鐘 鳴，劉建東，劉 博，2，陳 飛，2，張世博

1.北京石油化工學院 信息工程學院，北京102617

2.北京化工大學 信息科學與技術學院，北京100029

1 引言

在非線性科學領域中，混沌動力系統(tǒng)因其擁有對初始狀態(tài)的極端敏感性、偽隨機性、軌道不可預測性、拓撲混合性等多種特性而成為一個重要的研究方向。通過對混沌系統(tǒng)多次迭代計算，可以產生具有優(yōu)良性能的偽隨機序列，適用于通信安全、信息加密[1-3]。因此，在密碼學領域，混沌系統(tǒng)有著極大的研究價值。

混沌密碼體系在繼承傳統(tǒng)密碼體系中的擴散與混亂的同時，又將定義區(qū)間由傳統(tǒng)密碼學的有限集擴展到實數域[4-6]。混沌系統(tǒng)數字化后帶來的問題就是混沌特性嚴重下降，其動力學行為可能會被預知，這不利于構造安全有效的偽隨機序列。針對這一問題，可以從施加擾動機制、提高計算精度、擴展空間維度三個方面來改善數字化混沌系統(tǒng)的動力學行為，從而降低特性退化對偽隨機序列性能的影響。

比較經典的混沌動力系統(tǒng)是Logistic映射系統(tǒng)和帳篷映射系統(tǒng)。其中，Logistic 映射的混沌區(qū)域會存在與初值無關的固定空缺，且均勻分布特性較差。帳篷映射不存在如上問題，故帳篷映射的可靠性高于Logistic 映射。帳篷映射的映射空間較小，不能完全滿足生成高安全性偽隨機序列的要求。文獻[7]中通過增加參數來改進帳篷映射，但改進后的帳篷映射生成的偽隨機序列在不出現信息損耗的情況下能夠被壓縮，使得生成序列的隨機性并不理想。文獻[8]中提出整數帳篷映射并將其迭代生成的偽隨機序列空間擴展至2(k+1)，這使得帳篷映射由實數域轉化到整數域進行運算，但在其有限的映射空間內迭代計算會出現短周期行為。為了改善這一缺陷，文獻[9]提出了增加動態(tài)擾動機制，文獻[10]在擾動機制的基礎上提出了擴展維數，構造二維整數帳篷映射，取得了一定成果，但這是基于耦合映象格子系統(tǒng)置亂進行的偽隨機序列構造，所以生成序列特性的提升本質上是兩個系統(tǒng)相互影響的結果。

為了進一步增強二維系統(tǒng)生成序列的復雜度，研究不同狀態(tài)及參量變化對系統(tǒng)的影響，本文通過施加擾動機制、提高計算精度和擴展空間維度，構造了三維動態(tài)整數帳篷映射，并從信息熵、互信息、差值特性、分布特性、最大Lyapunov 指數及隨機性方面進行仿真分析，探討了擾動機制、計算精度和空間維度對映射系統(tǒng)動力學行為產生的影響。分析表明，在擾動、精度和維度的三重影響下，三維動態(tài)整數帳篷映射可以脫離外界模型的置亂干擾，獨立產生性能良好的偽隨機序列，適合應用于密碼學領域作為密鑰對數據文件進行加密。相較于一維和二維帳篷映射系統(tǒng)，三維動態(tài)整數帳篷映射系統(tǒng)的動力學行為更加復雜，安全性更高。

2 基于帳篷映射的映射系統(tǒng)

2.1 帳篷映射

帳篷映射系統(tǒng)的定義為：

此系統(tǒng)將映射空間分成兩個部分，通過對數值的拉伸與折疊，使產生的序列維持在映射空間中。其中，α作為控制參數，負責引導映射空間的大小。當控制參數α ＞0.43 時，系統(tǒng)整體處于混沌狀態(tài)；當控制參數α=1時，系統(tǒng)為滿映射，并有較強的平衡性[11]。

2.2 擴展整數帳篷映射

針對帳篷映射系統(tǒng)取值空間不足的問題，構造擴展整數帳篷映射系統(tǒng)。首先將帳篷映射由實數域計算轉至整數域計算，即：

再對基于整數域計算的帳篷映射進行擴展，得到擴展整數帳篷映射系統(tǒng)的定義。

當n為偶數時：

公式中，1=2k-1，參數k 即精度，限制了映射系統(tǒng)的映射空間。

當n為奇數時：

2.3 動態(tài)整數帳篷映射

帳篷映射由實數域轉至整數域進行計算時會產生短周期現象，為避免這一現象，在整數帳篷映射中加入動態(tài)參量，得到動態(tài)整數帳篷映射：

其中

該映射系統(tǒng)中，ki為動態(tài)參量，控制映射的水平移動。通過動態(tài)參量變化生成控制參數，使得該映射系統(tǒng)處于不斷變化之中，從而打破短周期現象。

控制參數表達式中，2n限制了映射系統(tǒng)空間容量，未知量n反映了映射系統(tǒng)的精度，例如28稱之為8精度，210稱之為10精度。

2.4 二維整數帳篷映射

通過擴展維數可以將一維帳篷映射擴展至二維帳篷映射，其定義為：

定義域為：

其中

在該二維系統(tǒng)中，mi和ki為動態(tài)參量，控制映射系統(tǒng)移動，其隨迭代時間不同而隨機生成，并通過控制參數gi和hi反映到系統(tǒng)中。

3 三維動態(tài)整數帳篷映射系統(tǒng)設計

在二維整數帳篷映射的基礎上構造了三維動態(tài)整數帳篷映射，其定義為：

定義域為：

對于定義中的參量gi、hi和si的取值方式，給出如下矩陣計算形式：

其中，mi和ki定義方式同公式（5），新引入的動態(tài)參數vi也采用同樣的定義方式。At表示隨著迭代時間進行，矩陣A取值只取某一列向量，t=1,2,3。

矩陣A表示為：

其中，E 表示單位矩陣。

公式（5）基于精度n=8，采用了耦合映象格子系統(tǒng)作為二維整數帳篷映射的空間置亂函數，以達到序列之間相互獨立的目的。本文提出的三維動態(tài)整數帳篷映射除了將精度提高到10 外，還排除了依靠外界系統(tǒng)進行空間置亂干擾的方式，采用了矩陣變換來對參量gi、hi和si的取值方式進行擾亂，即依靠系統(tǒng)自身就可以產生多條獨立性很強的偽隨機序列。

4 三維動態(tài)整數帳篷映射特性分析

4.1 初值敏感性

初值敏感性是混沌系統(tǒng)的一個典型特征，對初始值進行微小的影響都會使得整個系統(tǒng)運動發(fā)生質變?？梢圆捎肗PCR（像素變化率）衡量一個系統(tǒng)的初值敏感程度，NPCR越大，系統(tǒng)狀態(tài)點之間的離散程度越大。

NPCR計算方式為：

采用公式（7），選取4 種不同的差值情況計算NPCR，結果如表1 所示。對比可知，三維系統(tǒng)生成的混沌序列的NPCR 值大于二維系統(tǒng)，即三維系統(tǒng)的初值敏感性大于二維系統(tǒng)。

表1 10精度下二維與三維系統(tǒng)NPCR對比

4.2 信息熵與互信息

信息熵最早由香農提出，用以描述信源的不確定度。將這一概念應用在偽隨機序列測試中，用以表征映射系統(tǒng)所產生序列的混亂程度，即信息熵值越大，迭代序列越接近無序，動力學特性越復雜[12-13]。

公式（6）中存在著{x1,x2, …,xn}、{y1,y2, …,yn}以及{z1,z2,… ,zn}三條序列，各序列對應的信息熵分別為：

p(Xi)、p(Yi)和p(Zi)表示每個序列中第i 個數出現的頻率。在信息論中，頻率的計算方式可以表示為：

n為偽隨機序列可取得的最大值，則信息熵最大值為lb n。本文所提出的三維動態(tài)整數帳篷映射基于10精度，因此n=1 024，信息熵最大值為10。

分別計算8 精度下二維和三維系統(tǒng)的信息熵、10 精度下二維和三維系統(tǒng)的信息熵以及排除動態(tài)參量mi、ki和vi的擾動效果后10 精度三維系統(tǒng)的信息熵，并進行對比分析。計算結果如表2至表4所示。

表2 8精度下二維與三維系統(tǒng)信息熵對比

表3 10精度下二維與三維系統(tǒng)信息熵對比

表4 10精度下無動態(tài)擾動三維系統(tǒng)信息熵

從表2 至表4 中可以看出，二維和三維系統(tǒng)的信息熵值均逼近于8 精度及10 精度下的理論最大值。但在不依賴耦合映象格子系統(tǒng)干擾的情況下，三維動態(tài)整數帳篷映射的信息熵高于二維整數帳篷映射的信息熵，說明在獨立迭代生成偽隨機序列的前提下，三維系統(tǒng)的無序程度高于二維系統(tǒng)。在無動態(tài)參量干擾的前提下，系統(tǒng)信息熵出現明顯降低，系統(tǒng)混亂程度大幅減弱，即動態(tài)參量在提升系統(tǒng)復雜性上具有明顯作用。

通過信息熵值可以求得互信息，進而度量映射系統(tǒng)生成序列之間共享信息量的大小。當兩條偽隨機序列完全獨立時，互信息值達到最小值0。對于三維動態(tài)整數帳篷映射中的三條偽隨機序列，互信息的計算方式為：

其中，H(X,Y)、H(X,Z)和H(Y,Z)分別為序列X、Y 和Z的聯合信息熵。

在計算互信息時，采用文獻[14]中提出的等間距分格子法，通過變化xi、yi和zi以及動態(tài)參量mi、ki和vi的初始值進行分析，結果如表5所示。無動態(tài)參量mi、ki和vi的擾動下，變化xi、yi和zi的初始值進行互信息分析，結果如表6所示。

文獻[10]通過公式（5）及公式（12）計算得到二維整數帳篷映射的互信息值，各數值均分布在在0.12 附近。對比表5 可知，本文提出的三維動態(tài)整數帳篷映射在排除外界系統(tǒng)擾亂的情況下可以得到更小的互信息值。分析表6，無動態(tài)參量干擾下的三維系統(tǒng)互信息值均在1.0左右，即各序列之間相關性較強，安全性差。

表5 三維整數帳篷映射系統(tǒng)的互信息

表6 無動態(tài)擾動三維整數帳篷映射系統(tǒng)的互信息

綜上可知，在動態(tài)參量mi、ki和vi擾動作用下，三維動態(tài)整數帳篷映射系統(tǒng)獨立生成的三條序列之間的關聯性極小，各序列之間的獨立性優(yōu)于二維整數帳篷映射生成的序列。

4.3 差值特性

差值可以用來表示偽隨機序列中某兩個狀態(tài)點之間的關系。理想狀態(tài)下，系統(tǒng)生成的隨機序列狀態(tài)點的差值分布特性圖應呈線性遞減狀態(tài)，且圖像越平滑，系統(tǒng)的混亂程度越高，各相鄰狀態(tài)點之間的關聯度越弱，即降低了由前一個狀態(tài)點推知后一個狀態(tài)點的可能性。

k階差值的定義為：

其中，k為差值階數。

取k=1時，分別計算8 精度下二維和三維系統(tǒng)、10精度下二維和三維系統(tǒng)以及無動態(tài)參量干擾下的三維系統(tǒng)的1階差值分布情況，結果如圖1至圖5所示。

圖1 8精度下二維系統(tǒng)X 和Y 序列1階差值分布

圖2 8精度下三維系統(tǒng)X、Y 和Z 序列1階差值分布

對比二維和三維系統(tǒng)的差值分布，可以看出兩種映射系統(tǒng)都服從差值分布線性遞減的特性。但二維整數帳篷映射的差值分布圖像在中間處有一個較明顯的下折，而三維動態(tài)整數帳篷映射的差值分布圖像更為平滑，這說明三維系統(tǒng)的差值分布較二維系統(tǒng)更嚴格服從線性遞減的特性，其性能在一定程度上優(yōu)于二維系統(tǒng)。

在無動態(tài)參量擾動的條件下，三維系統(tǒng)差值分布雖整體處于下降趨勢，但圖像不夠平滑，起伏波動較大，各個狀態(tài)點之間有較強的關聯性。

4.4 相空間結構

相空間結構反映了偽隨機序列中相鄰狀態(tài)點之間的數值相關性。數值相關性大的相鄰狀態(tài)點，其結構圖會呈現出近似有序的分布，即偽隨機序列中相鄰點有很強的關聯性；反之，數值相關性小的相鄰狀態(tài)點，其結構圖呈現無序分布的狀態(tài)，且隨迭代進行，狀態(tài)點會逐漸遍歷整個分布空間。

通過三維動態(tài)整數帳篷映射系統(tǒng)迭代生成X、Y 和Z 序列，其相空間結構如圖6 至圖8 所示。三幅圖均呈無序狀態(tài)，且各狀態(tài)點遍歷整個分布空間，表明三條偽隨機序列中各相鄰狀態(tài)點之間的數值相關性較弱，混亂程度較高。

在無動態(tài)參量干擾的情況下，繪制X、Y 和Z 序列的相空間結構如圖9 至圖11 所示。此時三維系統(tǒng)相圖中出現明顯可見的線性狀態(tài)點分布，即沒有動態(tài)擾動時，系統(tǒng)生成的序列中各相鄰狀態(tài)點之間有明顯的關聯性，容易由前一個狀態(tài)點推知下一個狀態(tài)點，系統(tǒng)安全性差。

圖3 10精度下二維系統(tǒng)X 和Y 序列1階差值分布

圖4 10精度下三維系統(tǒng)X、Y 和Z 序列1階差值分布

圖5 10精度下無動態(tài)擾動三維系統(tǒng)X、Y和Z序列1階差值分布

圖6 三維系統(tǒng)X 序列相空間結構圖

圖7 三維系統(tǒng)Y 序列相空間結構圖

圖8 三維系統(tǒng)Z 序列相空間結構圖

圖9 無動態(tài)擾動三維系統(tǒng)X 序列相空間結構圖

圖10 無動態(tài)擾動三維系統(tǒng)Y 序列相空間結構圖

圖11 無動態(tài)擾動三維系統(tǒng)Z序列相空間結構圖

4.5 分布特性

序列的分布特性反映了序列中各數值出現的概率。理想的隨機序列中每個值出現的概率相等，即其分布特性曲線應為一條直線。

分別計算10 精度下二維和三維系統(tǒng)以及無動態(tài)參量擾動的三維系統(tǒng)中各序列的分布特性，結果如圖12至圖14所示。

圖12 10精度下二維系統(tǒng)X 和Y 序列分布特性

圖13 10精度下三維系統(tǒng)X、Y 和Z 序列分布特性

理想狀況下，10精度二維整數帳篷映射產生的序列中，每個數字出現的概率為1/1 024，約為0.976 56×10-3。分析圖12 可以看出，分布曲線于1×10-3上下浮動，接近理想值。X 序列絕對誤差約為1.094 37×10-4，相對誤差約為0.112；Y 序列絕對誤差約為0.994 37×10-4，相對誤差約為0.101。

10精度三維動態(tài)整數帳篷映射產生的序列中，每個數字出現的概率同10 精度二維整數帳篷映射，約為0.976 56×10-3。分析圖13可以看出，分布曲線于1×10-3上下浮動，接近理想值。X 序列絕對誤差約為1.045 37×10-4，相對誤差約為0.107；Y 序列絕對誤差約為0.974 37×10-4，相對誤差約為0.099；Z 序列絕對誤差約為1.014 37×10-4，相對誤差約為0.103。

圖14 10精度下無動態(tài)擾動三維系統(tǒng)X、Y 和Z序列分布特性

綜上可得，在動態(tài)參量擾動的條件下三維系統(tǒng)在分布性能上要優(yōu)于二維系統(tǒng)，其產生的序列中各數字誤差相對較小，出現概率更接近于平均。

4.6 Lyapunov指數

Lyapunov 指數可以用來描述一個系統(tǒng)的相空間中相鄰軌道的變化情況，從而評估其混沌動力學行為的優(yōu)劣。當把混沌系統(tǒng)提升到更高維度后，其最大Lyapunov指數越大，系統(tǒng)的混沌性能越優(yōu)秀[15-16]。

文獻[17]中提出了一種計算最大Lyapunov 指數的方法，這種方法適用于定義在整數域上的混沌系統(tǒng)，其計算表達式為：

其中，λ表示系統(tǒng)的最大Lyapunov 指數，S 表示系統(tǒng)維數，M 表示系統(tǒng)運行后得到的數據長度，d()表示相鄰數據點的歐氏距離，F 表示系統(tǒng)的映射關系，mi表示系統(tǒng)的數據點。

針對本文設計的三維動態(tài)整數帳篷映射，計算其最大Lyapunov 指數與動態(tài)參數的關系分布圖，得到的結果如圖15至圖17所示。

圖15 三維系統(tǒng)X 序列最大Lyapunov指數

圖16 三維系統(tǒng)Y 序列最大Lyapunov指數

圖17 三維系統(tǒng)Z 序列最大Lyapunov指數

分析圖15 至圖17 可知，三維動態(tài)整數帳篷映射系統(tǒng)迭代生成的三條序列的最大Lyapunov 指數均在2 上下浮動，即三維動態(tài)整數帳篷映射為混沌系統(tǒng)。

4.7 NIST隨機數測試

美國國家標準與技術研究所（NIST）公布的隨機數測試工具可以對混沌系統(tǒng)迭代產生的序列進行測試，從而判斷混沌系統(tǒng)動力學行為的復雜程度[18]。當15 項測試產生的P-value值大于1%時，可以認定測試序列隨機性良好，產生序列的映射系統(tǒng)的動力學行為優(yōu)秀。

文獻[10]提出的二維整數帳篷映射通過施加耦合映象格子系統(tǒng)進行空間置亂，從而通過了NIST 隨機數測試。當排除耦合映像格子系統(tǒng)的干擾時，對二維系統(tǒng)本身運行產生的結果進行NIST 隨機數測試，得到的15項測試數據如表7所示。

表7 8精度二維映射系統(tǒng)NIST隨機數測試結果

由表7 可知，二維整數帳篷映射的X 序列和Y 序列均未通過Longest Run of Ones 測試和Non-Overlapping Template Matchings 測試，即二維系統(tǒng)本身存在著較大的缺陷。

將二維系統(tǒng)空間維數提升，構建精度為8 的三維動態(tài)整數帳篷映射，進行NIST 隨機數測試，結果如表8所示。

由表8 可知，二維整數帳篷映射系統(tǒng)在僅提高空間維度的條件下可以通過NIST 隨機數測試，但部分測試結果接近臨界值，因此本文考慮在提高空間維度的基礎上將計算精度從8 提高到10，得到三維動態(tài)整數帳篷映射，并對其運行結果進行NIST隨機數測試，測試結果如表9所示。

由表9 可知，計算精度由8 提高到10 后得到的三維動態(tài)整數帳篷映射系統(tǒng)通過NIST 測試，且各序列屬性優(yōu)秀。

4.8 功率譜

動力系統(tǒng)生成時間序列的過程可以視為重復疊加的周期運動，通過分析其功率譜可以辨別系統(tǒng)是否為混沌狀態(tài)[19-20]。當系統(tǒng)為周期系統(tǒng)或擬周期系統(tǒng)時，功率譜表現為線性狀態(tài)，或存在明顯的波峰；當系統(tǒng)為混沌系統(tǒng)時，功率譜表現為連續(xù)不規(guī)則狀態(tài)，且圖像更加稠密，沒有明顯波峰存在。

本文采用了基于FFT 計算功率譜的方法，先計算出傅里葉系數：

根據傅里葉系數計算功率譜[21]：

對三維動態(tài)整數帳篷映射系統(tǒng)迭代1 000 次，得到三條序列的功率譜如圖18 至圖20 所示，三條序列的圖像均為不規(guī)則的稠密折線圖，由此可知三維系統(tǒng)有較強的混沌性。

表8 8精度三維映射系統(tǒng)NIST隨機數測試結果

表9 10精度三維映射系統(tǒng)NIST隨機數測試結果

圖18 三維系統(tǒng)X 序列功率譜

圖19 三維系統(tǒng)Y 序列功率譜

圖20 三維系統(tǒng)Z 序列功率譜

在無動態(tài)參量mi、ki和vi擾動的條件下對三維系統(tǒng)迭代1 000次計算其序列功率譜，結果如圖21至圖23所示?？梢娫跓o動態(tài)干擾時，序列混沌特性大幅減弱。

5 結束語

本文基于二維整數帳篷映射，在施加動態(tài)擾動、提高計算精度及擴展空間維度的基礎上構造了三維動態(tài)整數帳篷映射，并采用矩陣變換的形式對產生的序列進行置亂。對三維動態(tài)整數帳篷映射系統(tǒng)的信息熵、互信息、差值特性、分布特性、最大Lyapunov 指數及隨機性進行仿真分析，結果表明，新的三維系統(tǒng)生成的序列有極強的復雜性、獨立性，其動力學特性相當優(yōu)越。

該系統(tǒng)基于圖像加密提出，其生成的偽隨機序列作為密鑰，擁有良好的安全性。但新系統(tǒng)不局限于此，也可用作偽隨機序列發(fā)生器或進行視頻加密及圖像隱藏[22]。在將來研究工作的中，考慮在大數據平臺上利用該系統(tǒng)實現圖像加密以及圖像分存，以提高該系統(tǒng)的實現效率以及其性能的優(yōu)越性。

圖21 無動態(tài)擾動三維系統(tǒng)X序列功率譜

圖22 無動態(tài)擾動三維系統(tǒng)Y序列功率譜

圖23 無動態(tài)擾動三維系統(tǒng)Z序列功率譜