謝 娟，趙少飛，胡欣宇，邢明源

(華北科技學(xué)院 建筑工程學(xué)院， 北京 東燕郊 065201)

0 引言

近幾年來，AK-MCS方法由于采用較少的樣本數(shù)量能夠高效地評估失效概率的優(yōu)勢，而在土木工程可靠度分析中越來越受到關(guān)注[1-5]，但在以往的研究中，基于AK-MCS方法進(jìn)行可靠度分析時，僅選取較少初始樣本數(shù)量來計算對應(yīng)的響應(yīng)值，進(jìn)而建立Kriging模型進(jìn)行可靠度計算。研究初始樣本數(shù)量的選取對可靠度計算精度的影響還沒有文獻(xiàn)報道。Jiang等[6]建議初始樣本數(shù)量與隨機變量個數(shù)的關(guān)系按照經(jīng)驗取值。謝延敏等[7]在其基于Kriging法計算可靠度分析中提到，Kriging預(yù)測值與函數(shù)精確值之間的誤差，主要取決于初始樣本實驗設(shè)計(DOE)，即初始樣本數(shù)量及抽取方法，而與Kriging模型的函數(shù)類型關(guān)系不大。孫志禮等[8]在其可靠度分析研究中指出，初始樣本在Kriging模型的預(yù)測過程中發(fā)揮著重要的作用，并對功能函數(shù)預(yù)測精度具有一定的影響。若初始樣本數(shù)量較少會影響初始Kriging模型的預(yù)測精度，而數(shù)量較多又可能在主動學(xué)習(xí)時增加樣本數(shù)量的調(diào)用次數(shù)。故研究選取適當(dāng)?shù)某跏紭颖緮?shù)量對AK-MCS方法評估失效概率精讀具有重要的意義，在土木工程中，由于功能函數(shù)往往較為復(fù)雜，在進(jìn)行可靠度分析時，計算本身需要相對大的工作量，如果找出初始樣本數(shù)量對計算可靠度精讀的影響規(guī)律，將能有效的提高計算效率，這對工程可靠度分析具有重要的意義。

在土木工程的可靠度分析中，研究的隨機變量很多情況下為2個[3，9，10]，本文圍繞隨機變量為2個時不同初始樣數(shù)量對失效概率評估精度的影響，并進(jìn)行對比分析與案例驗算。

1 AK-MCS方法

AK-MCS方法是將Kriging與Monte Carlo結(jié)合的一種主動學(xué)習(xí)方法，該方法能夠?qū)咏鼧O限狀態(tài)的點進(jìn)行評估，從而提高初始kriging模型的預(yù)測精度，最重要的是，它能夠?qū)⒆⒁饬性诟怕拭芏茸銐蚋叩狞c上，從而對失敗概率產(chǎn)生顯著影響。該方法同時給出了失效概率及其變異系數(shù)的Kriging估計，利用學(xué)習(xí)函數(shù)尋找下一個最佳樣本點從而進(jìn)行評估，而不需要對整個Monte Carlo總體進(jìn)行繁瑣的估計，這種學(xué)習(xí)方法進(jìn)行的模型評估精度較高，而且大大降低了迭代次數(shù)。但這種方法研究可靠度時主動學(xué)習(xí)的效率取決于學(xué)習(xí)函數(shù)的選取，Echard等[4]在提出這種方法時表明U函數(shù)更適合作為AK-MCS方法的學(xué)習(xí)函數(shù)進(jìn)行主動學(xué)習(xí)，故本文選用U函數(shù)作為主動學(xué)習(xí)函數(shù)進(jìn)行研究，AK-MCS方法基本步驟如下[4]：

(1) 基于隨機變量的分布生成NMC個隨機樣本，用SMC表示，稱為候選樣本點，候選樣本只有在主動學(xué)習(xí)時才計算功能函數(shù)。

(2) 利用拉丁超立方法進(jìn)行實驗設(shè)計，生成初始的N1個樣本點，分別選取隨機變量的2倍、3倍、4倍、5倍數(shù)量的試驗樣本點進(jìn)行研究。這些樣本點用SDoE表示。

(3) 利用SDoE和實際功能函數(shù)計算響應(yīng)值，用YDoE表示?；赟DoE和YDoE利用MATLAB軟件的DACE工具箱建立Kriging預(yù)測模型，并利用工具箱中的預(yù)測函數(shù)估計候選樣本總體SMC所有樣本點的預(yù)測值和方差。最后利用公式(1)(2)分別計算其失效概率Pf和變異系數(shù)COV(Pf)。

(1)

(2)

(4) 根據(jù)公式(3)計算出總體SMC中所有樣本點對應(yīng)的學(xué)習(xí)函數(shù)值U(xi)值。

(3)

(5) 根據(jù)學(xué)習(xí)停止條件選擇下一個最佳樣本點，即U(xi)值最小值對應(yīng)的樣本點，這是因為U(xi)越小，就可能有兩種情況出現(xiàn)，一種是在這一點上的預(yù)測方差較大，另一種是這一點的預(yù)測值很小，即這一點有極大的可能接近極限狀態(tài)面，若將這一點加入樣本，將會提高Kriging模型的預(yù)測精度，故將這一樣本點定義為下一個最佳樣本點，將最佳樣本點加入初始樣本點中，重復(fù)步驟(3)(4)，直到Umin≥2停止學(xué)習(xí)。

(6) 根據(jù)式(1)和式(2)，利用最終的Kriging預(yù)測模型計算失效概率Pf和變異系數(shù)COV(Pf)。如果變異系數(shù)COV(Pf)≤5%，主動學(xué)習(xí)停止，認(rèn)為結(jié)果可以接受。如果不滿足，則增加Monte Carlo候選樣本的數(shù)量，轉(zhuǎn)到步驟(3)計算，直到滿足條件。流程圖如圖1所示。

圖1 AK-MCS法計算流程圖

2 算例分析

為了分析AK-MCS方法中初始樣本點數(shù)量變化計算結(jié)果的影響，通過一個巖土邊坡算例[7]進(jìn)行對比分析，并結(jié)合一個結(jié)構(gòu)可靠度功能函數(shù)算例[1]進(jìn)行了驗證。

2.1 算例

選取文獻(xiàn)[11]中一邊坡示例，黏聚力c和摩擦角φ為隨機變量，2個隨機變量獨立且服從正態(tài)分布。其他變量為確定性參數(shù)。功能函數(shù)化解結(jié)果如下式。隨機變量分布如表1。

G(c，φ)=5c+tanφ-1 (4)

為了進(jìn)行對比研究，利用Monte Carlo法，進(jìn)行104次抽樣計算其失效概率作為對比研究的基準(zhǔn)。根據(jù)DACE算法[12]編制MATLAB程序，首先利用拉丁超立方法選擇隨機變量的2倍、3倍、4倍、5倍，即4、6、8、10個初始樣本點，分別建立Kriging模型，進(jìn)行主動學(xué)習(xí)，直到達(dá)到學(xué)習(xí)停止條件。為了更好的反應(yīng)主動學(xué)習(xí)過程中，初始樣本點和增加樣本對計算結(jié)果的影響，分別建立4種條件下增加樣本點數(shù)與Pf和學(xué)習(xí)函數(shù)最小值Umin的關(guān)系圖，如圖2所示。

圖2 Pf和Umin與增加樣本點個數(shù)的關(guān)系

圖2 Pf和Umin與增加樣本點個數(shù)的關(guān)系(續(xù))

由圖2可以看出，樣本點增加到一定個數(shù)時，失效概率的值趨于收斂，同時學(xué)習(xí)函數(shù)最小值趨于大于2，這就意味著預(yù)測結(jié)果趨于穩(wěn)定，但是當(dāng)初始樣本點的數(shù)量為隨機變量的2倍、3倍、4倍時，學(xué)習(xí)第一次的失效概率，這里定義為初始失效概率，與學(xué)習(xí)停止后的失效概率相差較大，也就是說初始樣本點的數(shù)量選用這三種數(shù)量時，對初始的Kriging模型的預(yù)測精度相對不高，而初始樣本點的數(shù)量為隨機變量的5倍時，初始的失效概率與最終的失效概率相差較較小，具體的精度對比結(jié)果如表2所示。可以定量看出當(dāng)初始樣本點為隨機變量的5倍時，初始的失效概率與最終的失效概率相對誤差最小，這也說明這個條件下將對初始模型的擬合具有較好的精度。

表2 初始失效概率與最終失效概率的對比圖

將4種狀況下的失效概率與Monte Carlo模擬的結(jié)果進(jìn)行對比，對比結(jié)果如表3所示。

表3 算例計算結(jié)果

由對比數(shù)據(jù)可知，選取的初始樣本點的多少對需要總樣本點的數(shù)量影響不大，也就是對功能函數(shù)調(diào)用次數(shù)影響不大，基本相同，但不同的初始樣本點計算失效概率需要增加的樣本點個數(shù)不同，較小的初始樣本點需要的增加的樣本點相對較多，同時也對評估失效概率的精度具有一定的影響，當(dāng)初始樣本點取10個即隨機變量的5倍的時候，失效概率的評估精度最高。針對以上研究結(jié)論，進(jìn)行一下算例驗證。

2.2 驗算算例

該案例選自文獻(xiàn)[1]中某結(jié)構(gòu)功能函數(shù)，隨機變量為2個，其表達(dá)式為：

G(x1，x2)=x1x2-1500

(5)

式中，隨機變量x1、x2相互獨立且均服從正態(tài)分布，隨即變量取值如表4所示。

表4 驗證算例中隨機變量分布表

根據(jù)算例的計算步驟，驗證算例4種情況下計算結(jié)果見表5。

表5 驗證算例計算結(jié)果

由對比可見，四種狀況下功能函數(shù)調(diào)用次數(shù)相近，但失效概率的評估精度不相同，仍然是初始設(shè)計樣本點個數(shù)為隨機變量的5倍時，失效概率的評估精度最高?？梢娨陨涎芯糠治鼋Y(jié)果正確。

3 結(jié)論

針對2個隨機變量的功能函數(shù)進(jìn)行可靠度分析，計算其失效概率。利用MATLAB中DACE工具箱分別建立四種抽樣數(shù)量情況下的Kriging模型，對比分析失效概率計算結(jié)果，得出以下結(jié)論：

(1) 初始樣本數(shù)量對失效概率的評估精度有較大的影響，對于2個隨機變量的功能函數(shù)，初始設(shè)計樣本數(shù)量為隨機變量的5倍時，AK-MCS法評估的失效概率幾乎與Monte Carlo的失效概率相同，精度最高。

(2) 初始樣本數(shù)目差異對主動學(xué)習(xí)需要增加的樣本數(shù)目有一定影響，較少的設(shè)計點需要主動學(xué)習(xí)的次數(shù)較多，而對功能函數(shù)的調(diào)用次數(shù)改變不大。