周率的定義、性質(zhì)及早期近似值

在人類從事生產(chǎn)生活過(guò)程中，大自然中最早引起人們注意的幾何圖形大概就是圓了，天上的太陽(yáng)和滿月、一些植物的花朵（如向日葵等）、平靜水面上漾起的一圈圈漣漪都給人以圓的形象。圓具有高度的對(duì)稱性，過(guò)圓心的任何一條直線都是其對(duì)稱軸，圓周上任意一點(diǎn)到圓心的距離都相等?；蛟S經(jīng)過(guò)了一個(gè)漫長(zhǎng)的時(shí)期，人們認(rèn)識(shí)到所有的圓都是相似的，任意一個(gè)圓的周長(zhǎng)C 與其直徑D 之比為一個(gè)固定不變的數(shù)——數(shù)學(xué)上稱為常數(shù)，這個(gè)常數(shù)就是圓周率。1737 年，大數(shù)學(xué)家歐拉采用希臘字母π 來(lái)表示這個(gè)常數(shù)，自此，π 便成為表示圓周率的通用記號(hào)。

如果知道了圓周率π 的數(shù)值，可以由圓的直徑計(jì)算出圓的周長(zhǎng)或面積，圓周率π 數(shù)值越精確，計(jì)算結(jié)果就越精確。在人類文明的早期，人們就是取它的有限位近似值用于工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中的計(jì)算。根據(jù)最早有文字的記載，在公元前2000 年前后，巴比倫人取π 的近似值為3.125，埃及人則采用3.1605，我們國(guó)家在公元前1200 年的周朝使用3 作為π 的近似值，并一直使用了好幾個(gè)世紀(jì)，這就是《周髀算經(jīng)》所記載的“圓徑一而周三”，即“圓的直徑為1，則周長(zhǎng)為3”，與世界其他各國(guó)同期相比，這算不上一個(gè)先進(jìn)的紀(jì)錄。到了130 年，在《后漢書》中采用3.1622 作為近似值，比3精度要高一些。至于另一四大文明古國(guó)——印度，在400 年前后，開始采用3.1416 作為近似值，這已經(jīng)具有很高的精度，在絕大多數(shù)場(chǎng)合用它做計(jì)算已經(jīng)足夠了。

二、圓周率的計(jì)算方法

人類在早期所采用的圓周率的近似值估計(jì)是通過(guò)測(cè)量和經(jīng)驗(yàn)得到的，這類獲取圓周率近似值的方法對(duì)精度的提高是有限的，例如，假設(shè)我們采用有毫米刻度的軟尺來(lái)測(cè)量一個(gè)直徑為1 米的圓的周長(zhǎng)和直徑，由于測(cè)量總會(huì)有誤差，毫米以下要靠測(cè)量者進(jìn)行估計(jì)，直徑可能讀為1.0003 米，周長(zhǎng)可能讀為3.1396 米，這樣計(jì)算出來(lái)的圓周率近似值就是3.1386584，小數(shù)點(diǎn)后第2 位就開始不準(zhǔn)確了。因此，探求一種可以將圓周率的數(shù)值能計(jì)算到任意精度的方法就變得很重要了，古希臘數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家阿基米德和我國(guó)古代數(shù)學(xué)家劉徽、祖沖之在這方面做出了杰出貢獻(xiàn)。

（一）阿基米德方法

到了公元前3 世紀(jì)，古希臘最偉大的數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家阿基米德（前287—前212）首次提出了可以將π 的數(shù)值計(jì)算到任意精度的一般性的方法。他的方法的根據(jù)是：圓內(nèi)接正多邊形的周長(zhǎng)比圓周長(zhǎng)小，而圓外切正多邊形的周長(zhǎng)比圓周長(zhǎng)大，將圓內(nèi)接正多邊形及圓外切正多邊形的邊數(shù)不斷加倍，它們就愈來(lái)愈接近圓周了。

具體而言，阿基米德從單位圓出發(fā)，先用內(nèi)接正六邊形周長(zhǎng)求出圓周率的下界為3，再用外切正六邊形周長(zhǎng)并借助勾股定理求出圓周率的上界為4。接著，他對(duì)內(nèi)接正六邊形和外切正六邊形的邊數(shù)分別加倍，將它們分別變成內(nèi)接正12 邊形和外切正12邊形，再借助勾股定理改進(jìn)圓周率的下界和上界。他逐步對(duì)內(nèi)接正多邊形和外切正多邊形的邊數(shù)加倍，經(jīng)過(guò)四次加倍后，得到內(nèi)接正96 邊形和外切正96 邊形。最后，他求出圓周率的下界和上界后再取它們的平均值，得到圓周率的近似值：3.141851。

（二）劉徽與割圓術(shù)

生于三國(guó)時(shí)代魏國(guó)的劉徽，在對(duì)中國(guó)古代算經(jīng)《九章算術(shù)》作注時(shí)，于264 年也提出了與阿基米德相類似的方法，劉徽將該方法命名為割圓術(shù)。與阿基米德類似，劉徽也是取半徑為1 的單位圓，開始時(shí)作圓內(nèi)接正六邊形和圓外切正六邊形，但與阿基米德不同的是，劉徽不是計(jì)算它們的周長(zhǎng)，而是計(jì)算它們的面積，從圖1 更容易直觀地看出，圓的面積必定介于圓內(nèi)接正多邊形面積和圓外切正多邊形面積之間。邊數(shù)不斷倍增，從6 到12 再到24、48、96、192，直至3072。

他在書中寫道：割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無(wú)所失矣。這段樸素精練的語(yǔ)言蘊(yùn)含著極限的思想，說(shuō)明了內(nèi)接正多邊形隨著邊數(shù)不斷倍增，其面積無(wú)限接近于圓的面積。劉徽將正多邊形邊數(shù)倍增到192 時(shí)，求得3.141024＜π＜3.142704，邊數(shù)倍增至3072 時(shí)，求得π≈3.14159。

劉徽不僅得到了相當(dāng)精確的π 的近似值，而且提出了一個(gè)可以計(jì)算π值到任意精度的一般性的方法，這雖然已在阿基米德之后的500 多年了，但處于當(dāng)時(shí)的條件，交通和通信極其落后，劉徽不可能知道阿基米德的方法，因此，劉徽的割圓術(shù)應(yīng)該被視為他自己的原創(chuàng)性工作。

圖1 劉徽割圓術(shù)：邊數(shù)從6 培增至12 倍

無(wú)論是阿基米德方法，還是劉徽的割圓術(shù)，都涉及勾股定理及開方運(yùn)算，這都超出了小學(xué)生的知識(shí)范圍，因此只需講解算法基本思想，具體計(jì)算過(guò)程從略。

（三）祖沖之的約率、密率

講到中國(guó)學(xué)者對(duì)圓周率的貢獻(xiàn)，不能不提祖沖之。祖沖之是南北朝人，在5 世紀(jì)時(shí)可能采用了劉徽的割圓術(shù)，將π 的數(shù)值計(jì)算到3.1415926＜π ＜3.1415927，即精確到小數(shù)點(diǎn)后第七位，這是非常了不起的成就，歐洲直到16 世紀(jì)才取得如此高精度的值，祖沖之的計(jì)算結(jié)果領(lǐng)先了歐洲足足11 個(gè)世紀(jì)。

祖沖之對(duì)圓周率的貢獻(xiàn)，特別使人吃驚和感興趣的是他找到了兩個(gè)簡(jiǎn)單易記的分?jǐn)?shù)來(lái)近似表示圓周率，即密率

和約率

在分母小于100 的分?jǐn)?shù)中，約率22/7 是最接近π 的分?jǐn)?shù)；在分母小于30000 的分?jǐn)?shù)中，密率355/113 是最接近π 的分?jǐn)?shù)。尤其是密率，精度很高又容易記憶，這個(gè)結(jié)果直到1573 年才為德國(guó)人奧托（V.Otho）重新發(fā)現(xiàn)，但這已經(jīng)是1000 多年以后的事了。

三、有關(guān)π 的其他趣事

圓周率π 是如此神奇，以至于人們對(duì)它寵愛有加。在法國(guó)巴黎的發(fā)現(xiàn)宮中，專門有一個(gè)關(guān)于π 的大廳，廳門上方印有含有π 的歐拉公式，廳內(nèi)墻壁上則印著π 的精確到小數(shù)點(diǎn)后707 位的數(shù)值。世界各地的圓周率愛好者還根據(jù)圓周率的前三位數(shù)字3.14確定每年3 月14 日為“π 日”，他們?cè)谀翘炀蹠?huì)，討論有關(guān)π 的話題，吃以餡餅為主的美食——因?yàn)轲W餅的英文pie 發(fā)音與π 相同，并互?！唉?日快樂(lè)”。

關(guān)于π 的計(jì)算，前文中介紹了阿基米德方法、劉徽的割圓術(shù)、祖沖之的約率和密率等，此外，還有其他高等數(shù)學(xué)的方法，如積分方法、級(jí)數(shù)方法，這些都是確定性方法。1777 年，法國(guó)科學(xué)家蒲豐（Buffon）提出了投針實(shí)驗(yàn)方法計(jì)算π，他首次使用隨機(jī)實(shí)驗(yàn)處理確定性數(shù)學(xué)問(wèn)題。具體做法是這樣的，在平地上畫很多距離相等的平行線，隨機(jī)地向地上投擲一根針，針的長(zhǎng)度小于平行線間的距離，這樣，針要么與平行線不相交，要么與其中某一條平行線相交，重復(fù)很多次，統(tǒng)計(jì)針與平行線相交的次數(shù)，列一個(gè)方程，就能計(jì)算出π 的近似值，是不是很神奇？當(dāng)然，這種方法無(wú)法控制π的精確度，實(shí)驗(yàn)次數(shù)增多并不意味著精度就會(huì)提高。但這種方法引申出當(dāng)今一個(gè)重要的計(jì)算方法，即以賭城蒙特卡羅（Monte Carlo）命名的蒙特卡羅方法。

從人類對(duì)圓周率π 的認(rèn)識(shí)不斷深化的歷史，可以看到科學(xué)是永遠(yuǎn)充滿活力并不斷開拓前進(jìn)的。作為小學(xué)生，要從小就立志發(fā)奮學(xué)習(xí)、獻(xiàn)身科學(xué)、報(bào)效祖國(guó)、為全人類謀幸福。中國(guó)古代數(shù)學(xué)家在當(dāng)時(shí)極其低下的條件下，做出了世界領(lǐng)先的研究成果，這種探索和鉆研精神也需要我們學(xué)生繼續(xù)傳承下去。