董福民，寧曉駿，熊云睿，周興林

(昆明理工大學(xué) 建筑工程學(xué)院，云南 昆明 650500)

懸索橋是利用主纜和吊索作為加勁梁并將荷載傳遞至橋塔和錨定的懸掛體系。對(duì)于地錨式懸索橋，錨定有隧道錨和重力錨之分，其主纜端部均錨固在大地上，主纜拉力由錨定傳遞給地基。因此，在兩邊橋臺(tái)處，修筑大型鋼筋混凝土錨體結(jié)構(gòu)。加勁梁懸索橋在豎向荷載和水平荷載的共同作用下的結(jié)構(gòu)體系屬于超靜定結(jié)構(gòu)。主纜是懸索橋的主要承重結(jié)構(gòu)，且屬于大變形柔性構(gòu)件。在結(jié)構(gòu)分析中，對(duì)主纜計(jì)算的精細(xì)化直接關(guān)系到懸索橋的計(jì)算精度。確定成橋階段主纜線形和無(wú)應(yīng)力索長(zhǎng)是計(jì)算分析和設(shè)計(jì)的關(guān)鍵，對(duì)后期的施工控制意義重大[1-4]。作者擬針對(duì)懸索橋受力的幾何非線性特點(diǎn)，分別采用拋物線法、分段懸鏈線法及節(jié)線法，對(duì)地錨式懸索橋的主纜線形和主纜坐標(biāo)進(jìn)行計(jì)算，分析節(jié)線法在設(shè)計(jì)和施工過(guò)程中的優(yōu)勢(shì)。

成橋狀態(tài)的計(jì)算是根據(jù)懸索橋布置形成的縱斷面線形來(lái)確定主纜的幾何線形的。依次分析構(gòu)件在成橋狀態(tài)的受力情況、結(jié)構(gòu)形狀，求解主纜坐標(biāo)和無(wú)應(yīng)力索長(zhǎng)度。在成橋狀態(tài)的近似計(jì)算中，假定[5]：①主纜為理想柔性索，只承受拉力，不計(jì)其彎曲剛度，不承受扭矩和壓力；②纜索材料符合胡克定律；③索橫截面在荷載作用下不發(fā)生變化。

以中跨為例，計(jì)算和分析懸索橋的成橋狀態(tài)。

懸索橋的主纜力學(xué)簡(jiǎn)化模型如圖1所示。取微小單元 dx，由主纜平衡條件得單邊懸索的基本方程：

式中：H為主纜水平力分量；q為均布荷載集度。

圖1 主纜力學(xué)簡(jiǎn)化模型Fig. 1 Simplified model of main cable mechanics

若荷載沿水平方向均勻分布或荷載沿主纜長(zhǎng)度均勻分布，則式(1)有拋物線和懸鏈線2種線形解。

鑒于懸索橋纜形計(jì)算的復(fù)雜性，采用有限元法進(jìn)行分析。節(jié)線法是一種基于有限元法分析懸索橋的數(shù)值迭代法。在滿足跨中垂度和跨徑條件下，懸索橋加勁梁在自重作用下會(huì)產(chǎn)生變形，達(dá)到初始平衡狀態(tài)，求出主纜的張力和坐標(biāo)，稱其為初始平衡狀態(tài)分析。懸索橋加勁梁在加載二期荷載后會(huì)產(chǎn)生再次變形，達(dá)到平衡狀態(tài)。以初始平衡狀態(tài)為基礎(chǔ)，進(jìn)行多次迭代，計(jì)算出成橋線形，叫做懸索橋精確平衡狀態(tài)分析。這2個(gè)階段均以節(jié)線法為理論基礎(chǔ)進(jìn)行分析[6-10]。

1 計(jì)算方法

1.1 拋物線法

拋物線法即假定橋面荷載 qa和主纜自重 qb沿

1.1.1 主纜線形解

成橋主纜線形解為：

中跨主纜為：

邊跨主纜為：

式中：l為中跨跨徑；l1為邊跨跨徑；f為中跨矢高；f1為邊跨矢高；h為主纜上任一點(diǎn)至主塔的垂直高度；m1和m2為常數(shù)。

圖2 拋物線法主纜受力Fig. 2 Main cable force diagram of the parabolic method

1.1.2 無(wú)應(yīng)力索長(zhǎng)計(jì)算

在圖1中，取一微段dx，該過(guò)程的推導(dǎo)參見(jiàn)文獻(xiàn)[8]。

成橋狀態(tài)懸索長(zhǎng)度為：

式中：L為邊跨或中跨跨徑；C為主纜端部到塔頂?shù)木嚯x。

主纜伸長(zhǎng)量為：

式中：E為主纜彈性模量；A為主纜橫截面積。

無(wú)應(yīng)力索長(zhǎng)為：

1.2 分段懸鏈線法

分段懸鏈線法主纜受力如圖3所示。均布荷載q沿主纜分布，可以等效轉(zhuǎn)化為沿跨度方向均勻分布的荷載qy。那么，可得平衡微分方程為：

通過(guò)求解式(8)的通解，得：

式中：c1,c2均為常數(shù)。

圖3 分段懸鏈線法主纜受力Fig. 3 Main cable force diagram of the segmental catenary method

在圖2中，中跨主纜邊界條件為： 0x= , 0y= ；x l=, 0y= 。

將邊界條件代入式(9)，則跨中主纜線形解析式為：式中：l為中跨跨徑。

同理可得，邊跨的邊界條件為： x = 0 , y = 0 ；為邊跨主纜最低點(diǎn)至塔頂?shù)拇怪本嚯x)。

將邊界條件代入式(10)，則邊跨主纜線形解析式為：

分段懸鏈線法主纜線形的特解和無(wú)應(yīng)力索長(zhǎng)度的求解過(guò)程與拋物線方法一致，對(duì)分段懸鏈線法解析式和無(wú)應(yīng)力索長(zhǎng)度的求解參見(jiàn)文獻(xiàn)[9]。

1.3 有限元節(jié)線法

采用有限元軟件 Midas/Civil 2019，運(yùn)用節(jié)線法，對(duì)懸索橋進(jìn)行了主纜線形的分析求解。該方法采用日本Ohtsuki的計(jì)算平衡狀態(tài)方程式，利用橋梁自重和主纜的張力，建立平衡方程來(lái)計(jì)算主纜的坐標(biāo)和主纜的張力，分析懸索橋纜形[11-12]。該方法假定：①吊桿在橫橋向傾斜，并垂直于順橋向；②主纜張力沿著順橋向是相同的；③主纜與吊桿的連接點(diǎn)間索形狀呈直線，并非拋物線；④主纜兩端坐標(biāo)、跨中垂度、吊桿在加勁梁上的吊點(diǎn)位置及加勁梁的恒荷載已知。

主纜的張力分布如圖4所示。

圖4 主纜張力示意Fig. 4 Schematic diagram of main cable tension

1.3.1 豎平面內(nèi)的平衡分析

將圖4中的主纜張力分布圖投影在x-z平面上，分析力的平衡。

假設(shè)由N-1根吊桿將主纜分成N段，取其中一點(diǎn)進(jìn)行受力分析，如圖5所示。

圖5 x-z平面內(nèi)主纜的受力平衡Fig. 5 Stress balance of main cable in plane x-z

在圖 5中，Wsi為吊桿和加勁梁荷載平均到主纜的均布荷載，Wci為主纜的均布自重，在基本假定的前提下，根據(jù)力的平衡條件，其平衡方程為：

式中：Ti為節(jié)點(diǎn) i-1與節(jié)點(diǎn) i之間的單元張力；xi為主纜節(jié)點(diǎn)i在x方向的距離；di為xi-1到xi的水平距離；Tx為主纜張力水平分量；i=1,2,…,N-1。

計(jì)算中假定 Tx在主纜的每一個(gè)單元都是恒定不變的。

在x-z平面的平衡關(guān)系如圖6所示，其平衡方程為：

圖6 x-y平面內(nèi)主纜的受力平衡Fig. 6 Stress balance of main cable in plane x-z

式中：pi為第i點(diǎn)吊桿張力；hi為吊桿長(zhǎng)度。

聯(lián)立式(12)和(13)，可得：

在式(14)中，未知數(shù)為zi和Tx，共有N個(gè)未知數(shù)，N-1個(gè)方程，故還需一個(gè)條件才能求解方程組。由跨中垂度與跨中、兩端吊桿的Z坐標(biāo)關(guān)系得：

1.3.2 水平面上的平衡分析

水平面上的平衡分析與豎直平面的計(jì)算方法一樣，也可得到N-1個(gè)平衡方程：

在式(16)中，y0和 yn為已知的量，yi由平衡方程可求出。

用節(jié)線法分析了懸索橋初始平衡狀態(tài)，通過(guò)該方法求解出的初始主纜的坐標(biāo)和張力只是初始平衡的近似計(jì)算，第一次計(jì)算出的初始線形與主纜的最終線形誤差較大，因此，還需要以初始的線形為基礎(chǔ)進(jìn)行精確平衡分析，經(jīng)多次迭代計(jì)算出結(jié)果(迭代次數(shù)越多，對(duì)懸鏈線的索單元分析越精確)，并確定成橋線形。

2 工程算例

某橋?yàn)橐豢绲劐^式玻璃懸索人行橋，其立面布置如圖7所示。該橋的參數(shù)為：全跨194 m，吊桿間距(4+62×3+4) m，加勁梁自重3.552 kN/m，主纜的單位長(zhǎng)度重1.223 kN/m，吊桿的單位長(zhǎng)度重0.025 kN/m，垂度16.167 m。

2.1 由拋物線法和懸鏈線法計(jì)算主纜坐標(biāo)

采用Matlab軟件，由拋物線法和分段懸鏈線法計(jì)算主纜坐標(biāo)。對(duì) Matlab軟件進(jìn)行了編制詳細(xì)程序。以各種荷載、吊桿間距和跨中垂度等作為已知量，輸入各種初始參數(shù)。以主纜成橋坐標(biāo)和空纜坐標(biāo)作為未知量進(jìn)行數(shù)值迭代，計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表1。

設(shè)主纜水平力為 H1；豎直力為 V1。計(jì)算流程為：輸入懸索橋初始參數(shù)→假定H1和V1的初值→程序計(jì)算→求解H1和V1→判定是否滿足收斂條件→滿足→返回H1和V1→由H1和V1計(jì)算各索段的吊索坐標(biāo)→輸出結(jié)果。如果判定不滿足收斂條件，則對(duì) H1和 V1進(jìn)行修正后，返回第一步進(jìn)行重新計(jì)算。

表1 主纜線形坐標(biāo)Table 1 Final line shape of the main cable coordinates

2.2 由節(jié)線法計(jì)算主纜坐標(biāo)

在用節(jié)點(diǎn)法計(jì)算地錨式懸索橋的形狀時(shí)，把加勁梁上的均布荷載看成加載在吊桿下端的集中荷載，如圖8(a)所示。經(jīng)計(jì)算得：3 m段跨中集中荷載為5.538 kN；4 m段跨中集中荷載為5.644 kN。

計(jì)算水平張力Tx時(shí)，地錨式懸索橋的受力可簡(jiǎn)化為一根簡(jiǎn)支梁，如圖8(b)所示。A點(diǎn)的支反力為168.148 kN；垂點(diǎn)C處的彎矩MC為8 352.904 kN·m。

利用水平張力和主塔反力就可以計(jì)算出第一根吊桿和主纜連接的節(jié)點(diǎn)左邊的h1。設(shè)塔頂節(jié)點(diǎn)豎向力為RA，主塔節(jié)點(diǎn)受力如圖8(c)所示。

主塔旁第一根吊桿上端節(jié)點(diǎn)z坐標(biāo)為17.35。

圖8 荷載布置Fig. 8 Load layout diagram

第二根吊桿上端節(jié)點(diǎn)的Z坐標(biāo)是通過(guò)第一根吊桿上端節(jié)點(diǎn)的平衡條件來(lái)計(jì)算的。第二節(jié)點(diǎn)受力如圖8(d)所示。同理，可以計(jì)算出所有主纜與吊桿相交節(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)。由計(jì)算出的主纜與吊桿相交節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)和吊桿與加勁梁的交點(diǎn)坐標(biāo)就可以得到吊桿長(zhǎng)度，相應(yīng)的節(jié)點(diǎn)與節(jié)點(diǎn)之間的主纜長(zhǎng)度也可通過(guò)主纜節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)得出來(lái)，進(jìn)而計(jì)算出吊桿的自重，重新求得一個(gè)吊桿的單位自重。將吊桿的單位自重進(jìn)行反復(fù)的迭代，最終求出收斂的主纜坐標(biāo)。采用Midas/Civil 2019進(jìn)行迭代求解，通常設(shè)定迭代的計(jì)算范數(shù)值小于0.01，則認(rèn)定結(jié)果收斂。

在節(jié)線法計(jì)算主纜線形的過(guò)程中，模型的初始平衡狀態(tài)并非精確平衡，仍會(huì)產(chǎn)生小位移和不平衡力，需要后期進(jìn)行邊界條件調(diào)整、索鞍模擬來(lái)消除，直到位移接近于0 m。只有進(jìn)行反復(fù)迭代和精確平衡狀態(tài)分析，主纜線形才會(huì)與工程實(shí)際接近。

采用Midas/Civil 2019建立的模型如圖9所示。主纜共65個(gè)節(jié)點(diǎn)，64個(gè)單元。先將該模型做初始平衡狀態(tài)分析。在確定垂點(diǎn)組和節(jié)點(diǎn)組后，進(jìn)行精確平衡狀態(tài)分析，建立一次成橋施工階段分析驗(yàn)證平衡，得出成橋線形。最后，定義倒拆施工階段，進(jìn)行倒拆工序，求空纜線形。當(dāng)?shù)螖?shù)為5次時(shí)，成橋狀態(tài)和空纜狀態(tài)的部分坐標(biāo)見(jiàn)表 2。本算例中坐標(biāo)原點(diǎn)位于主塔與加勁梁的交點(diǎn)處，成橋狀態(tài)主纜線形如圖10所示，本橋吊桿豎直，Z坐標(biāo)即為吊桿的長(zhǎng)度。

圖9 懸索橋計(jì)算模型Fig. 9 The calculation model of suspension bridge

表2 主纜線形坐標(biāo)Table 2 Final line shape of the main cable coordinate

圖10 主纜最終線形Fig. 10 Final line shape of the main cable

3 結(jié)果分析

將利用3種方法計(jì)算出的成橋狀態(tài)主纜坐標(biāo)進(jìn)行了比較，它們的節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)相差不大。節(jié)線法與拋物線法相比較，最大相對(duì)誤差為0.47%，最小相對(duì)誤差位0.28%。分段懸鏈線理論的假定符合懸索橋?qū)嶋H情況[13-14]，可以解決吊桿拉力已知、加勁梁逐段銜接施工的問(wèn)題，還可忽略主塔變位對(duì)主纜線形影響的主纜系統(tǒng)受力與線形計(jì)算的問(wèn)題[15]。本研究采用分段懸鏈線方法對(duì)節(jié)線法進(jìn)行了校驗(yàn)，使用基于節(jié)線法的Midas/Civil 2019軟件，經(jīng)過(guò)循環(huán)數(shù)值迭代，計(jì)算出的主纜坐標(biāo)與用分段懸鏈線方法的結(jié)果相吻合。2種方法的成橋和空纜坐標(biāo)相對(duì)誤差在0.1%以內(nèi)，那么計(jì)算出的有應(yīng)力索長(zhǎng)度和無(wú)應(yīng)力索長(zhǎng)度誤差不會(huì)很大，而用拋物線法的誤差最大，在文獻(xiàn)[16]中也得到證明。

用節(jié)線法對(duì)地錨式懸索橋主纜線形進(jìn)行非線性分析較準(zhǔn)確，但也可能出現(xiàn)不收斂情況。這時(shí)，需要仔細(xì)檢查邊界條件和荷載，并分析控制數(shù)據(jù)等。

4 結(jié)論

傳統(tǒng)拋物線方法計(jì)算過(guò)于粗略，對(duì)于大跨度的懸索橋分析并不適用。分段懸鏈線理論對(duì)于主纜的找形和主纜受力分析較為精確，同時(shí)也符合施工實(shí)際情況。但是，分段懸鏈線法計(jì)算復(fù)雜，在分析方法中較少采用。本研究以分段懸鏈線法對(duì)節(jié)線法進(jìn)行了校驗(yàn)。

在主纜兩端主塔頂?shù)淖鴺?biāo)、垂度、吊桿在加勁梁的連接節(jié)點(diǎn)位置及加勁梁上的荷載均為已知，在主纜張力的水平分量恒定不變的情況下，采用節(jié)點(diǎn)法計(jì)算主纜線形相對(duì)較為方便。采用 Midas/Civil 2019，基于節(jié)線法，對(duì)地錨式懸索橋進(jìn)行了分析，得出的結(jié)論為：

1) 通過(guò)加勁梁、吊桿和主纜自重的平衡關(guān)系，用節(jié)線法確定主纜水平張力和主塔的反力，從而求得主纜節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)，確定主纜線形。

2) 將初始平衡求得的主纜線形坐標(biāo)進(jìn)行反復(fù)迭代，可計(jì)算出收斂的新坐標(biāo)。迭代次數(shù)越多，坐標(biāo)精度越高。迭代次數(shù)為5次時(shí)的計(jì)算精度與分段懸鏈線法一致，兩者計(jì)算相對(duì)誤差僅在0.1%以內(nèi)。表明該方法準(zhǔn)確。

3) 在采用Midas/Civil 2019計(jì)算初始平衡狀態(tài)位移時(shí)，若出現(xiàn)有不為0 m的情況，必須調(diào)節(jié)模型的邊界條件。對(duì)塔頂索鞍進(jìn)行模擬，直至位移接近于 0 m時(shí)，該模型才真正處于平衡，計(jì)算結(jié)果才準(zhǔn)確。

4) 初始平衡狀態(tài)分析和精確平衡狀態(tài)分析 2階段都是用節(jié)線法計(jì)算的。使用該方法是成橋階段和施工階段做倒拆分析的前提，且能提高運(yùn)營(yíng)階段的線性和非線性分析的工作效率。

確定地錨式懸索橋主纜線形的方法有多種，節(jié)線法是快速計(jì)算主纜方法之一，現(xiàn)已在工程實(shí)例中得到驗(yàn)證，該方法的使用對(duì)懸索體系橋梁的設(shè)計(jì)和施工具有一定的指導(dǎo)意義。