任育澤

（成都理工大學(xué)，四川成都 610059）

關(guān)鍵字：組合證券；雅可比矩陣；函數(shù)相關(guān)

一、引言

眾所周知，現(xiàn)代投資組合理論（MPT），以如何分配資金給不同資產(chǎn)來(lái)實(shí)現(xiàn)收益最大化和風(fēng)險(xiǎn)最小化作為核心問題，以構(gòu)建投資組合模型來(lái)求解不同資產(chǎn)的投資權(quán)重作為常用研究方法，不僅是現(xiàn)代金融學(xué)的開端，也是現(xiàn)代金融理論的研究動(dòng)力，無(wú)論在理論上還是實(shí)踐上都具有重要價(jià)值。

MPT自Markowiz開創(chuàng)至今，發(fā)展了近70年，取得了眾多成果。大體而言，現(xiàn)有成果主要集中在研究基于改進(jìn)收益或風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度的投資組合模型、研究非完美市場(chǎng)下的投資組合模型、研究多階段投資組合模型，研究行為投資組合模型、研究投資組合在其它領(lǐng)域的應(yīng)用等等。這些成果對(duì)發(fā)展和完善MPT具有重要作用，為進(jìn)一步研究和應(yīng)用投資組合模型提供了參考。

然而，盡管MPT獲得了豐碩的研究成果，但現(xiàn)有成果扔存在著一些缺陷，其中最為主要的便是依靠單一的投資組合模型不能完全分散組合風(fēng)險(xiǎn)，以至于組合投資著仍有可能暴露在巨大的風(fēng)險(xiǎn)之下。

受啟發(fā)于FOF基金，在證券市場(chǎng)上運(yùn)用優(yōu)秀的投資組合策略構(gòu)建出組合證券，再?gòu)钠渲羞x出多支不具備相關(guān)性的來(lái)進(jìn)行投資，如此勢(shì)必能夠在既定的預(yù)期收益下大幅度降低風(fēng)險(xiǎn)。

二、Markowiz投資組合理論

Markowiz的投資組合理論認(rèn)為，由于投資組合的價(jià)值變化是一個(gè)隨機(jī)過程，所以必須以它的均值來(lái)衡量收益，以它的方差來(lái)衡量風(fēng)險(xiǎn)。將資金分散投資于不同的證券之上，比全部資產(chǎn)都投在單一證券的風(fēng)險(xiǎn)低，狹義的投資組合理論就是尋找一個(gè)收益率一定情況下的風(fēng)險(xiǎn)最小的投資組合。將投資組合中各證券所投金額占總資金的比率作為變量，上述問題就可歸結(jié)為一個(gè)線性約束下二次規(guī)劃問題。

該理論的基本假設(shè)為：1所有的投資都是完全可分的；2一個(gè)投資者意愿僅在收益率的期望值和方差這兩個(gè)測(cè)度指標(biāo)的基礎(chǔ)上選擇投資組合；3投資者事先知道投資收益率的概率分布，并收益率滿足正態(tài)分布的條件；4投資者更傾向于高期望收益和更低方差的投資組合。

為此Markowiz專門提出了均值方差模型來(lái)刻畫風(fēng)險(xiǎn)，資產(chǎn)組合的方差包括每個(gè)資產(chǎn)的方差和資產(chǎn)間的協(xié)方差。證券收益率之間的關(guān)系可以用相關(guān)系數(shù)或協(xié)方差來(lái)表示，風(fēng)險(xiǎn)用收益率的方差來(lái)刻畫，在n支證券(r1,r2,…,rn)下，上述內(nèi)容可用數(shù)學(xué)語(yǔ)言可表示為：

是ri,r之間的協(xié)方差，

組合的標(biāo)準(zhǔn)差應(yīng)滿足

使用矩陣表示為

稱 ωi(ω1,…,ωn)′為組合， μω=ω′μ 為組合的收益，σω=為組合的風(fēng)險(xiǎn)，這樣均值方差證券組合的選擇問題就變?yōu)?/p>

這是一個(gè)二次規(guī)劃問題，不難看出，構(gòu)成組合的證券收益率之間相關(guān)性越小，投資組合的風(fēng)險(xiǎn)越小。但是難點(diǎn)在于在當(dāng)今的金融市場(chǎng)環(huán)境下，尋找不具備相關(guān)性的證券是極其困難的，甚至連它們是否線性相關(guān)，相關(guān)性有多少，僅僅依靠現(xiàn)有的手段，也很難做出具體的分析。也正因?yàn)榇耍摲椒ù嬖谌毕?。因此，首先需要解決如下問題：1確立一種策略，保證在該策略下存在相關(guān)性為零的“證券”；2尋找一種判定方法，能夠有效判斷“證券”之間的函數(shù)相關(guān)性。

三、對(duì)組合證券的再組合

鑒于依靠單一的投資組合可能難以有效分散風(fēng)險(xiǎn)，從而有必要對(duì)投資組合進(jìn)行再組合，以期進(jìn)一步分散風(fēng)險(xiǎn)，提高投資組合的有效性。因此，下文提出一種新的策略來(lái)構(gòu)建組合證券并利用雅可比矩陣進(jìn)行甄別。

今假設(shè)當(dāng)前存在n支證券(r1,r2,…，rn)，并針對(duì)這n支證券采用不同的投資策略，每一個(gè)投資策略會(huì)得到在該策略下最優(yōu)的一個(gè)投資組合，我們稱其為組合證券，這個(gè)組合的期望收益會(huì)是一個(gè)函數(shù)yi，這樣就可以得到在自變量(r1,r2,…，rn)下的一個(gè)函數(shù)組

因?yàn)檠趴杀染仃嚳梢耘卸ê瘮?shù)組的相關(guān)性，無(wú)論該相關(guān)性是線性的還是非線性的。所以此時(shí)，只要用雅可比矩陣來(lái)判定它們，便可以甄選出不具備相關(guān)性的組合證券，這在數(shù)學(xué)上顯然是可行的。

但是此時(shí)該方法還有一個(gè)隱患，即是否對(duì)n支任意用不同策略構(gòu)建的組合證券，它們之間的收益函數(shù)都是函數(shù)相關(guān)或者函數(shù)無(wú)關(guān)的。如果若是這樣的話，本文所提出的這種方法將變得毫無(wú)存在的意義，因?yàn)楦緵]有判別的必要性。為此，首先證明該方法的存在性。

3.1 該測(cè)度方法的存在性證明

要證明的是，對(duì)n支任意用不同策略構(gòu)建的組合證券，它們之間的收益函數(shù)既有函數(shù)相關(guān)的，也有函數(shù)無(wú)關(guān)的。欲證明該理論，必須要知道當(dāng)函數(shù)組的雅可比矩陣表現(xiàn)為什么形式時(shí)才會(huì)代表函數(shù)無(wú)關(guān)或者相關(guān)。為了便于證明，此處以方陣為例。

假定因變量y1,y2,…,yn對(duì)自變量x1,x2,…,xn連續(xù)可微，而自變量x1,x2,…,xn對(duì)新變量z1,z2,…,zn連續(xù)可微，則可以得到因變量y1,y2,…,yn對(duì)新變量z1,z2,…,zn連續(xù)可微，且

若上式中z對(duì)y也是連續(xù)可微的，則由上式可知

顯然它的系數(shù)矩陣就是n×n的雅可比矩陣，于是聯(lián)立以此為系數(shù)行列式的線性方程組中能把dx1,dx2,…,dxn解出來(lái)，而且

其中t為線性函數(shù)。由隱函數(shù)存在定理可知，在y1,y,…,yn對(duì)x1,x,…,xn連續(xù)可微的前提下，只須

便足以保證 x1,x,…,xn也對(duì) y1,y,…,yn連續(xù)可微。這樣，連續(xù)可微的函數(shù)組便在雅可比行列式不等于零的條件下，在每一對(duì)相應(yīng)點(diǎn)y與x的鄰近范圍內(nèi)建立起點(diǎn)與點(diǎn)之間的一個(gè)一對(duì)一的對(duì)應(yīng)關(guān)系，這就說明了yi之間不具備函數(shù)關(guān)系，否則x和y之間便不可能是一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。

要證明的是，并非任意策略構(gòu)建出的組合證券都是函數(shù)相關(guān)或者函數(shù)無(wú)關(guān)的。首先給出變量的定義：

①Y(y1,…,yn)：其中yi表示用策略i構(gòu)建的組合證券的收益；②X(x1,…,xn)：其中xk是第k支證券從時(shí)間t=0到t=T這段時(shí)間的收益率，由于t=0的價(jià)格是已知的，而t=T的價(jià)格是一個(gè)隨機(jī)變量，故而xk是一個(gè)隨機(jī)變量； ③ωi(,…,)：用策略i構(gòu)建的組合證券中對(duì)各個(gè)xi的購(gòu)買比率，因此顯然有+…+=1。

根據(jù)前文討論，只需證明：

不成立或者

恒成立，則對(duì)任意D1,…,Dn，都能找到合適的 τ1,…,τn，且 τ1,…,τn不全部為零，有

可以寫成

當(dāng)其不為方陣時(shí)，需要證明的是矩陣的秩k=n，即只需要證明矩陣中有n個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量，由上面的證明可知確實(shí)存在這種情況。

3.2證明該方法較一般的投資組合更有優(yōu)越性

按照3.1的方法，總可以找出一組不具備相關(guān)性的組合證券 f1,f2,…,fm，其收益函數(shù)為y1,y2,…,ym，收益的協(xié)方差矩陣為

根據(jù)投資者的需求，運(yùn)用投資策略作用于這一組組合證券，可以得到在第i支組合證券上的投資比例為 ωi(i=1,2,…,m)，且1=，其收益函數(shù)記為雅可比收益函數(shù)J=ωiyi，根據(jù)公式（2-3），其風(fēng)險(xiǎn)函數(shù)為+…+.需要證明的是，存在一組 ωi，使得}.這就說明這種新的投資策略存在這樣一種可能，在相同收益的情況下，風(fēng)險(xiǎn)小于當(dāng)前任意一種投資策略。

由收益函數(shù)的線性，顯然有min{y1,y2,…,ym}≤J≤max{y1,y2,…,ym}.由于 yi是系列滿足預(yù)期的收益函數(shù)，上下界之間不會(huì)有太大差距，這就說明J應(yīng)該也是在投資者的預(yù)期收益區(qū)間的。

不妨令σ1<σ2，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)，容易得到結(jié)論

同組合證券個(gè)數(shù)為2的情況，可得

同組合證券個(gè)數(shù)為3的情況，可得

依次進(jìn)行下去，由強(qiáng)數(shù)學(xué)歸納法，可以得到結(jié)論，在收益相差無(wú)幾的情況下，新的投資組合可能比現(xiàn)存任意一種投資策略下的組合證券風(fēng)險(xiǎn)都低。

四、仿真算例

以上證行業(yè)指數(shù)的000032、000033、000036為例，從2016年11月4日到2018年7月23日，其期望收益率為μ=(0.75 0.84 0.85)T

收益率的協(xié)方差矩陣為

先以投資者追求最小風(fēng)險(xiǎn)為策略來(lái)計(jì)算它的最優(yōu)組合下的收益率和風(fēng)險(xiǎn)。將數(shù)據(jù)帶入公式（2-5），可以得到

在該情況下組合向量為

ω=(0.5472 0.0458 0.4070)T

可見最小風(fēng)險(xiǎn)為0.7667，此時(shí)的收益率為0.7948.

以對(duì)數(shù)效用函數(shù)為策略構(gòu)建組合證券，將數(shù)據(jù)代入公式（見參考文獻(xiàn)1）

可得A=1.3102；B=1.0413；C=0.8460；D=0.0241.

帶入

可得

ω=(0.381 0.184 0.435)T

在該策略下組合的風(fēng)險(xiǎn)為0.7918，期望收益率為0.8101.

以指數(shù)效用函數(shù)為策略構(gòu)建組合證券，將數(shù)據(jù)代入公式（見參考文獻(xiàn)2）

k為風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)（大于零為風(fēng)險(xiǎn)厭惡，這里取k=4），進(jìn)一步代入公式

可得ω=(-3.6080 3.5064 1.0996)T

在該策略下組合的風(fēng)險(xiǎn)為9.4123，期望收益率為1.1740

以基于雅可比方法的投資組合理論求解，按3.1可知，收益函數(shù)的雅可比矩陣為

秩為2，所以組合證券函數(shù)無(wú)關(guān)，所以組合證券的協(xié)方差矩陣為

我們對(duì)這兩支組合證券進(jìn)行組合，令投資第一支組合證券的權(quán)重為w，有

σ2=0.7918ω2+9.4123(1-ω)2

當(dāng)組合風(fēng)險(xiǎn)最小時(shí)，有ω=0.9224，最小風(fēng)險(xiǎn)為0.7303，期望收益率為0.8383.可以看出，如果單純從風(fēng)險(xiǎn)和收益的角度來(lái)考慮，本文這種策略是效用最大的。

圖1

五、結(jié)束語(yǔ)

盡管當(dāng)前投資組合策略層出不窮，但是它們都未能克服Markowiz投資組合理論的局限性，即當(dāng)前金融市場(chǎng)上證券之間相關(guān)性極高，線性相關(guān)不能刻畫證券之間的相關(guān)關(guān)系等弊端。本文另辟途徑，將組合證券和雅可比矩陣納入到投資組合的研究框架，理論研究和實(shí)證結(jié)果表明，進(jìn)一步降低風(fēng)險(xiǎn)，為克服證券之間相關(guān)性過高，相關(guān)性難以準(zhǔn)確度量提供了可行路徑，無(wú)論是在理論上還是在時(shí)間上都具有參考價(jià)值，不僅解決了這一系列問題，甚至從3.2的證明中可以看出，本文所提出的這一方法可以對(duì)任何組合進(jìn)行再優(yōu)化。