位剛　劉迎洲　庹文麗　楊小鋒　李禎

摘要：引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)法是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新思維能力的一種基本教學(xué)方法。這種教學(xué)方法還原了知識(shí)的發(fā)現(xiàn)過程，讓學(xué)生在探索過程中獲取知識(shí)。高等數(shù)學(xué)（或微積分）是大學(xué)理工科、農(nóng)科學(xué)生的一門重要基礎(chǔ)課，將引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)法應(yīng)用于高等數(shù)學(xué)課堂教學(xué)，既能提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性和主動(dòng)性，提高教學(xué)效果，又能培養(yǎng)學(xué)生的問題意識(shí)和創(chuàng)新思維能力。文章結(jié)合該作者的教學(xué)實(shí)踐，對(duì)“一元函數(shù)的微分”這一部分內(nèi)容進(jìn)行了引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)法教學(xué)。

關(guān)鍵詞：引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)法;高等數(shù)學(xué);微分;導(dǎo)數(shù)

中圖分類號(hào)：G642.0? ? ?文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A? ? ?文章編號(hào)：1674-9324（2020）16-0286-02

高等數(shù)學(xué)是大學(xué)理工科、農(nóng)科專業(yè)學(xué)生必修的一門基礎(chǔ)課程，微積分是其重要內(nèi)容。通過本課程的學(xué)習(xí)，學(xué)生不僅能夠掌握微積分的基本概念、基本定理，可以應(yīng)用微積分的知識(shí)解決一些實(shí)際問題，而且在這個(gè)過程中能夠掌握相應(yīng)的數(shù)學(xué)思想。李大潛說過，數(shù)學(xué)的教改應(yīng)該使學(xué)生領(lǐng)會(huì)到數(shù)學(xué)的精神實(shí)質(zhì)和思想方法，而忽略了數(shù)學(xué)思想對(duì)學(xué)生的熏陶以及學(xué)生素質(zhì)的提高，就失去了數(shù)學(xué)課程最本質(zhì)的特點(diǎn)和要求。

“發(fā)現(xiàn)法”是美國著名認(rèn)知心理學(xué)家布魯納積極倡導(dǎo)的一種教學(xué)方法。布魯納認(rèn)為：“發(fā)現(xiàn)不限于那種尋求人類尚未知曉之物的行為，正確地說，發(fā)現(xiàn)包括用自己的頭腦親自獲得知識(shí)的一切形式?！彼鲝埌褜W(xué)生視為“發(fā)現(xiàn)者”，教師不給任何啟發(fā)和幫助。他認(rèn)為，這種學(xué)習(xí)方式可以最大限度地發(fā)揮學(xué)生的積極性、主動(dòng)性和創(chuàng)造性，啟迪學(xué)生的智慧，培養(yǎng)他們的探索能力和獨(dú)立獲取知識(shí)的能力。20世紀(jì)70年代傳入中國后，我國教育家將“發(fā)現(xiàn)法”引申為“引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)法”，主張?jiān)诒匾獣r(shí)，教師可以適當(dāng)給予學(xué)生一點(diǎn)“引導(dǎo)”。因此“引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)法”是將“發(fā)現(xiàn)法”與“引導(dǎo)法”結(jié)合起來的一種教學(xué)方法，具有能夠培養(yǎng)受教育者創(chuàng)新意識(shí)與創(chuàng)新精神的特點(diǎn)，其核心是：在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生運(yùn)用已學(xué)過的知識(shí)和技能，通過對(duì)教師所提供的材料內(nèi)容進(jìn)行學(xué)習(xí)，自己探索前人的發(fā)現(xiàn)過程，“發(fā)現(xiàn)”知識(shí)，由此使學(xué)生提出問題、探索問題及解決問題的能力以及創(chuàng)新精神得到培養(yǎng)。筆者結(jié)合自己多年的教學(xué)實(shí)踐，就一元函數(shù)中“微分的定義”這一內(nèi)容采用了引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)法授課，還原了一元函數(shù)微分的定義及相關(guān)定理的創(chuàng)建過程，既讓學(xué)生理解和掌握了知識(shí)，提高了學(xué)習(xí)的興趣，更重要的是讓學(xué)生在教師的引導(dǎo)下，經(jīng)歷了“發(fā)現(xiàn)問題—提出猜想—驗(yàn)證猜想”的探索過程，掌握了數(shù)學(xué)思想方法。一元函數(shù)“微分的定義”及相關(guān)定理的教學(xué)過程具體如下。

一、創(chuàng)設(shè)情境，讓學(xué)生觀察函數(shù)增量的規(guī)律

在引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)法教學(xué)中，最重要的是創(chuàng)設(shè)情境，讓學(xué)生從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，總結(jié)規(guī)律?，F(xiàn)有教材中一元函數(shù)微分的定義大多由一個(gè)具體問題引出，即分析正方形邊長(zhǎng)增加引起的面積函數(shù)增量特點(diǎn)，并據(jù)此給出微分的定義、相關(guān)定理。有的教材甚至沒有引例，直接給出微分的定義。通過一個(gè)例子，就給出定義，學(xué)生往往還是不太明白為什么要給出微分的定義。如果能從一開始多給幾個(gè)引例，引導(dǎo)學(xué)生從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，效果要好得多。因此本節(jié)課開始先給出兩個(gè)引例，并提出問題：這兩個(gè)面積函數(shù)的增量有什么特點(diǎn)？引起學(xué)生討論。例1：正方形的邊長(zhǎng)x增加Δx時(shí)，面積增加了多少？計(jì)算得正方形面積增量：ΔS=（x+Δx）-x=2xΔx+（Δx）。例2：圓的半徑r增加Δr時(shí)，面積增加了多少？計(jì)算得圓的面積增量：ΔS=π（r+Δr）-πr=2πrΔr+π（Δr）。引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)共同點(diǎn)：這兩個(gè)函數(shù)增量都等于兩部分之和，其中第一部分是一個(gè)常數(shù)（第一個(gè)函數(shù)增量中是2x，第二個(gè)函數(shù)增量中是2πr）與自變量增量的乘積，且是函數(shù)增量的主要部分，第二部分是自變量增量的高階無窮小，是函數(shù)增量的次要部分。再給出第三個(gè)引例，同樣是計(jì)算自變量變化引起的函數(shù)增量問題。例3：球的半徑r增加Δr時(shí)，體積增加了多少？計(jì)算得球的體積增量：ΔV=π（r+Δr）-πr=4πrΔr+4πr（Δr）+π（Δr）。提出問題：該體積函數(shù)的增量是否也具有前面兩個(gè)例題中函數(shù)增量的特點(diǎn)？學(xué)生可能會(huì)回答：這個(gè)函數(shù)增量是三部分之和。引導(dǎo)學(xué)生：能不能也看作是兩部分之和？經(jīng)過觀察，學(xué)生很快就會(huì)發(fā)現(xiàn)該函數(shù)增量也可以看作兩部分之和，其中第一部分是4πrΔr，即常數(shù)4πr與自變量增量Δr的乘積，也是函數(shù)增量的主要部分;第二部分是4πr（Δr）+π（Δr），是自變量增量Δr的高階無窮小。三個(gè)不同的函數(shù)，的函數(shù)增量卻展示出了共同的結(jié)構(gòu)形式，拋開這些問題的實(shí)際意義，引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)語言總結(jié)這些函數(shù)所具有的共同特征：設(shè)函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x及其鄰域內(nèi)有定義，給x一個(gè)增量Δx，則函數(shù)增量能夠表示為：Δy=AΔx+ο（Δx）。提出問題：函數(shù)增量所具有的這種特征是否具有普遍性？同時(shí)給出引例4：計(jì)算函數(shù)y=x在點(diǎn)x=0的增量。顯然函數(shù)增量：Δy=0+Δx-0=Δx，不具有前面幾個(gè)例題中函數(shù)增量的特點(diǎn)。因此有必要將這兩類函數(shù)區(qū)分開來，區(qū)分的依據(jù)，就是函數(shù)在一點(diǎn)的增量是否具有例1、例2和例3中的特征。具有這種特征，我們就稱函數(shù)在該點(diǎn)可微;否則，稱函數(shù)在該點(diǎn)不可微。即設(shè)函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x及其鄰域內(nèi)有定義，給x一個(gè)增量Δx，如果函數(shù)增量Δy=f（x+Δx）-f（x）能夠表示為Δy=AΔx+ο（Δx），則稱函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x是可微的，而AΔx叫函數(shù)在點(diǎn)x相應(yīng)于自變量增量的Δx微分。但是這個(gè)可微的定義和書上的定義還有差別，讓學(xué)生將這個(gè)定義和教材中的定義進(jìn)行比較，發(fā)現(xiàn)教材中多了一句話：其中A是不依賴自變量增量的常數(shù)。提出問題：是不是我們前面的觀察還不夠仔細(xì)？函數(shù)增量必定與函數(shù)、點(diǎn)和自變量增量有關(guān)，如果A不依賴于自變量增量，那么它依賴于什么？讓學(xué)生仔細(xì)觀察并討論，并適時(shí)引導(dǎo)學(xué)生：A會(huì)不會(huì)與函數(shù)和點(diǎn)有什么關(guān)系？觀察結(jié)果：在例1中：A=2x=S′（x），例2中：A=2πr=S′（r），例3中：A=4πr=

S′（x），即A恰好等于函數(shù)在該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)。提出問題：對(duì)于可微函數(shù)，這是巧合，還是必然規(guī)律？

二、猜想

基于對(duì)最前面三個(gè)例題中函數(shù)增量的特點(diǎn)觀察，提出猜想：對(duì)于可微函數(shù)，A恰好都等于函數(shù)在該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)不是偶然現(xiàn)象，而是普遍規(guī)律。即：若函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x可微，則函數(shù)增量Δy=AΔx+ο（Δx）中的A恰好等于f′（x）。同時(shí)提出問題：如果是普遍規(guī)律，是不是意味著可微一定可導(dǎo)？再提出問題：可導(dǎo)是否一定可微？

三、驗(yàn)證猜想

引導(dǎo)學(xué)生觀察，可微則：Δy=AΔx+ο（Δx），只要給等式兩邊同除以Δx，再取極限，即可證明f′（x）=A。若函數(shù)在點(diǎn)x處可導(dǎo)，則的極限值存在，不妨將該極限值記作A，即f′（x）==A，則根據(jù)函數(shù)極限與無窮小的定理有：=A+α，其中α→0，（當(dāng)Δx→0）。由此又有Δy=AΔx+αΔx，而αΔx=ο（Δx），因此可導(dǎo)一定可微。至此，微分相關(guān)定理的提出水到渠成：函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x可微的充分必要條件是函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x處可導(dǎo)，且A=f′（x），即df（x）=f′（x）Δx。

這樣就在教師不斷的問題引導(dǎo)下，通過學(xué)生的觀察、探索，還原了“微分定義及相關(guān)定理”的創(chuàng)建過程。讓學(xué)生在學(xué)到知識(shí)的同時(shí)，也獲得了巨大的樂趣，減少了學(xué)生對(duì)高等數(shù)學(xué)的畏難心理，激發(fā)了學(xué)習(xí)興趣，同時(shí)也培養(yǎng)了學(xué)生的創(chuàng)造性思維能力，為他們將來在其他學(xué)科的學(xué)習(xí)和創(chuàng)新，提供了思想方法。

最后要強(qiáng)調(diào)的一點(diǎn)：盡管引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)法是高等數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)創(chuàng)新型人才的一種非常有效的方法，但是并非所有的教學(xué)內(nèi)容都適合運(yùn)用該方法。作為教師必須非常熟悉教學(xué)內(nèi)容，因此有必要多了解、參考國內(nèi)外優(yōu)秀教材的編寫方法和特點(diǎn)，選擇適合學(xué)生再發(fā)現(xiàn)活動(dòng)的定義或定理，并給予恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)設(shè)計(jì)，才能在教學(xué)過程中更好地重復(fù)前人的發(fā)現(xiàn)過程，同時(shí)最大限度地彌補(bǔ)該方法耗費(fèi)時(shí)間的缺陷。

參考文獻(xiàn)：

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The Application of Guiding Discovery Method in the Teaching of "Definition of Differentiation"

WEI Gang，LIU Ying-zhou，TUO Wen-li，YANG Xiao-feng，LI Zhen

（College of Science，Northwest A&F University，Yangling，Shaanxi 712100，China）

Abstract：Guiding discovery is a basic teaching method to cultivate students' innovative thinking ability.This method restores the process of knowledge discovery and enables students to acquire knowledge in the process of exploration.Advanced mathematics （or calculus） is an important basic course for students of science，engineering and agriculture.It can not only increase? enthusiasm and initiative of students to learn mathematics，improve teaching effect，but also cultivate? problem consciousness and innovative thinking ability of students.Combined with my own teaching practice，this paper conducts the guided discovery teaching on the part of "differential of unitary function".

Key words：guided discovery;advanced mathematics;differential;derivative

收稿日期：2019-05-22

基金項(xiàng)目：本文受西北農(nóng)林科技大學(xué)教學(xué)改革項(xiàng)目的資助（JY1703124）

作者簡(jiǎn)介：位剛（1980-），男（漢族），陜西興平人，碩士，講師，研究方向：應(yīng)用數(shù)學(xué)。