彭家寅

內(nèi)江師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，四川 內(nèi)江641199

1 引言

量子物理學(xué)的核心原理之一是量子糾纏，它似乎可以瞬間傳輸信息，但實(shí)際上并不違反經(jīng)典光速，因?yàn)闆](méi)有通過(guò)空間的“運(yùn)動(dòng)”。量子糾纏被視為量子信息處理和量子計(jì)算的一種有用的資源，如量子隱形傳輸[1]、超密編碼[2]、量子對(duì)話[3]、量子秘密共享[4-8]、量子態(tài)制備[9-12]、量子信息集中[13-14]等。Briegel 和Raussendorf 提出了一種被稱為簇態(tài)的新的糾纏態(tài)，這種糾纏態(tài)可以在任何具有伊辛型相互作用的系統(tǒng)中有效地產(chǎn)生[15]。該簇態(tài)可用作隱形傳態(tài)[16-17]、量子信息集中[14]、密集編碼[17]等。

1993年，Bennett等人[1]首次發(fā)明了量子態(tài)隱形傳態(tài)（QST），在其傳輸中，任意未知狀態(tài)可以在不發(fā)送任何物理粒子的情況下被傳輸?shù)娇臻g遙遠(yuǎn)的地方，但需借助于先前共享的糾纏和局部操作以及經(jīng)典通信。此后，QST 在理論和實(shí)驗(yàn)上都引起了人們的廣泛關(guān)注[2-12]，它在包括雙向控制隱形傳態(tài)（BCQT）在內(nèi)的許多量子任務(wù)中都得到了有效的應(yīng)用。Zha 等[18]于2013 年提出雙向控制量子隱形傳態(tài)，該方案以5 個(gè)粒子簇態(tài)為量子信道，參與者Alice 和Bob 可以在監(jiān)控者Charlie 的控制下同時(shí)交換他們的未知量子態(tài)。不久，Shukla[19]、Chen[20]、Duan[21]和Zhang[22]獨(dú)立提出了一系列確定性BCQT 協(xié)議。Shukla 等[19]討論了BCQT 方案在量子遠(yuǎn)程控制和量子密碼學(xué)方面的一些潛在應(yīng)用。作為BCQT 的推廣，Peng等[23]提出了一種雙向量子態(tài)共享協(xié)議。

2001年，Huelga等[24]首先提出了量子算子隱形傳輸（QOT）的概念，它可以看作是一個(gè)量子遙控器。他們進(jìn)一步分析了如果去除了一般的要求會(huì)發(fā)生結(jié)果，并描述了可以遠(yuǎn)程執(zhí)行酉算子集，而不需借助雙向QST[25]。在上述初始工作基礎(chǔ)上，一些基于資源消耗和算子限制的其他QOT 協(xié)議[26-30]不斷被提出來(lái)。例如Dur 等[26]利用線性光學(xué)元件探索了非確定性量子邏輯算子的隱形傳輸；Wang[27-28]將處理單粒子算子的原始QOT 協(xié)議拓展到涉及多粒子的QOT 協(xié)議；Zhao 和Wang[29]提出了一種基于雙向QST[25]和Wang[27-28]協(xié)議的混合協(xié)議，他們[30]進(jìn)一步提出了一種塊對(duì)角形式的非局域算子的局域與遠(yuǎn)程執(zhí)行協(xié)議等。

本文提出了受控雙向酉算子隱形傳輸（CBROT）的概念，它實(shí)質(zhì)上是雙向控制量子態(tài)隱形傳態(tài)和量子算子隱形傳輸?shù)囊环N有序融合。本協(xié)議的目的是：在監(jiān)管者Charlie和David的控制下，發(fā)送者Alice想對(duì)含有Bob的粒子之任意量子態(tài)上遠(yuǎn)程地執(zhí)行一個(gè)酉算子U，同時(shí)，Bob 也打算對(duì)含有愛(ài)麗絲的粒子的另一個(gè)任意狀態(tài)上執(zhí)行另一個(gè)酉算子V，整個(gè)過(guò)程不依賴于雙向QST。首先，提出了一種關(guān)于任意酉算子傳輸?shù)姆桨?，然后改進(jìn)這個(gè)方案，接著討論對(duì)算子集加以制的方案?？梢园l(fā)現(xiàn)：酉算子集合越受限制，所節(jié)省的經(jīng)典資源和量子資源就更多。

2 受控雙向酉算子隱形傳輸

假設(shè)有空間分離的四個(gè)合法用戶：Alice、Bob、Char‐lie 和David。Alice 是單粒子算子U 的初始執(zhí)行者，Bob是另一個(gè)單粒子算子V 的初始執(zhí)行者，Alice 和Bob 互為他們的代理商，Charlie 和David 是兩個(gè)控制者。此外，在監(jiān)察者Charlie 和David 的控制下，Alice 可能不了解算子U，但她想在遠(yuǎn)程的Bob 擁有的一個(gè)粒子態(tài)上成功地執(zhí)行U；同時(shí)，Bob 也可能不了解算子V，可他打算在Alice的量子態(tài)上實(shí)現(xiàn)V，這里x,y,α和β 都是復(fù)數(shù)，并且滿足歸一化條件和，而U 和V 是任意酉算子。連接四個(gè)用戶的是兩個(gè)五粒子團(tuán)簇態(tài)：

和

其中下標(biāo)表述不同的粒子。事先，這些粒子被假定安全地分配四個(gè)合法使用者：Alice擁有四粒子組(A,A′,a,a′)，Bob 擁有四粒子組(B,B′,a,a′)，Charlie 有單粒子C，David有單粒子D。該方案被設(shè)計(jì)為如下五步：

步驟1 Alice和Bob進(jìn)行Bell態(tài)測(cè)量

（1）Alice用Bell基

上述測(cè)量后，粒子b,a′和D的態(tài)塌陷為：

其中，i,j,s,t ∈{0,1}，并且

為單粒子基。

步驟2 Alice和Bob進(jìn)行酉算子運(yùn)算

步驟3 Alice和Bob進(jìn)行第二次測(cè)量

（1）Alice 對(duì)她的粒子對(duì)(A,a′)進(jìn)行Bell 態(tài)測(cè)量，同時(shí)，Bob也對(duì)他的粒子(B′,b)施行Bell態(tài)測(cè)量。

（2）Alice 和Bob 分別將測(cè)量結(jié)果(m,n)和(k,l)發(fā)送給對(duì)方。即，Alice 利用經(jīng)典信道Alice-Bob 將2 bit 信息(m,n)告知Bob，同時(shí)，Bob 用經(jīng)典信道Bob-Alice 把2 bit信息(k,l)告知Alice。當(dāng)然，事先約定：信息(m,n)和(k,l)

其中，i,j,k,l,m,n,s,t ∈{0,1}，符號(hào)σ(e,f)為Pauli算子。

步驟4 Charlie和David進(jìn)行單粒子測(cè)量

（1）Charlie用單粒子基

對(duì)粒子C 進(jìn)行投影測(cè)量，同時(shí)，David用同樣的基對(duì)粒子D進(jìn)行投影測(cè)量。

（2）Charlie 和David 通過(guò)經(jīng)典信道將兩個(gè)1 bit 信息h和r 告知Alice和Bob。自然，兩個(gè)1 bit信息h和r 分別對(duì)應(yīng)單粒子態(tài)和

步驟5 通過(guò)合作重構(gòu)原始酉算子

如果Charlie和David愿意提供幫助，且Alice和Bob彼此也同意合作，那么他們分別能夠作用在粒子A′的態(tài)上的算子V 和B 粒子的態(tài)上的算子U。否則，Alice和Bob都不能單獨(dú)完成量子任務(wù)。

注1 從遠(yuǎn)程態(tài)制備[11]和QOS[31]的研究來(lái)看，如果放寬協(xié)議必須適用于任意算子這個(gè)一般性條件，那么CBROC任務(wù)就可以完成。下面，展示了這一點(diǎn)。

注意等式（1）在Alice 和Bob 的交換下是對(duì)稱的，因此只考慮Alice對(duì)U 是部分了解的，故她必能得到不難看出，發(fā)生這種情況的條件是U 滿足：

其中，W 是對(duì)應(yīng)于任何U 而言，從某些限制集S 中提取的一個(gè)有效的通用算子；θ 是一個(gè)實(shí)參數(shù)，它對(duì)應(yīng)同一集合中不同的U 可能會(huì)不同，有：

顯然，如果U 與σ(k,l)是交換或反交換的，則這樣的W 可能是存在的。如果Uσ(k,l)=σ(k,l)U 對(duì)于k,l ∈{0,1}成立，則：

如果Uσ(k,l)=-σ(k,l)U 對(duì)于k,l ∈{0,1}成立，則：

因U2非酉算子，故它不是希望的。盡管U1是最簡(jiǎn)單的酉算子，但若把它用于上述方案的話，本方案就失去量子控制作用。這表明如果選取限制集S={U1}于上述方案的話，那將是沒(méi)有意義的。

3 改進(jìn)的CBRQC協(xié)議

仍考慮第2章的量子任務(wù)，并設(shè)計(jì)如下的方案。

步驟1 Alice和Bob進(jìn)行受控非門(mén)操作

其中，u為控制粒子，v為目標(biāo)量子。

步驟2 David、Alice和Bob進(jìn)行單粒子測(cè)量

根據(jù)國(guó)外技術(shù)可知，栽培基質(zhì)溫度達(dá)80℃時(shí)，可消滅大多數(shù)病原菌、害蟲(chóng)。病菌和害蟲(chóng)的殺滅溫度[4]，如圖1所示。無(wú)土栽培基質(zhì)蒸汽消毒機(jī)的栽培基質(zhì)蒸汽加熱溫度可達(dá)120～200℃，通過(guò)滅菌檢測(cè)均達(dá)到99.9%以上，消毒效果非常明顯。

其中，i,j,l ∈{ }

0,1。

步驟3 Alice和Bob執(zhí)行酉運(yùn)算

（1）Alice 和Bob 根據(jù)收到的信息分別對(duì)他們的粒子對(duì)(a,a′)和(b,b′)施行酉運(yùn)算和，于是變成：

步驟4 Alice和Bob進(jìn)行Bell態(tài)測(cè)量

步驟5 Charlie進(jìn)行單粒子測(cè)量

步驟6 Alice和Bob重構(gòu)量子態(tài)

類似注1 的討論，期望Alice 對(duì)U 有部分的了解，那么她就能確實(shí)地獲得顯然，可類似地推出下列等式：

顯而易見(jiàn)，當(dāng)U 與σ(k,l)是交換或反交換的時(shí)候，這樣的W 是存在的。如果Uσ(1,1)=σ(1,1)U，則：

這里θ和?是兩個(gè)任意實(shí)參數(shù)。如果Uσ(1,1)=-σ(1,1)U，則

其中，a和b是實(shí)參數(shù)，使得a2+b2=1 并且ia+b=ei?。U1對(duì)應(yīng)于關(guān)于z 軸的任意一個(gè)旋轉(zhuǎn)，U2為在x-y 平面上圍繞任意軸的π旋轉(zhuǎn)。利用這個(gè)協(xié)議，限制集S={ }U1,U2中的算子都能被Alice在Bob的粒子B所在的態(tài)上確切地執(zhí)行。這個(gè)結(jié)論可以應(yīng)用到Bob 部分了解算子V的情形，也就是當(dāng)V 取S中的任一算子時(shí)，它也能被Bob在Alice 的粒子A′所處的態(tài)上執(zhí)行。因此，Alice 和Bob的算子U和V 都取自S={U1, U2} 時(shí)，它們分別在和態(tài)上被成功地施行，因此本方案能完美地將兩個(gè)特殊但粒子算子完美地雙向傳輸。

注2（1）比較本章與上章的方案，改進(jìn)的協(xié)議的概率提高了一倍，它使一些特殊的算子能夠通過(guò)雙向完美地傳輸，但它需要更多的局域操作。

（2）如果直接修改第2 章中描述的方案，可以得到與改進(jìn)方案相同的結(jié)果。事實(shí)上，僅需添加操作于等式（1），剩余過(guò)程作相應(yīng)修改就可。

4 資源與限制算子博弈的雙向受控協(xié)議

在第3 章中，提出了 基 于算子 族S={U1, U2} 的CBRQC協(xié)議，其中U1和U2分別是式（2）和式（3）所示的酉算子。本章將看到：如果把酉算子U 和V 限制到S中，那么就可以設(shè)計(jì)一個(gè)更簡(jiǎn)單的CBRQC協(xié)議，從而進(jìn)一步節(jié)省資源。不失一般性，假設(shè)U=U1且V=U2，其中：

開(kāi)始前，Alice、Bob 和Charlie 分享第1 章中所示的五粒子團(tuán)簇態(tài)，具體地，Alice 擁有粒子對(duì)(A,A′)，Bob 擁 有 粒 子 對(duì)(B,B′)，而 粒 子C 屬 于 監(jiān) 控 者Charlie。注意Alice 和Bob 的粒子A?和B?分別處于未知態(tài)和按照這些要求，協(xié)議可以設(shè)計(jì)如下。

首先，Alice和Bob的操作如下：

（1）Alice 和Bob 分別對(duì)各自粒子對(duì)(A,A′)和(B,B′)施行兩粒子運(yùn)算NAA′和NBB′，于是聯(lián)合態(tài)變成：

（3）根據(jù)上述測(cè)量結(jié)果，Alice對(duì)粒子A和A′分別施行Pauli運(yùn)算σ(0,s)和σ(0,t)，對(duì)應(yīng)地，Bob對(duì)粒子B和B′執(zhí)行Pauli運(yùn)算σ(0,s)和σ(0,t)。這樣變成：

（4）Alice 和Bob 分別對(duì)粒子A′和B施行U1和U2運(yùn)算，則

其次，Alice、Bob和Charlie需做如下操作：

經(jīng)過(guò)上述測(cè)量后，粒子A和B′的態(tài)坍塌為：

它正是所需要的。因此，借助五粒子團(tuán)簇態(tài)和經(jīng)典通信，Alice 和Bob 分別對(duì)應(yīng)算子U1和U2能分別在和上被成功地執(zhí)行。

注3（1）到目前為此，已經(jīng)討論了有序算子對(duì)(U1,U2)被雙向執(zhí)行，這里U1和U2分別來(lái)自等式（2）和（3）。對(duì)于有序算子(U1,U1)、(U2,U1)和(U2,U2)的討論是類似的。

（2）本方案僅用了一個(gè)五粒子團(tuán)簇態(tài)作為信道，來(lái)自控制者的單向經(jīng)典信息是1 bit，Alice 和Bob 都需要2 bit經(jīng)典信息。而在第2章和第3章的每個(gè)方案中都需要兩個(gè)五粒子團(tuán)簇態(tài)、來(lái)自控制者的2 bit 單向經(jīng)典信息，并且Alice 和Bob 都至少需要經(jīng)典信息。當(dāng)然，本章方案的代價(jià)是U 和V 的取法必須限制在U1或U2上。

5 討論與結(jié)論

從以下四個(gè)方面來(lái)比較本方案：由經(jīng)典部分和量子部分組成的資源消耗、必要的操作復(fù)雜性（包括難度和強(qiáng)度）、方案成功概率和方案的內(nèi)在效率。比較本方案的四個(gè)方面結(jié)果總結(jié)在表1 中。任何單量子算子共享方案的內(nèi)在效率為：

其中，Qt為量子信道的量子位數(shù)目，Ct為被傳輸?shù)慕?jīng)典比特?cái)?shù)目，P 協(xié)議成功的概率。在表1 中，QRC 表示這些方案包含量子資源耗費(fèi)，NO 表示必要運(yùn)算，CRC 表示經(jīng)典資源耗費(fèi)，C5表示五粒子團(tuán)簇態(tài)，BM 表示Bell態(tài)測(cè)量，SM 表示單粒子測(cè)量，CNOT 表示受控非門(mén)，PO表示Pauli算子，S及其帶上下標(biāo)表示方案。

對(duì)于雙向任何單量子算子的傳輸，第一個(gè)方案本質(zhì)上是三個(gè)過(guò)程的有序結(jié)合，即BCQST 和Alice 和Bob 的算子之執(zhí)行以及重構(gòu)這三個(gè)過(guò)程的有序結(jié)合。第一個(gè)方案中的量子操作復(fù)雜性明顯簡(jiǎn)化。注意，一般來(lái)說(shuō)，Bell 態(tài)測(cè)量的復(fù)雜性可以分解為一個(gè)CNOT 和兩個(gè)單量子測(cè)量。因此，第一個(gè)方案的難度大約等于兩個(gè)CNOT、兩個(gè)Bell 態(tài)測(cè)量和六個(gè)單量子測(cè)量以及四個(gè)Pauli 操作。與表中的第二行相比，從第一行可以看出所有這些優(yōu)勢(shì)。顯然，第一個(gè)方案比第二個(gè)方案（S2）少四個(gè)Pauli 操作。但第一個(gè)方案的成功概率和內(nèi)在效率都比第二個(gè)方案（S2）小得多。當(dāng)然，如果通過(guò)添加適當(dāng)?shù)木植跨壅\(yùn)算來(lái)修改第一個(gè)方案，可以得到與第二個(gè)方案（S2）相同的結(jié)果。此外，方案S2不能簡(jiǎn)單地分解為上述三個(gè)過(guò)程，這一重要的變化將帶來(lái)上述的一些差異。盡管它看起來(lái)更復(fù)雜，但實(shí)際上它提供了資源消耗的上限，并顯示了完成CBRQC任務(wù)所需操作的復(fù)雜性。具體來(lái)說(shuō)，在方案中，兩個(gè)五粒子團(tuán)簇態(tài)和10 bit的經(jīng)典通信耗費(fèi)是必不可少的，必要的操作是兩個(gè)受控非門(mén)、兩個(gè)Bell 態(tài)測(cè)量和六個(gè)單量子測(cè)量，以及八個(gè)Pauli 操作，其內(nèi)在效率為1/20。

表1 四個(gè)方案S1、S2、和S3的比較

表1 四個(gè)方案S1、S2、和S3的比較

S U 或VQRCNOCRC/bitP η S1任意2C54BM，2SM，4PO101/41/80 S2任意2C52CNOT，2BM，6SM，8PO101/21/40 S#2U1或U22C52CNOT，2BM，6SM，8PO1011/20 S3U1或U2C52CNOT，5SM，6PO511/10

方案的安全性完全取決于四方或三方是否事先安全地分享了量子糾纏信道。借助于類似任務(wù)的成熟檢查策略[32-33]，任何惡意的局外、局內(nèi)攻擊都很容易被發(fā)現(xiàn)（為了簡(jiǎn)單起見(jiàn)，這里不再重復(fù)），這意味著目前的方案也是絕對(duì)安全的。另外，本方案是受控的，這意味著沒(méi)有監(jiān)控者的許可，接受者是不能獨(dú)自完成重構(gòu)工作的，這從另一個(gè)角度說(shuō)明了方案的安全性。

為什么要考慮這種量子通道，以方案3 為例說(shuō)明這個(gè)問(wèn)題。在CBRQC 方案中，有兩個(gè)分別具有算子U 和V 的發(fā)送方和一個(gè)控制者，從而CBRQC 方案3 應(yīng)至少有五方（兩個(gè)發(fā)送方、兩個(gè)接收方和一個(gè)控制方，以確保雙向傳輸和控制），因此，需要至少一個(gè)五粒子糾纏信道來(lái)執(zhí)行該CBRQC 方案。更重要的是，除了團(tuán)簇態(tài)同時(shí)具有GHZ 態(tài)和W 類糾纏態(tài)的性質(zhì)外，還具有一些獨(dú)特的特性，如具有很大的糾纏持久性等。此外，團(tuán)簇態(tài)是基于測(cè)量的量子計(jì)算的關(guān)鍵組成部分，并已提出了這種態(tài)的產(chǎn)生與應(yīng)用[34-35]。顯然，本方案雇傭的局部操作是單量子算子、雙量子受控非門(mén)和Bell 態(tài)測(cè)量等，這些操作在諸如腔QED 系統(tǒng)[36]、離子阱系統(tǒng)[37]、光學(xué)系統(tǒng)[38]等都可實(shí)現(xiàn)。因此按目前的實(shí)驗(yàn)技術(shù)，本方案是完全可行的。

綜上所述，本文結(jié)合量子算子遠(yuǎn)程執(zhí)行和雙向受控隱形傳態(tài)的思想，提出了四種CBRQC 方案。前兩種方案對(duì)于任意的單粒子算子對(duì)的傳輸是概率的，而其他方案則是確定性的。然而，經(jīng)過(guò)深入研究發(fā)現(xiàn)，如果被傳輸?shù)乃阕訉?duì)(U,V)選自限制集，則方案成功概率和效率都可以顯著提高。此外，一些局部操作的減少可能會(huì)導(dǎo)致上述兩個(gè)指標(biāo)的大幅減少。從量子和經(jīng)典資源消耗、必要的操作復(fù)雜性、成功概率和效率五個(gè)方面對(duì)不同情況下的方案進(jìn)行了具體比較，發(fā)現(xiàn)最后一種方案是確定性的，且比其他方案更為優(yōu)化。此外，指出了本方案是安全可行。