(華東交通大學(xué) 土木建筑學(xué)院，江西 南昌 330013)

公路橋在移動(dòng)車輛荷載作用下，產(chǎn)生車橋耦合振動(dòng)，振動(dòng)的幅度大于靜載作用產(chǎn)生的撓度，并且車輛對(duì)橋梁的沖擊作用嚴(yán)重影響了橋梁的正常工作狀態(tài)和使用壽命。車橋耦合振動(dòng)系統(tǒng)是一個(gè)隨荷載作用位置的變化而不斷變化的時(shí)變系統(tǒng)，精確求解橋梁振動(dòng)響應(yīng)非常困難，現(xiàn)有的求解方法主要側(cè)重于隱式建模求解和顯示建模求解兩種。周艷清[1]用隱式分析方法研究了鉸接梁橋的動(dòng)力響應(yīng)，車輛簡(jiǎn)化為5自由度的兩軸車，橋梁各片梁間簡(jiǎn)化為鉸接；桂水榮[2-3]建立隱式車橋耦合模型，用精細(xì)積分的方法求解橋梁振動(dòng)響應(yīng)；陳水生[4]采用Runge-Ku-ntta的隱式分析方法求解多車激勵(lì)的橋梁振動(dòng)響應(yīng)；陳代海[5]用Newmark-β的隱式迭代算法分析簡(jiǎn)支T梁的振動(dòng)特性；張政韜[6]建立隱式模型，用Newmark-β的隱式迭代算法求解波形鋼腹板連續(xù)梁橋的振動(dòng)響應(yīng)；李巖[7]建立隱式模型求解簡(jiǎn)支梁橋的振動(dòng)響應(yīng)；謝國海[8]用LS-DYNA顯式方法求解落石沖擊力；蔡斌斌[9]建立顯式模型研究船舶撞橋墩；趙輝[10]將LS-DYNA顯式分析方法引入求解車橋耦合振動(dòng)響應(yīng)；李宗揆[11]用LS-DYNA分析拱橋的車致振動(dòng)響應(yīng)；喬?hào)|欽[12]用顯式方法求解簡(jiǎn)支板梁橋的振動(dòng)響應(yīng)。但很少有文獻(xiàn)對(duì)比分析隱式和顯式求解方法的合理性，本文研究了隱式和顯式建模求解方法，并將數(shù)值計(jì)算結(jié)果與實(shí)測(cè)值進(jìn)行對(duì)比，分析隱式和顯式方法的實(shí)用性，為車橋耦合振動(dòng)研究提供參考，以更好地服務(wù)橋梁的設(shè)計(jì)和管養(yǎng)。

1 算法理論

1.1 隱式分析算法

隱式算法有Newmark-β法、wilson-θ法、線性加速度法等，在此取Newmark-β法[13]分析，根據(jù)Newmark-β法的基本假設(shè)，可得到t+Δt時(shí)刻的速度和位移滿足如下關(guān)系：

(1)

(2)

當(dāng)α=0.5，β=0.25時(shí)，可以滿足精度和穩(wěn)定性要求，式(1)和式(2)可以寫成下式：

(3)

(4)

由式(3)和式(4)可得t+Δt時(shí)刻的速度和加速度：

(5)

(6)

結(jié)合t+Δt時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)控制方程方程：

(7)

求解t+Δt時(shí)刻的位移：

(8)

(9)

K*為有效剛度矩陣：

(10)

1.2 顯式分析算法

LS-DYNA顯示動(dòng)力分析采用中心差分法[14]，結(jié)構(gòu)系統(tǒng)各節(jié)點(diǎn)在第n個(gè)時(shí)間步結(jié)束時(shí)刻tn的加速度向量通過下式計(jì)算：

(11)

其中，M為集中質(zhì)量矩陣；P為第n個(gè)時(shí)間步結(jié)束時(shí)刻，結(jié)構(gòu)上所施加的節(jié)點(diǎn)外力向量(包括分布荷載經(jīng)轉(zhuǎn)化的等效節(jié)點(diǎn)力)；Fint為tn時(shí)刻的內(nèi)力矢量，它由下面幾項(xiàng)構(gòu)成：

(12)

式(12)等號(hào)在右邊3項(xiàng)依次為：tn時(shí)刻單元應(yīng)力場(chǎng)等效節(jié)點(diǎn)力、沙漏阻力以及接觸力矢量。根據(jù)中心差分法的基本思路，加速度由速度的一階中心差分給出，速度由位移的一階中心差分給出，于是有下面的表達(dá)式：

a(tn)

(13)

(14)

式中:時(shí)間步的步長(zhǎng)和時(shí)間步開始、結(jié)束的時(shí)間點(diǎn)通過以下公式來定義：

Δtn-1=tn-tn-1

(15)

Δtn=tn+1-tn

(16)

(17)

(18)

節(jié)點(diǎn)速度向量可以由程序計(jì)算出的加速度向量結(jié)合差分公式表示，節(jié)點(diǎn)位移向量可以由節(jié)點(diǎn)速度向量結(jié)合差分公式表示：

(19)

(20)

新的幾何構(gòu)型由初始構(gòu)型X0加上位移增量U獲得，即：Xt+Δt=X0+Ut+Δt。

2 車橋耦合模型

2.1 隱式模型的建立

車輛模型采用彈簧-質(zhì)量-阻尼系統(tǒng)，將車輛簡(jiǎn)化為9自由度振動(dòng)體系，隱式車輛模型如圖1所示，車輛模型參數(shù)同文獻(xiàn)[15]，車輛自振頻率為1.66 Hz。

圖1 隱式車輛模型Figure 1 Implicit vehicle model

車輛振動(dòng)方程為：

(21)

橋梁模型引入模態(tài)綜合技術(shù)，轉(zhuǎn)化為相互獨(dú)立的模態(tài)方程，橋梁的振動(dòng)方程為：

(22)

(23)

Φ為r階振型向量矩陣；q為振型廣義坐標(biāo)列陣;ξi為第i階阻尼比；ωi為第i階自振頻率。

根據(jù)位移協(xié)調(diào)條件和相互作用力平衡，聯(lián)立式(21)和式(23)可得車橋耦合振動(dòng)時(shí)變方程為：

(24)

式中：M(t)、C(t)、K(t)為廣義矩陣，隨車輛位置而改變；F(x，t) 為廣義荷載列陣，隨車輛位置而變化；δ為橋梁模態(tài)廣義坐標(biāo)與車輛系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)自由度組成的列陣。

2.2 顯式模型的建立

橋梁振動(dòng)響應(yīng)主要取決于車輛動(dòng)力特性和荷載分布[15-16]，故本文車輛有限元模型以懸架系統(tǒng)、車輪和軸重為重點(diǎn)。以一輛裝滿砂子的解放牌三軸自卸汽車為研究對(duì)象，前中軸距3.6 m，中后軸距1.4 m，后輪距1.8 m。車輛過磅總重約331.4 kN，前軸重67.2 kN，中后軸重264.2 kN，實(shí)際車輛如圖2所示。

圖2 實(shí)際車輛Figure 2 Actual vehicle

運(yùn)用ANSYS的前處理，采用殼單元、實(shí)體單元、質(zhì)量單元和彈簧阻尼單元建立車輛的有限元模型，車輛模型各組成部分的尺寸和單元的材料特性與實(shí)際車輛保持一致。為節(jié)省計(jì)算時(shí)間和保證車橋接觸的穩(wěn)定性，綜合考慮模型材料、單元算法、接觸類型、多點(diǎn)約束和邊界條件等因素，單元尺寸不小于0.06 m，車輛參數(shù)參考文獻(xiàn)[10]和文獻(xiàn)[15]，車輛自振頻率為1.634 Hz，車輛有限元模型如圖3所示，車輪和懸架的建模方法如下：

圖3 車輛有限元模型Figure 3 FE model of truck

a.車輪與橋面發(fā)生接觸，產(chǎn)生接觸力，為滿足幾何上的接觸條件，車輪的有限元模型有3個(gè)組成部分：輪胎、輪輞和輪轂。輪胎單元使用彈性橡膠材料，輪轂和輪輞單元使用鋼材材料，車輪模型如圖4所示。為更真實(shí)地體現(xiàn)車輪的特性，定義*AIRBAG_SIMPLE_PRESSURE_VOLUME關(guān)鍵字，設(shè)定輪胎內(nèi)氣壓值為0.66 MPa。

圖4 車輪有限元模型Figure 4 FE model of wheel

b.由于車輛懸架系統(tǒng)組成復(fù)雜且外形不規(guī)則，本文采用剛體、殼單元、彈簧阻尼單元和一系列的多點(diǎn)約束來模擬。其中前懸架鋼板與前軸間用圓柱形約束關(guān)節(jié)，并用彈簧阻尼單元與車架連接，彈簧和阻尼器的參數(shù)參考文獻(xiàn)[10]和文獻(xiàn)[15]，彈簧剛度取800 N/mm，阻尼系數(shù)取20 N·s/mm，前懸架實(shí)體及有限元模型如圖5所示。

圖5 前懸架及有限元模型Figure 5 Front suspension and its FE model

后懸架鋼板與車架通過中間橫梁連接，與中后軸用彈簧阻尼單元連接，參考文獻(xiàn)[10]和文獻(xiàn)[15]，彈簧剛度取1 200 N/mm，阻尼系數(shù)取25 N·s/mm，后懸架實(shí)體及有限元模型如圖6所示。

圖6 前懸架及有限元模型Figure 6 Rear suspension and its FE modell

以下文算例中橋梁為研究對(duì)象，在LS-DYNA程序中分別定義橋面為接觸主面、車輛輪胎為接觸從面，接觸關(guān)鍵字為*CONTACT_SURFACE_TO_SURFACE，橋面與輪胎胎面間無初始貫穿，車橋耦合模型見圖7。

圖7 車橋耦合模型Figure 7 Vehicle bridge coupling model

3 算例分析

3.1 橋梁概況及橋梁有限元模型建立

該橋位于江西奉銅高速公路K50+366.5的三跨裝配式預(yù)應(yīng)力混凝土簡(jiǎn)支空心板橋，單幅橋由10片空心板組成，空心板高0.95 m，各跨徑分別為20 m+20 m+20 m，橋梁全長(zhǎng)64.4 m。橫向布置：0.5 m(防撞欄)+11.5 m(行車道)+0.83 m(隔離帶)。下部結(jié)構(gòu)采用樁柱式橋墩，肋式橋臺(tái)，嵌巖樁基礎(chǔ)。設(shè)計(jì)荷載為公路-I級(jí)，橋梁橫斷面如圖8所示，該橋現(xiàn)場(chǎng)實(shí)測(cè)一階基頻為6.348 Hz，二階基頻為10.740 Hz。

運(yùn)用ANSYS建立梁橋三維有限元模型，主梁截面材料主要由混凝土組成，鋼筋對(duì)截面的影響，通過換算截面剛度進(jìn)行考慮，取其材料彈性模量為34.5 GPa，密度為2 600 kg/m3，泊松比0.167，橋面鋪裝的表層混凝土材料特性同主梁，面層瀝青混凝土取其材料彈性模量為0.14 GPa，密度為2 200 kg/m3，泊松比0.2。修正后的有限元模型見圖9，一階基頻6.292 Hz，二階基頻9.936 Hz，與橋梁實(shí)測(cè)基頻接近。

圖8 橋梁橫斷面圖Figure 8 Cross section of bridge

3.2 現(xiàn)場(chǎng)測(cè)點(diǎn)和荷載工況布置

為對(duì)比分析兩種隱式和顯式分析方法的區(qū)別，課題組在1號(hào)梁到5號(hào)梁梁底跨中位置和1號(hào)梁到3號(hào)梁梁底1/4位置各布置1個(gè)電渦流位移傳感器；在1號(hào)梁到3號(hào)梁梁底跨中位置各布置2個(gè)應(yīng)變片，4號(hào)梁和5號(hào)梁梁底跨中位置各布置1個(gè)應(yīng)變片，1號(hào)梁到5號(hào)梁梁底1/4位置個(gè)布置1個(gè)應(yīng)變片，現(xiàn)場(chǎng)測(cè)試如圖10所示。

圖9 橋梁有限元模型Figure 9 Bridge finite element model

圖10 現(xiàn)場(chǎng)測(cè)試Figure 10 Field dynamic test

車輛加載分兩種工況：工況一(偏載)，車輛按最不利位置行駛，車輛荷載作用在1號(hào)梁和3號(hào)梁；工況二(正常行車道)，車輛按標(biāo)準(zhǔn)車道位置行駛，車輛荷載作用在2號(hào)梁和3號(hào)梁，荷載工況布置如圖11所示。

圖11 荷載工況Figure 11 Load condition

3.3 橋梁振動(dòng)響應(yīng)對(duì)比分析

3.3.1速度影響對(duì)比分析

車輛按工況一，分別以10、20、30、40 km/h速度行駛，1號(hào)梁在不同速度下的跨中動(dòng)位移和跨中最大動(dòng)位移如圖12所示。

圖12 1號(hào)梁在不同速度下的跨中動(dòng)位移Figure 12 Mid span dynamic displacement of the first girder at different speeds

從圖中可以看出，隱式建模分析、顯式建模分析和現(xiàn)場(chǎng)實(shí)測(cè)的共同點(diǎn)為：①車輛速度低時(shí)，響應(yīng)曲線波動(dòng)密集，高頻振動(dòng)明顯。②車輛以較高速度行駛時(shí)，跨中動(dòng)位移曲線圍繞著低速動(dòng)位移曲線上下波動(dòng)，波動(dòng)幅度較小。③跨中動(dòng)位移隨速度的變大并非線性增加，沒有規(guī)律。不同點(diǎn)：顯式分析曲線波動(dòng)幅度大，峰值明顯較大。隱式建模分析結(jié)果與現(xiàn)場(chǎng)實(shí)測(cè)值較接近。

3.3.2行車道影響對(duì)比分析

不同工況，對(duì)比分析車輛30 km/h速度行駛時(shí)，1號(hào)梁的跨中動(dòng)位移響應(yīng)，如圖13。

圖13 1號(hào)梁在不同工況下的跨中動(dòng)位移Figure 13 Mid span dynamic displacement of the first girder at different load condition

從圖13可以看出，不同建模方法與實(shí)測(cè)值對(duì)比的共同點(diǎn)為：偏載時(shí)，1號(hào)梁的跨中位移明顯大于正常行車道荷載作用下的位移。隱式分析、顯式分析和現(xiàn)場(chǎng)實(shí)測(cè)三者曲線波動(dòng)規(guī)律一致，曲線吻合較好。不同點(diǎn)：隱式分析結(jié)果與顯式分析結(jié)果曲線吻合很好，峰值接近，但實(shí)測(cè)值明顯小于數(shù)值模擬結(jié)果，從上文橋梁模型可知，實(shí)測(cè)橋梁基頻大于有限元橋梁，橋梁真實(shí)剛度大于模型橋；另外，數(shù)據(jù)測(cè)量誤差，實(shí)測(cè)車輛的速度完全由司機(jī)憑表盤控制，并非嚴(yán)格勻速，而隱式和顯式的車輛是絕對(duì)勻速行駛。

3.3.3橫向各片梁響應(yīng)對(duì)比分析

圖14為車輛按偏載工況以40 km/h速度行駛時(shí)，隱式和顯式模型計(jì)算出的各片梁跨中動(dòng)位移及現(xiàn)場(chǎng)實(shí)測(cè)響應(yīng)。

圖14 各片梁跨中動(dòng)位移響應(yīng)Figure 14 Mid span dynamic displacement of each girder

從圖14可以看出，各片梁跨中動(dòng)位移曲線有相似變化規(guī)律；在車速較大時(shí)，各片梁動(dòng)位移橫向變化表現(xiàn)出比較明顯的線性關(guān)系；同時(shí)，從圖中也可看出，即使車輛按同一行車道位置行駛，各片梁因車速影響，橫向表現(xiàn)不同的變化關(guān)系，這就導(dǎo)致各片梁的動(dòng)位移隨速度變化沒有統(tǒng)一的規(guī)律可循。但隱式分析的峰值較接近實(shí)測(cè)值，顯式分析的響應(yīng)曲線波動(dòng)規(guī)律與實(shí)測(cè)曲線類似。

4 結(jié)論

本文分別用隱式建模和顯式建模的方法求解車橋耦合振動(dòng)響應(yīng)，并與實(shí)測(cè)值對(duì)比，得到結(jié)論如下：

a.兩者都可以求解車橋耦合振動(dòng)響應(yīng)，都能體現(xiàn)橋梁在移動(dòng)車輛荷載作用下的動(dòng)力響應(yīng)特征，響應(yīng)曲線波動(dòng)規(guī)律與現(xiàn)場(chǎng)實(shí)測(cè)吻合，但隱式建模分析結(jié)果更接近現(xiàn)場(chǎng)實(shí)測(cè)。

b.隱式分析的曲線波動(dòng)小，接近靜態(tài)響應(yīng)，適合分析橋梁低頻振動(dòng)，而顯式分析對(duì)高頻振動(dòng)響應(yīng)較敏感，曲線波動(dòng)大。

c.隱式分析求解車橋耦合方程編程復(fù)雜，但求解時(shí)間很短；而顯式建模分析，只需定義車橋接觸關(guān)鍵字就實(shí)現(xiàn)了車橋間的耦合作用，但求解時(shí)間很長(zhǎng)。

d.顯式建模分析可以直接求解橋梁任意部位及構(gòu)件的位移、應(yīng)力和應(yīng)變，數(shù)據(jù)全面，提取快捷；隱式分析只能提取特定部位的動(dòng)力響應(yīng)，信息量相對(duì)較小。

e.隱式分析不能直接求解橋梁的靜位移和靜應(yīng)變，而顯式分析可以很方便地求解橋梁靜載響應(yīng)，在科研試驗(yàn)條件有限的情況下，可以減少試驗(yàn)經(jīng)費(fèi)和縮短試驗(yàn)周期。通過對(duì)比分析，兩種方法各有利弊，但顯式建模分析結(jié)果偏大，綜合考慮，建議采用隱式建模的方法求解車橋耦合振動(dòng)響應(yīng)。