黃江平，程紹榕

（華東交通大學(xué)電氣與自動(dòng)化工程學(xué)院，江西 南昌330013）

目前列車站間運(yùn)行主要由4 種狀態(tài)組成：牽引、惰行、巡航和制動(dòng)；因此，列車運(yùn)行的節(jié)能優(yōu)化問(wèn)題，也通常被視為工況轉(zhuǎn)換點(diǎn)的求解問(wèn)題，盡可能在運(yùn)行規(guī)定時(shí)間內(nèi)減少牽引工況的能耗，逐漸成為軌道交通領(lǐng)域的主要研究方向。文獻(xiàn)[1]利用懲罰函數(shù)的方法提出了無(wú)約束的節(jié)能駕駛模型，但是算法收斂時(shí)間較長(zhǎng)，優(yōu)化效果不是很明顯。 文獻(xiàn)[2]在懲罰函數(shù)的基礎(chǔ)上，利用粒子群算法代替遺傳算法進(jìn)行優(yōu)化，調(diào)試參數(shù)少，收斂速度有了明顯的提升，但是由于粒子群算法本身容易陷入局部最優(yōu)，優(yōu)化效果提升的不明顯。文獻(xiàn)[3]在列車運(yùn)動(dòng)方程的基礎(chǔ)上，建立了列車牽引能耗的數(shù)學(xué)模型，構(gòu)建了列車工況和總效率之間的徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。文獻(xiàn)[4]根據(jù)列車的運(yùn)動(dòng)情況和牽引特性曲線，采用遺傳算法優(yōu)化列車動(dòng)車運(yùn)行的惰行控制點(diǎn)來(lái)達(dá)到降低能耗的目的。 列車運(yùn)行作為一個(gè)非線性，多拘束問(wèn)題，智能優(yōu)化算法在處理此類問(wèn)題上具有明顯優(yōu)勢(shì)。 目前應(yīng)用主要的智能優(yōu)化算法有粒子群算法和遺傳算法兩大類，而文獻(xiàn)[2]采用標(biāo)準(zhǔn)粒子群算法求取列車工況轉(zhuǎn)換點(diǎn)，可能導(dǎo)致尋優(yōu)陷入局部最優(yōu)解和收斂速度慢的問(wèn)題。

為解決上述問(wèn)題，采用自適應(yīng)慣性權(quán)重，動(dòng)態(tài)學(xué)習(xí)因子，同時(shí)優(yōu)化速度更新公式的方法來(lái)求解列車工況轉(zhuǎn)換點(diǎn)，通過(guò)改變慣性權(quán)重，平衡不同階段的搜索能力，同時(shí)加入可以自調(diào)整的學(xué)習(xí)因子，加強(qiáng)后期的運(yùn)算效率和搜索能力，速度更新公式通過(guò)加入一項(xiàng)“參考項(xiàng)”，而“參考項(xiàng)”的參數(shù)由輪盤賭選擇，從而避免不理想的粒子影響尋優(yōu)結(jié)果，有利于跳出局部最優(yōu)解。

1 列車控制優(yōu)化問(wèn)題的分析和建模

通常情況下，列車站間運(yùn)行過(guò)程要按照規(guī)定的運(yùn)行時(shí)刻表運(yùn)行， 運(yùn)行時(shí)間和距離是固定的，由4 種工況組成：牽引，巡航，惰行，制動(dòng)[5]。 不同情況下，發(fā)動(dòng)機(jī)的耗能情況如表1 所示。

由上可知，要使列車實(shí)現(xiàn)能耗最少的目標(biāo)，盡可能的縮短牽引過(guò)程和巡航過(guò)程的能耗，但是存在規(guī)定時(shí)間，同時(shí)列車運(yùn)行存在最高速度和最大加速度等限制，所以列車行駛的實(shí)際問(wèn)題，轉(zhuǎn)換為初始狀態(tài)和終止?fàn)顟B(tài)已知，在規(guī)定時(shí)間和速度限制范圍內(nèi)，求取不同工況下最優(yōu)工況轉(zhuǎn)換點(diǎn)的問(wèn)題。

表1 列車不同工況的能耗Tab.1 Energy consumption under different operation modes for trains

列車運(yùn)行過(guò)程中，通過(guò)牛頓第二定律，得出運(yùn)動(dòng)學(xué)方程為

式中：v 為當(dāng)前速度；a 為當(dāng)前加速度；F（v）為當(dāng)前時(shí)刻列車速度所對(duì)應(yīng)的牽引力；B（v）為當(dāng)前時(shí)刻列車速度所對(duì)應(yīng)的制動(dòng)力；W0（v）為基本阻力；G（x）為坡度；M 為列車的總質(zhì)量。

列車牽引力和制動(dòng)力之間存在以下關(guān)系：

式中：μf為牽引力系數(shù)；μb為制動(dòng)力系數(shù)。

另外，當(dāng)列車在站間運(yùn)行時(shí)，若運(yùn)行總路程為S，運(yùn)行總時(shí)間為T。 則有

式中：v（0）為列車運(yùn)行初速度；v（S）為列車運(yùn)行末速度；t（0）為列車發(fā)車時(shí)刻；t（S）為列車到達(dá)終點(diǎn)時(shí)刻。而列車在運(yùn)行過(guò)程中，同時(shí)還要考慮乘客的舒適度和工況轉(zhuǎn)換方面的拘束問(wèn)題，故有

式中：alimit表示乘客可以接受的最大加（減）速度。

同時(shí)列車4 種工況間滿足一定的轉(zhuǎn)換規(guī)則，如表2 所示。

“Y”表示可以直接轉(zhuǎn)換，“N”表示禁止轉(zhuǎn)換。

由于惰行階段和制動(dòng)階段發(fā)動(dòng)機(jī)是不耗能的[6]，所以主要在運(yùn)行過(guò)程中對(duì)牽引階段和巡航階段的發(fā)動(dòng)機(jī)能耗進(jìn)行分析。 同時(shí)，站間運(yùn)行按照“牽引-巡航-惰行-制動(dòng)”的策略進(jìn)行運(yùn)行[7]。由于牽引力F 和速度v 的關(guān)系是根據(jù)列車特性曲線得出，并不可導(dǎo)，在這里，采用離散化的思想，將列車運(yùn)行區(qū)間等距劃分為n（n=10）個(gè)區(qū)間，對(duì)動(dòng)力學(xué)模型進(jìn)行差分計(jì)算，取時(shí)間步長(zhǎng)Δt=1，設(shè)定4 種不同工況下每個(gè)時(shí)間步長(zhǎng)Δt 對(duì)應(yīng)的加速度分別為ai，ai′，ai″，ai?。 為了計(jì)算方便，采用延遲的思想，每一個(gè)時(shí)間步長(zhǎng)Δt 內(nèi)加速度恒定，且在4 種不同工況的情況下，第i 個(gè)時(shí)間步長(zhǎng)對(duì)應(yīng)的速度分別為vi，vi′，vi″，vi?，對(duì)應(yīng)合力分別為c1，c2，c3，c4；對(duì)應(yīng)的位移分別為si，si′，si″，si?。

根據(jù)牛頓第二定律，列車在牽引過(guò)程中單位時(shí)間步長(zhǎng)對(duì)應(yīng)的加速度ai計(jì)算公式如下：

表2 工況轉(zhuǎn)換拘束Tab.2 Constraints of operation mode transition

式中：f（v）為某一運(yùn)行速度下列車的牽引力；f0（v）為單位基本阻力；fw為因線路產(chǎn)生的附加阻力之和。

牽引過(guò)程中，速度與距離存在以下關(guān)系：

當(dāng)列車牽引到目標(biāo)速度時(shí)，進(jìn)入巡航模式，巡航模式下，速度恒定，加速度為0，在巡航過(guò)程中單位時(shí)間

步長(zhǎng)對(duì)應(yīng)的加速度ai′計(jì)算公式如下：

巡航過(guò)程中，速度距離關(guān)系為

惰行工況下，無(wú)牽引力產(chǎn)生，單位時(shí)間步長(zhǎng)對(duì)應(yīng)的加速度ai″計(jì)算公式如下：

惰行過(guò)程中，速度距離關(guān)系為

惰行到某一時(shí)刻時(shí)，列車進(jìn)入制動(dòng)狀態(tài)，發(fā)動(dòng)機(jī)仍然不做功，列車在受到阻力的基礎(chǔ)上增加了制動(dòng)力，其單位時(shí)間步長(zhǎng)對(duì)應(yīng)的加速度ai?如下：

其中，fb表示列車的制動(dòng)力。 此時(shí)列車速度與距離的關(guān)系為

根據(jù)上述關(guān)系式，我們可以確定列車4 種工況下，速度、時(shí)間、運(yùn)行距離的關(guān)系。區(qū)間總路程為S，區(qū)間運(yùn)行總時(shí)間為T，牽引、巡航、惰行、制動(dòng)各自對(duì)應(yīng)的運(yùn)行距離為s1，s2，s3，s4。4 種工況對(duì)應(yīng)運(yùn)行時(shí)間為t1，t2，t3，t4，在拘束條件內(nèi)，存在：

固定站間運(yùn)行總時(shí)間不變，由于發(fā)動(dòng)機(jī)在惰行過(guò)程和制動(dòng)過(guò)程中不做功，只需要計(jì)算牽引與巡航過(guò)程所做的功，尋找牽引與巡航能耗最小的工況轉(zhuǎn)換點(diǎn)。 又因?yàn)闋恳ψ龉綖?/p>

得到在第i 個(gè)時(shí)間步長(zhǎng)內(nèi)Δt 所對(duì)應(yīng)的牽引力f（vi）所做的功ΔEi為

將列車運(yùn)行過(guò)程中每一個(gè)時(shí)間步長(zhǎng)的牽引能耗進(jìn)行累加，得到發(fā)動(dòng)機(jī)能耗公式如下：

由此可確定列車運(yùn)行能耗運(yùn)行模型為

2 改進(jìn)粒子群算法

2.1 粒子群算法概述

粒子群算法依靠不同粒子的相互作用尋找相關(guān)問(wèn)題在整個(gè)尋優(yōu)空間中的優(yōu)位置，即問(wèn)題的優(yōu)解。 在粒子群算法中，每個(gè)待解決的優(yōu)化問(wèn)題可能解都被視為搜索空間中存在的一個(gè)粒子。 粒子群中的所有粒子都被賦予一個(gè)由被優(yōu)化的函數(shù)確定的適應(yīng)度值(fitness value)，每個(gè)粒子具有2 個(gè)屬性，即速度與位置。 在算法運(yùn)行過(guò)程中，所有粒子趨向當(dāng)前時(shí)刻的最優(yōu)粒子的位置，并試圖在可能空間中搜索全局優(yōu)解。

假設(shè)在一個(gè)N 維空間進(jìn)行搜索，粒子i 的信息可用2 個(gè)N 維向量來(lái)表示：第i 個(gè)粒子的位置可表示為xi=（xi1，xi2，…，xin）T，速度為vi=（vi1，vi2，…，vin）T。在找到2 個(gè)最優(yōu)解后，粒子即可根據(jù)式（18）來(lái)更新自己的速度和位置：

式中：c1，c2為學(xué)習(xí)因子， 合適的c1，c2既可以加快收斂速度， 又可以使結(jié)果不易陷入局部最優(yōu)；r1，r2是介于［0，1］之間的隨機(jī)數(shù)；k 為迭代次數(shù)；ω 稱之為慣性權(quán)重，它是一個(gè)比例因子，較大的ω 可以加強(qiáng)PSO 的全局搜索能力，而較小的ω 則可以加強(qiáng)局部搜索能力，也就是說(shuō)ω 執(zhí)行了全局搜索和局部搜索的平衡角色。

2.2 自適應(yīng)慣性權(quán)重

在標(biāo)準(zhǔn)的粒子群算法中，使用最多的是線性慣性權(quán)重的方法，其特性為初期慣性權(quán)重大，有利于進(jìn)行全局搜索，后期慣性權(quán)重小，有利于局部尋優(yōu)。 它的關(guān)系式如下：

式中：k 為當(dāng)前迭代次數(shù)；ωmax為最大慣性權(quán)重；ωmin為最小慣性權(quán)重；Tmax為最大迭代次數(shù)。

但是在非線性問(wèn)題的處理上，PSO 算法尋優(yōu)過(guò)程十分復(fù)雜，同時(shí)存在非線性的情況，單純依靠線性權(quán)重?zé)o法做到有效的調(diào)節(jié)，仍然難以避免陷入局部最優(yōu)的情況，由此，在文獻(xiàn)[8]的基礎(chǔ)上加以改進(jìn)，設(shè)計(jì)了一種自適應(yīng)慣性權(quán)重，其組合表達(dá)式如式（20）～（22）所示：

2.3 動(dòng)態(tài)調(diào)整學(xué)習(xí)因子

學(xué)習(xí)因子c1，c2分別決定了粒子個(gè)體經(jīng)驗(yàn)和群體經(jīng)驗(yàn)對(duì)粒子運(yùn)行軌跡的影響，通常情況下c1＝c2且為固定值，但是隨著深入研究發(fā)現(xiàn)，學(xué)習(xí)因子的取值也可以類似慣性權(quán)重發(fā)生動(dòng)態(tài)變化，根據(jù)PSO 算法在迭代初期注重廣泛搜索,迭代后期注重快速收斂的特性。 在想要同時(shí)保證粒子多樣性和收斂性的情況下，采用動(dòng)態(tài)調(diào)整學(xué)習(xí)因子，根據(jù)文獻(xiàn)[9]的分析，c1，c2同時(shí)調(diào)整效果優(yōu)于單項(xiàng)系數(shù)調(diào)整，在搜索的前階段，c1取較大值，c2取較小值，側(cè)重于pid，增加粒子的全局搜索能力，后期則相反，側(cè)重于gid，增強(qiáng)粒子的局部搜索能力，將加速系數(shù)表示為

式中：t 為當(dāng)前迭代次數(shù)；Tmax為最大迭代次數(shù)。

2.4 速度公式的改進(jìn)

通常的速度更新公式，每個(gè)粒子只通過(guò)自身最優(yōu)位置和群體最優(yōu)位置進(jìn)行速度更新，如果粒子本身選擇位置不理想，則會(huì)影響到尋優(yōu)結(jié)果，根據(jù)社會(huì)學(xué)家Wilson 的理論，群體中的個(gè)體都能從其他個(gè)體的經(jīng)驗(yàn)中受益，其他粒子的最優(yōu)位置信息同樣可以起到幫助作用，在文獻(xiàn)[10]的基礎(chǔ)上，在原有速度公式上添加一項(xiàng)，而Pa是通過(guò)輪盤賭選出的所有粒子的歷史最優(yōu)位置，速度公式變更如下：

其中c3r3取c1r1和c2r2中較小值的0.3 倍，通過(guò)這種改動(dòng)，降低了因?yàn)檫x取到位置不好的粒子而影響尋優(yōu)結(jié)果的概率。

3 算例仿真部分

3.1 適應(yīng)度函數(shù)的確定

在列車節(jié)能控制問(wèn)題中，存在多個(gè)拘束條件，這里采用簡(jiǎn)單的懲罰函數(shù)機(jī)制，將多個(gè)拘束條件轉(zhuǎn)化為懲罰因子，從而將有拘束問(wèn)題轉(zhuǎn)化為無(wú)拘束問(wèn)題，根據(jù)提到的拘束條件，共有：末速度為0，最大加速度限制，運(yùn)行時(shí)間限制，最大速度限制以及運(yùn)行距離限制。 通過(guò)設(shè)置4 個(gè)懲罰因子α，β，γ，λ，將目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)換為

由于目標(biāo)函數(shù)需要盡可能的取小，所以適應(yīng)度函數(shù)設(shè)置為目標(biāo)函數(shù)的倒數(shù)：

3.2 算法流程

1） 初始化粒子的位置和速度，根據(jù)適應(yīng)度函數(shù)計(jì)算各個(gè)粒子的適應(yīng)度，同時(shí)獲得粒子的個(gè)體最優(yōu)位置和群體最優(yōu)位置。

2） 根據(jù)式（21）計(jì)算粒子與群體最優(yōu)粒子之間的距離，同時(shí)根據(jù)式（20）更新下次迭代各粒子的慣性權(quán)重。

3） 按照新的速度更新公式（24）與動(dòng)態(tài)學(xué)習(xí)因子公式（23）更新粒子的學(xué)習(xí)因子，速度和位置，再次計(jì)算適應(yīng)度值。

4） 若當(dāng)前粒子的適應(yīng)度值比歷史最優(yōu)值好則取代歷史最優(yōu)值。

5） 判斷是否滿足迭代終止條件，是則輸出結(jié)果，不是則返回第2 步。

3.3 仿真分析

針對(duì)標(biāo)準(zhǔn)粒子群算法和改進(jìn)粒子群算法進(jìn)行對(duì)比， 選取廣州地鐵8 號(hào)線中一部分區(qū)段進(jìn)行仿真模擬。運(yùn)行策略采用“牽引-巡航-惰行-制動(dòng)”的方式。 列車參數(shù)和線路參數(shù)如表（3）～（5）所示。

其中站間距離為1 471 m，列車的區(qū)間限速為80 km/h，列車最大加速度不得超過(guò)0.8 m/s，按照“牽引-巡航-惰行-制動(dòng)”的策略運(yùn)行，粒子群規(guī)模取N=50，迭代次數(shù)為200 次，學(xué)習(xí)因子根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)粒子群算法與改進(jìn)粒子群算法的不同，標(biāo)準(zhǔn)粒子群算法取固定值c1=c2=2，改進(jìn)型粒子群算法采用動(dòng)態(tài)學(xué)習(xí)因子，同時(shí)設(shè)置ωmax=0.9，ωmin=0.4，標(biāo)準(zhǔn)粒子群算法采用線性慣性權(quán)重法，而改進(jìn)的粒子群算法采用自適應(yīng)慣性權(quán)重法，粒子最大速度不超過(guò)0.1，最小速度不小于-0.1，列車的牽引系數(shù)取0.95，制動(dòng)系數(shù)取0.8，同時(shí)設(shè)置懲罰因子α＝1，β＝0.5，γ＝0.05，λ＝1。 多次運(yùn)行后，分別得到位移能量對(duì)比圖，位移速度對(duì)比圖，適應(yīng)度函數(shù)對(duì)比圖如圖（1）～（3）所示。

表3 軌道列車參數(shù)Tab.3 Parameters of rail transit trains

表4 列車牽引特性和制動(dòng)特性Tab.4 Characteristics of traction and braking force of trains

表5 區(qū)段線路參數(shù)Tab.5 Parameters of rail transit section

圖1 改進(jìn)前后粒子群算法的位移-能量對(duì)比圖Fig.1 Comparison of the S-E curves between ordinary PSO and improved PSO

圖2 改進(jìn)前后粒子群算法的位移-速度對(duì)比圖Fig.2 Comparison of the S-V curves between ordinary PSO and improved PSO

結(jié)合圖2，表（6）（7）可以發(fā)現(xiàn)，相較于標(biāo)準(zhǔn)型粒子群算法，改進(jìn)型粒子群算法在略微增加牽引功況的情況下，有效地延長(zhǎng)了惰行工況的運(yùn)行時(shí)間。 在到站時(shí)間固定不變的情況下，如圖1 所示，標(biāo)準(zhǔn)型粒子群算法優(yōu)化的發(fā)動(dòng)機(jī)能耗數(shù)值穩(wěn)定在20.525 kW/h 左右， 而改進(jìn)后的粒子群算法優(yōu)化結(jié)果穩(wěn)定在19.388 kW/h 左右，相比標(biāo)準(zhǔn)粒子群算法效果提升了5.54%左右，有效降低了能量損耗。 在適應(yīng)度和收斂性方面，標(biāo)準(zhǔn)型粒子群算法在150 代左右達(dá)到收斂，而改進(jìn)型粒子群算法在120 代左右收斂就達(dá)到最優(yōu)解，而適應(yīng)度值也高于標(biāo)準(zhǔn)型粒子群算法，有效提升了運(yùn)算的效率和精度。

表6 2 種算法4 種運(yùn)行工況消耗時(shí)間 sTab.6 Consumption time of four operation conditions under two algorithms

表7 2 種算法4 種運(yùn)行工況位移量 mTab.7 Displacement of four operating conditions under two algorithms

圖3 改進(jìn)前后粒子群算法適應(yīng)度函數(shù)對(duì)比圖Fig.3 Comparison of the fitness function between ordinary PSO and improved PSO

4 總結(jié)

針對(duì)列車運(yùn)行節(jié)能控制優(yōu)化這種非線性、多拘束、大滯后的問(wèn)題，提出了自適應(yīng)慣性權(quán)重與動(dòng)態(tài)學(xué)習(xí)因子相結(jié)合，同時(shí)對(duì)傳統(tǒng)速度更新公式進(jìn)行改進(jìn)的方法，通過(guò)Matlab 多次實(shí)驗(yàn)仿真，無(wú)論從優(yōu)化效果還是收斂速度方面，改進(jìn)后的粒子群算法相比于標(biāo)準(zhǔn)粒子群算法有了一定的提升，降低了列車運(yùn)行過(guò)程中的能耗，給列車節(jié)能優(yōu)化算法的設(shè)計(jì)提供參考。