黃耀波，劉佳新，徐祖華，趙均，邵之江

（浙江大學(xué)控制科學(xué)與工程學(xué)院，工業(yè)控制技術(shù)國家重點實驗室，浙江杭州310027）

引 言

塑料是以石油或天然氣為原料，經(jīng)過合成反應(yīng)而得到的高分子材料，具有諸多優(yōu)良特性，例如導(dǎo)熱性差、絕緣性好、透明度高等。塑料制品在高分子產(chǎn)量中占有重要份額，以低廉的價格、可靠的性能及豐富的產(chǎn)品功能，被廣泛用于汽車、機(jī)電、儀表、航天等國民經(jīng)濟(jì)的各個領(lǐng)域[1]。

注塑成型又稱注射模型成型，是一種注射兼模塑的成型方法，而注塑機(jī)是注塑成型的主要設(shè)備。注塑過程是典型的低成本批次生產(chǎn)過程，由注射、保壓、冷卻等階段構(gòu)成[2]，按照以上階段重復(fù)進(jìn)行。其過程狀態(tài)隨時間而變，不具備穩(wěn)態(tài)工況點[3]。其中，保壓段是決定成品質(zhì)量的一個重要階段，它的關(guān)鍵變量是保壓壓力[4-5]，但由于保壓過程運(yùn)行區(qū)間內(nèi)一般沒有穩(wěn)態(tài)工作點，保壓壓力會在較大范圍內(nèi)波動，導(dǎo)致過程表現(xiàn)出強(qiáng)烈的非線性和時變特性，線性時不變模型已經(jīng)不能充分描述此過程。

分段仿射(piece-wise affine, PWA)模型是混雜模型的一個重要子類，可以以任意精度描述非線性模型[6]，常用于非線性模型的建模[7]。該模型將狀態(tài)空間分割成若干個凸多面體區(qū)域，不同的區(qū)域由不同的線性子模型來描述，并且系統(tǒng)狀態(tài)在各區(qū)域的交界處保持連續(xù)[8]，基于注塑過程的特點，可用PWA模型描述注塑過程保壓段動態(tài)特性[9]。

PWA模型的建立有許多種方法，如Vidal等[10]提出代數(shù)求解的方法，F(xiàn)errari-Trecate 等[11]提出聚類求解的方法，Bemporad 等[12-13]提出一種有界誤差的方法，Juloski 等[14]提出基于貝葉斯概率的方法等，然而在切換時刻子模型的硬切換會使輸出值產(chǎn)生跳變，不符合實際生產(chǎn)過程。為了使相鄰的子模型平滑過渡，需要引入切換區(qū)間的概念，切換區(qū)間用相鄰兩個子模型加權(quán)組合描述切換過程的動態(tài)特性。因此對基于時間劃分的PWA模型引入切換區(qū)間，設(shè)計PWA融合模型的辨識算法，采用線性融合的方式描述切換區(qū)間特性。并且基于上述模型設(shè)計了多模型PID 控制器，注塑機(jī)實驗結(jié)果表明多模型PID控制器能達(dá)到較好的控制效果。

1 基于PWA融合模型的保壓段建模

注塑過程保壓段可用如下線性時變模型描述

式中，k和t分別表示批次軸和時間軸坐標(biāo)，K和T 分別表示批次軸和時間軸長度，yk(t)、uk(t)和vk(t)分別為第k批次時刻t的輸出、輸入和擾動；G(q,t)為uk(t)、yk(t)之間的時變傳遞函數(shù)。

由于擾動具有很強(qiáng)的批次相關(guān)性，可用批次軸的積分白噪聲表示[15-16]

式中，ek(t)為零均值白噪聲，上述非平穩(wěn)擾動不滿足辨識的基本要求，因此對相鄰批次做差分

其中

常見的PWA 模型為如下分段仿射自回歸(piece-wise autoregressive eXogenous, PWARX)模型的形式

其中

s 為回歸向量集χ 的分區(qū)個數(shù)，θi為每個仿射子模型的參數(shù)向量，φk為回歸向量，n 為子模型的階數(shù)，={Hiφk(t)≤0}形成完整的回歸域χ，Hi為切面方程的系數(shù)矩陣，滿足回歸向量集的不重疊劃分需要對切面方程的系數(shù)矩陣進(jìn)行估計，求解時存在很大難度[17-18]。保壓段的過程特性隨時間而變，且具有批次重復(fù)性[19]，因此本文利用上述特性將時間作為回歸向量集劃分的依據(jù)，得到基于時間劃分的PWA 映射。由于PWARX 模型不適合輸出誤差結(jié)構(gòu)[20]，因此考慮到批次過程的特點，提出基于時間劃分的分段仿射輸出誤差(piece-wise affine output error,PWAOE)模型[21-22]

其中，f(· )為PWA映射，定義如下

式中，Ti為切換時刻，s為子模型個數(shù)，且定義

因此模型式(5)可以寫成下面的形式

由于PWA 模型硬切換時會引起較大的輸出跳變，為了使子模型之間的切換更加平滑，在子模型切換過程中引入切換區(qū)間，并采用線性融合的方式對切換過程進(jìn)行描述，權(quán)重函數(shù)和切換區(qū)間的左右邊界如圖1 所示。圖中實線表示非切換區(qū)間，虛線表示切換區(qū)間左右兩個子模型的線性權(quán)重，TLi和TRi表示第i 個切換區(qū)間的左右邊界，基于線性加權(quán)的PWA融合模型可表示為

在第i 個切換區(qū)間，ζi(t)和ζ'i(t)分別表示第i 個子模型和第i+1個子模型的權(quán)重，并有

圖1 線性加權(quán)權(quán)重函數(shù)Fig.1 Weighting function of linear weighting

2 PWA融合模型辨識

PWA 融合模型的辨識問題可轉(zhuǎn)化為切換區(qū)間左右邊界以及對子模型參數(shù)的估計，參數(shù)分別記為

對PWA模型，其一步最優(yōu)預(yù)測值為

其中，σ(t)和υ(t)的定義如下

通過最小化預(yù)報誤差損失函數(shù)估計參數(shù)

其中

上述優(yōu)化命題含有離散和連續(xù)多重類型的變量，屬于混合整數(shù)規(guī)劃。離散變量不存在梯度信息，直接求解的難度很大且容易出現(xiàn)數(shù)值問題。若切換時刻固定，PWAOE 模型的辨識就退化成標(biāo)準(zhǔn)的OE 模型參數(shù)估計問題；各子模型參數(shù)固定，該問題就變?yōu)獒槍φ麛?shù)切換時刻的無梯度數(shù)值優(yōu)化問題。因此利用分離最小二乘原理對式(13)所示優(yōu)化命題中的離散變量Γ 和連續(xù)變量Θ 分別進(jìn)行優(yōu)化。PWA融合模型的辨識步驟如下。

（1）初始化：確定切換時刻Γ 模型和子參數(shù)Θ的初值。

（2）固定Γ，通過Levenberg-Marquardt(LM)算法使如下?lián)p失函數(shù)J最小計算Θ

（3）固定Θ，通過多維尺度變換(multiple dimensional scaling, MDS)算法使如下?lián)p失函數(shù)J 最小計算Γ

（4）返回步驟（2），直至算法收斂或到達(dá)最大迭代次數(shù)。

算法流程如圖2所示。

圖2 辨識算法整體流程Fig.2 Process of identification algorithm

對于步驟(2)的非線性最小二乘問題，已有Newton-Raphson、Gauss-Newton、Levenberg-Marquardt等數(shù)值優(yōu)化方法。由于LM方法具有收斂速度快、數(shù)值穩(wěn)定性好的優(yōu)點，本文采用LM方法進(jìn)行數(shù)值求解，并得到如下迭代計算過程

步驟(3)中的優(yōu)化命題需要優(yōu)化不連續(xù)的整數(shù)切換時刻，沒有可以利用的梯度信息，因而無法使用現(xiàn)有的凸優(yōu)化理論求解。單純形搜索算法是一種典型的無梯度信息優(yōu)化算法，該算法通過不斷構(gòu)造新的單純形以替換原有單純形，使單純形逐漸向極小點靠近，反復(fù)迭代直至單純形收斂得到極小點。

MDS 算法是對Nelder-Mead 單純形法[23-24]的改進(jìn)，該算法是一種非線性規(guī)劃的單純形直接搜索算法[25]，可根據(jù)目標(biāo)函數(shù)值的大小選擇新的迭代點，不需保證充分下降條件[26]。MDS 算法的基本思想是：給定n 維空間的一個單純形，確定n+1 個頂點中具有最小函數(shù)值的頂點，以該點作為單純形的反射中心，然后通過旋轉(zhuǎn)、擴(kuò)展、收縮等方法構(gòu)造新的單純形，依次迭代直至收斂，如圖3所示。

圖3 MDS算法的旋轉(zhuǎn)、擴(kuò)展、收縮Fig.3 Rotation,expansion and shrinkage of MDS

因此切換時刻的更新可通過MDS算法完成。

上述PWA 融合模型的辨識算法中，需要設(shè)計多種模型結(jié)構(gòu)（子模型個數(shù)s 和模型階次n）分別進(jìn)行辨識，從中選擇損失函數(shù)較小的模型結(jié)構(gòu)。系統(tǒng)辨識中通常采用如下的模型結(jié)構(gòu)準(zhǔn)則進(jìn)行階次選擇[27]

其中，N 是辨識數(shù)據(jù)個數(shù)，J 是損失函數(shù)值, p =(s - 1)+ 2sn 是參數(shù)個數(shù)，γ 是模型復(fù)雜度。CIC(copula information criterion, CIC) 準(zhǔn) 則γ(p,N)=p lg2N 對模型結(jié)構(gòu)的復(fù)雜程度更敏感。因此，本文采用CIC準(zhǔn)則進(jìn)行PWA模型結(jié)構(gòu)的選擇。

3 基于PWA融合模型的保壓段控制

圖4 多模型PID控制器示意圖Fig.4 Diagram of multi-model PID controller

由于PID 控制器具有結(jié)構(gòu)簡單、魯棒性強(qiáng)等特點，本文采用PID 控制器進(jìn)行保壓段控制策略設(shè)計[28]?？紤]到保壓段的時變特性，通過第二部分的PWA 融合模型，設(shè)計了如圖4 所示結(jié)構(gòu)的多模型PID控制器。

首先該多模型PID 控制器針對每個PWA 子模型設(shè)計局部PID 控制器，然后將局部控制器進(jìn)行加權(quán)組合，各局部控制器的權(quán)重和PWA融合模型的權(quán)重相同?？紤]到微分項對噪聲有放大作用，采用如下實際微分PID控制算法

式中,β可選取0.05～0.2，一般取0.1。令

離散化可得

結(jié)合式(18)、式(19)和式(20)可得位置型PID算法

式中，Ts是采樣周期。實際運(yùn)行時，位置型PID會產(chǎn)生積分飽和現(xiàn)象，對式(21)進(jìn)行差分可得到增量式PID算法

局部控制器采用輸出融合的方式，切換區(qū)間和加權(quán)方式與PWA融合模型的形式類似，基于該模型的多模型PID控制器如下

其中

多模型PID 控制器的參數(shù)整定可以通過內(nèi)模整定局部PID控制器得到。

4 實驗結(jié)果

本文實驗所用的實驗平臺為海太HTL68/JD，是常規(guī)工業(yè)臥式注塑機(jī)，外觀如圖5所示。

圖5 注塑機(jī)外觀圖Fig.5 Appearance of injection molding machine

根據(jù)保壓段的工藝要求[29-30]，設(shè)計閥門設(shè)定軌跡并且設(shè)計PID 控制器實現(xiàn)保壓階段的閉環(huán)控制，得到閥門開度的標(biāo)稱軌跡，并在標(biāo)稱軌跡上疊加幅值為2 的廣義二進(jìn)制噪聲(generalized binary noise,GBN)信號，如圖6所示。

圖6 標(biāo)稱軌跡附近GBN測試Fig.6 GBN test near nominal trajectory

每個批次的采樣時刻為600 個，共進(jìn)行11 個批次的測試實驗。通過分離最小二乘辨識方法，得到PWA 融合模型的切換區(qū)間和子模型參數(shù)。不同模型結(jié)構(gòu)下PWA 融合模型的切換區(qū)間的左右邊界及對應(yīng)的損失函數(shù)值J見表1。

分別計算階次為1～5 的PWA 融合模型在不同結(jié)構(gòu)下的損失函數(shù)并計算CIC準(zhǔn)則，結(jié)果見圖7。

表1 階次為1的PWA融合模型切換區(qū)間及損失函數(shù)值Table 1 Switching intervals and loss function for order=1

圖7 PWA融合模型不同結(jié)構(gòu)的CIC值Fig.7 CIC criterion for different structure of PWA fusion model

根據(jù)圖7，選擇4 個切換區(qū)間即5 個子模型，階次為2，此時CIC 準(zhǔn)則取得最小值，切換區(qū)間為(107/189,199/299,399/470,480/521)，如圖8所示。

圖8 PWA融合模型的切換區(qū)間Fig.8 Switching intervals of PWA fusion model

由圖8 可知，注塑過程保壓階段在穩(wěn)定工作點附近非線性較小，可用單個子模型描述，在上升段和下降段工況變動較大，需要引入另外的子模型并進(jìn)行模型的融合。辨識所得到PWA 融合模型如下

根據(jù)得到的PWA融合模型，按照內(nèi)模方法整定局部PID 控制器的參數(shù)見表2，多模型PID 控制器的控制效果如圖9所示。

表2 多模型PID控制器參數(shù)Table 2 Parameters of multi-model PID controller

圖9 保壓段多模型PID控制實驗Fig.9 Multi-model PID control experiment for packing stage

根據(jù)圖9，多模型PID控制器的控制作用比較平穩(wěn)，保壓壓力能夠快速跟蹤設(shè)定值的變化，同時有效抑制過程的噪聲和擾動。

5 結(jié) 論

根據(jù)批次過程的特性，本文在PWA模型切換過程中引入切換區(qū)間，并采用線性加權(quán)的方法得到PWA 融合模型。該模型可以有效避免PWA 模型硬切換方式的跳變問題，且模型結(jié)構(gòu)較簡單。PWA 融合模型的辨識包含兩方面內(nèi)容：切換區(qū)間的確定和子模型參數(shù)的估計。兩者互相關(guān)聯(lián)，且分別為離散變量和連續(xù)變量，是一個NP-hard 問題。本文通過分離最小二乘的方法辨識PWA融合模型，基于得到的PWA 融合模型設(shè)計多模型PID 控制器并采用內(nèi)模方法整定參數(shù)。實驗結(jié)果表明，多模型PID 控制器能控制保壓壓力快速跟蹤到設(shè)定軌跡，并且能夠有效抑制擾動。