張齊華

摘要：批判性思維是指個體對某種現(xiàn)象、結(jié)論、主張的真實性、準(zhǔn)確性、適用性等方面做出的審慎判斷。它是兒童數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的“關(guān)鍵素養(yǎng)”。小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，發(fā)展兒童的批判性思維，要抓住三個基本要素：作為最初起點的提問、作為內(nèi)在核心的邏輯、作為最終目標(biāo)的求真;依賴三條關(guān)鍵路徑：整體上關(guān)注論點的準(zhǔn)確性，源頭上關(guān)注論據(jù)的科學(xué)性，過程中關(guān)注論證的嚴(yán)密性。

關(guān)鍵詞：批判性思維數(shù)學(xué)教學(xué)論點論據(jù)論證

在發(fā)展學(xué)生的批判性思維已經(jīng)成為全球各國教育改革的共同訴求之時，作為身處教育改革具體場景之中的數(shù)學(xué)教師，我們需要思考的問題是，這樣的核心目標(biāo)是否可以在數(shù)學(xué)學(xué)科的教學(xué)中得到落實。

事實上，筆者借助文獻研究發(fā)現(xiàn)，語文學(xué)科、歷史學(xué)科、英語學(xué)科的教學(xué)是開展批判性思維培養(yǎng)研究和實踐的主陣地，結(jié)合數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)開展批判性思維培養(yǎng)研究的文獻極為有限，利用數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)進行批判性思維培養(yǎng)實踐的文獻更是鳳毛麟角。

想來，這與數(shù)學(xué)學(xué)科自身的屬性有關(guān)。畢竟，精確性、邏輯性是數(shù)學(xué)學(xué)科的重要特質(zhì)。對于這樣的學(xué)科，批判性何來之有？

然而，這正是本文需要回應(yīng)的重要問題。筆者認(rèn)為，數(shù)學(xué)學(xué)科所具備的屬性，恰恰成為我們在數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)中開展批判性思維培養(yǎng)研究和實踐的關(guān)鍵理由。

一、從一次學(xué)生發(fā)起的教學(xué)挑戰(zhàn)說起

在《圓的周長》一課即將結(jié)束時，學(xué)生小K向我提出質(zhì)疑：“無限循環(huán)小數(shù)為什么會無限循環(huán)，我們可以通過除法過程中余數(shù)的重復(fù)現(xiàn)象來說明?？墒?，π是無限不循環(huán)小數(shù)，我們該如何證明呢？萬一π就是無限循環(huán)小數(shù)，只不過循環(huán)節(jié)非常長甚至無限長呢？更何況，剛才的計算中，最多的人也只算到了小數(shù)點后第六位?！睂τ谕蝗缙鋪淼馁|(zhì)疑，我沒有足夠的知識和心理準(zhǔn)備，只好答應(yīng)第二天給出答復(fù)。查閱足夠的資料后，第二天，我給了小K翔實的回答。

然而，沒想到小K又拋出了第二個問題：“之前我們就知道，兩個數(shù)相除的商不是整數(shù)，就是有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)。可是，π就是圓的周長除以圓的直徑的商啊，為什么結(jié)果是一個無限不循環(huán)小數(shù)呢？”我很好奇，為什么小K的腦子里裝著那么多問題。好在，這個問題不難解釋，我很快就利用“我們之前討論的數(shù)域和現(xiàn)在討論的數(shù)域不同”給出了說明。小K也表示完全理解，還給出了自己的推論：“看來，在圓的周長和直徑兩個量中，至少有一個量是無限不循環(huán)小數(shù)，否則就不可能出現(xiàn)這樣的結(jié)果了?！?/p>

正當(dāng)我暗暗佩服時，小K的新問題又接踵而來：“是不是只有在研究曲線問題的時候，我們才會遇到無限不循環(huán)小數(shù)？”這個問題我有答案，但我不想簡單地告訴他，于是提示他：“你可以查一查資料，看看能不能找到答案?！钡谌?，小K帶來了他的答案：“我知道了，邊長1厘米的正方形，它的對角線長就是一個無限不循環(huán)小數(shù)?！?/p>

但是，問題顯然還沒有結(jié)束：“既然小數(shù)中有有限小數(shù)、無限循環(huán)小數(shù)和無限不循環(huán)小數(shù)，那么究竟哪一種小數(shù)更多？”“無限不循環(huán)小數(shù)能進行加、減、乘、除運算嗎？運算的結(jié)果還一定是無限不循環(huán)小數(shù)嗎？”……

或許有人會說，這沒有什么啊，充其量只是說明了小K是一個充滿好奇、善于提問的學(xué)生。但是，筆者想說，小K在上述學(xué)習(xí)歷程中所表現(xiàn)出的對數(shù)學(xué)現(xiàn)象的好奇，以及對現(xiàn)象背后數(shù)學(xué)原理與本質(zhì)的持續(xù)追問和探索，恰恰展現(xiàn)了一個擁有良好批判性思維的學(xué)生最關(guān)鍵的特質(zhì)。這樣的學(xué)生常常對現(xiàn)象和知識保持著一種獨特的好奇。他們不會滿足于既有的答案和結(jié)論，而會不斷對其發(fā)出質(zhì)疑和挑戰(zhàn)，并在這一過程中，讓自己的認(rèn)識和思維得到不斷發(fā)展和深化。

雖然這樣的學(xué)生常常會給教師帶來巨大的挑戰(zhàn)，但是，我們必須承認(rèn)，批判性思維是當(dāng)下學(xué)生稀缺的一種寶貴的思維品質(zhì)。讓更多的學(xué)生擁有批判性思維，是當(dāng)下的數(shù)學(xué)教學(xué)面臨的又一重要挑戰(zhàn)。

二、批判性思維的內(nèi)涵解讀與價值探尋

（一）內(nèi)涵解讀

批判性思維（Critical Thinking）原義為審辯性思維。引入國內(nèi)時，最初翻譯為批判性思維，就一直沿用至今。由于翻譯的原因，加之日常語境的誤解，造成大家一提到批判性思維，就等同于批判、否定、推翻。事實上，批判性思維絕不能簡單地等同于批判和否定、推翻，它有著更積極、更豐富的學(xué)術(shù)內(nèi)涵。

綜合國內(nèi)外多數(shù)學(xué)者對批判性思維的定義，筆者認(rèn)為，大致可以這樣理解批判性思維：它是指個體對某種現(xiàn)象、結(jié)論、主張的真實性、準(zhǔn)確性、適用性等方面做出的審慎判斷。

比如，上述案例中，小K提出的“π究竟是不是無限不循環(huán)小數(shù)”“兩個數(shù)相除怎么可能出現(xiàn)無限不循環(huán)小數(shù)”“無限不循環(huán)小數(shù)是不是只存在于曲線問題中”等問題，正是其對相關(guān)結(jié)論的真實性、準(zhǔn)確性和適用性提出的質(zhì)疑。當(dāng)然，提出問題只是批判性思維的開端，而通過進一步的研究、思考和論證，對相應(yīng)結(jié)論做出“審慎判斷”，才是真正的批判性思維。

由此可見，批判性思維并不是對原有現(xiàn)象、結(jié)論或主張的簡單否定。它只是表現(xiàn)為對大家已經(jīng)公認(rèn)的、習(xí)以為常的對象提出質(zhì)疑，目的在于通過持續(xù)的追問和嚴(yán)密的論證，讓這些對象的真實性、準(zhǔn)確性和適用性等得到進一步確認(rèn)。

（二）價值探尋

當(dāng)下的社會早已進入信息化時代，面對每天鋪天蓋地的海量信息，能夠做出審慎的辨別、篩選，是合格公民應(yīng)具備的重要素養(yǎng)。從內(nèi)涵解讀可以看出，批判性思維的過程，對發(fā)展個體的理性思維無疑具有重要的價值。

近十幾年來，關(guān)于“核心素養(yǎng)”的研究與測評日益引起全球關(guān)注。2018年初，北京師范大學(xué)中國教育創(chuàng)新研究院首次對外發(fā)布《21世紀(jì)核心素養(yǎng)5C模型研究報告（中文版）》。這份報告吸納了中國學(xué)者在相關(guān)領(lǐng)域的研究成果，并基于我國社會、經(jīng)濟、科技、教育發(fā)展需求，提出了“21世紀(jì)核心素養(yǎng)5C模型”，包括文化理解與傳承、審辯思維、創(chuàng)新、溝通、合作這五大素養(yǎng)——由于這五大素養(yǎng)的英文首字母均為C，所以稱該模型為“5C模型”。

從審辯思維是“5C模型”中的一大素養(yǎng)，可見新一輪課程改革對批判性思維的關(guān)注。此外，創(chuàng)新也是“5C模型”中的一大素養(yǎng)。而創(chuàng)新本身就要求對已有的現(xiàn)象、結(jié)論和主張?zhí)岢鲑|(zhì)疑、審視和創(chuàng)造，故批判性思維是創(chuàng)新的重要前提。因此，可以說，批判性思維是一個“關(guān)鍵素養(yǎng)”。

三、小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中發(fā)展兒童批判性思維的可能性和必要性

數(shù)學(xué)是一門崇尚理性的學(xué)科。所有數(shù)學(xué)知識、方法、原理、法則的得出，都不是源自個人的現(xiàn)實經(jīng)驗，而是基于基本的概念和要素，借助數(shù)學(xué)的抽象、推理和建模。無論數(shù)學(xué)學(xué)科發(fā)展的過程，還是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程，都天然包含著批判性思維，是對真理的探索，是對數(shù)學(xué)中的各種現(xiàn)象、結(jié)論、主張的真實性、準(zhǔn)確性、適用性等的審慎判斷。離開批判性思維，數(shù)學(xué)學(xué)科發(fā)展將舉步維艱，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)也同樣如此。

那么，小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)是否適合發(fā)展學(xué)生的批判性思維？筆者以為，小學(xué)生正處于思維的啟蒙階段，他們對一切新鮮事物都保持好奇，愛追問、好探索是他們的天性，這給在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中發(fā)展批判性思維帶來了得天獨厚的優(yōu)越條件。與此同時，小學(xué)生由于剛剛接觸正式意義上的數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)思維的發(fā)展剛剛起步，具有巨大的可塑性。這時，如果能給他們種下批判性思維的種子，則既可以讓他們初步感受批判性思維的模樣，體會批判性思維的魅力，也可以為他們未來思維成熟之后，靈活應(yīng)用批判性思維應(yīng)對后續(xù)學(xué)習(xí)與日常生活、工作中的挑戰(zhàn)奠定基礎(chǔ)?？梢栽O(shè)想，如果在起步階段，學(xué)生的批判性思維沒有得到相應(yīng)的啟蒙，一旦就這么成長起來，原有的已經(jīng)固化的思維方式和模型想再修正與升級就十分困難了。

四、發(fā)展兒童批判性思維的實踐與探索

除了營造適宜的學(xué)習(xí)情境和氛圍，創(chuàng)造適合發(fā)展批判性思維的學(xué)習(xí)任務(wù)和機會以外，如何厘清批判性思維的基本要素，規(guī)劃發(fā)展批判性思維的關(guān)鍵路徑，是教學(xué)實踐中需要探索解決的重要問題。

（一）批判性思維的基本要素

批判性思維有著極為豐富而復(fù)雜的內(nèi)涵，簡單梳理下來，基本要素有三：

1.提問：批判性思維的最初起點。

傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)，往往以學(xué)生得出數(shù)學(xué)原理、法則，解決相關(guān)的數(shù)學(xué)問題，做出相應(yīng)的數(shù)學(xué)推斷等為學(xué)習(xí)的終點。然而，原理、法則是否為真，解決問題和做出推斷的過程與方法是否科學(xué)合理，其中是否潛藏著不易察覺的漏洞與陷阱，所有這一切都需要經(jīng)受思維的再檢驗。而這一過程中，提問是最初的起點。

除了“是什么”“為什么”等常規(guī)提問以外，“真的是這樣嗎？”“會不會有特殊的情況存在？”“這一結(jié)論適用所有范圍嗎？”“推理的過程是否嚴(yán)謹(jǐn)？”等問題，都是批判性思維得以啟動的重要起點。提問的過程，是對已有結(jié)論、方法和適用范圍的質(zhì)疑，是對已成定論的數(shù)學(xué)內(nèi)容的再思考?？梢哉f，沒有持之以恒的提問，沒有追根究底的質(zhì)問，沒有層層深入的追問，就不可能有真正意義上的批判性思維。

2.邏輯：批判性思維的內(nèi)在核心。

提問只是將思維引向了對原有結(jié)論和現(xiàn)象的批判。但是，批判不是盲目地否定和推翻，而應(yīng)該將數(shù)學(xué)的結(jié)論、過程、方法等重新置于思維的檢視下。而唯一能夠做出檢視的，就是邏輯推理。

數(shù)學(xué)結(jié)論之所以為真，并非由人的主觀意志和想象決定，而是源自基于客觀事實抽象出的數(shù)學(xué)概念，以及由此展開的嚴(yán)密的邏輯推理。其中，既包括由特殊推向一般的歸納推理，也包括由一般推向特殊的演繹推理。原則上說，只要前提正確，而推理過程又嚴(yán)格遵循邏輯規(guī)則，那么所得的數(shù)學(xué)結(jié)論也應(yīng)該正確。從而，原有思維過程能否經(jīng)受邏輯的考驗，是批判性思維的內(nèi)在核心。

3.求真：批判性思維的最終目標(biāo)。

批判性思維不能簡單地等同于否定和推翻，它是指向建設(shè)性的，其目的是實現(xiàn)對已有結(jié)論、方法真理性的再檢驗和再確認(rèn)。

檢驗的結(jié)果無非有三。如果完全正確，則批判性思維終止，結(jié)論、方法得以確認(rèn)并參與新的應(yīng)用。如果完全錯誤，則需要從思維的源頭與過程中發(fā)現(xiàn)問題，尋找出錯的原因，并進行修正。當(dāng)然，也存在局部正確的情況，此時，需要尋找不夠全面、準(zhǔn)確的原因，并對原有的思維過程進行調(diào)整和完善，以彌補原有的漏洞，得到更全面、準(zhǔn)確的思維結(jié)果。而這一過程中，如果能引導(dǎo)學(xué)生舉一反三，提煉和概括思維過程中存在的問題，并在今后的學(xué)習(xí)中加以避免，就可以有效地提升學(xué)生思維的準(zhǔn)確性、可靠性，發(fā)展學(xué)生的思維能力和品質(zhì)。

（二）發(fā)展批判性思維的關(guān)鍵路徑

基于邏輯審慎判斷的批判性思維通常是由論點、論據(jù)和論證三個維度構(gòu)成的。教學(xué)實踐中，我們可以引導(dǎo)學(xué)生從這三個維度對原有的數(shù)學(xué)結(jié)論與方法進行質(zhì)疑和批判。

1.整體上，關(guān)注論點的準(zhǔn)確性。

論點準(zhǔn)確與否，是批判性思維首先要關(guān)注的問題。數(shù)學(xué)中的多數(shù)結(jié)論，具有唯一的客觀準(zhǔn)確性，但這并不意味著，學(xué)生不可以對其準(zhǔn)確性提出質(zhì)疑、展開討論。盡管最終的結(jié)果未必能改變論點本身，但是質(zhì)疑與討論的過程是對批判性思維的最好訓(xùn)練，可以培養(yǎng)學(xué)生審慎地面對一切看起來似乎為真的結(jié)論的意識。

比如，《三角形的內(nèi)角和》一課，學(xué)生通過測量發(fā)現(xiàn)，無論怎樣的三角形，其內(nèi)角和都在180度左右，進而給出“三角形的內(nèi)角和都是180度”的結(jié)論。教師沒有止步于此，而是引導(dǎo)學(xué)生重新回到實驗數(shù)據(jù)，并展開討論——

師你們確定三角形的內(nèi)角和真的都是180度嗎？為什么？

生因為我們的測量數(shù)據(jù)都在180度左右，所以三角形的內(nèi)角和就是180度。

生因為數(shù)學(xué)書上給出的結(jié)論也是180度。

師數(shù)學(xué)書上給出的結(jié)論一定是正確的嗎？如果書上的結(jié)論就是正確的，我們?yōu)槭裁催€要做實驗?zāi)兀空埓蠹铱匆豢次覀儎偛诺臏y量結(jié)果，你有什么問題嗎？

（學(xué)生稍事思考，陸續(xù)舉手。）

生我發(fā)現(xiàn)，我們剛才測量的數(shù)據(jù)中只有一個在180度以上，剩下的幾個都在180度以下。那么，會不會三角形的內(nèi)角和不是180度，而是179度呢？我看了一下，這些結(jié)果的確都在179度左右。

生雖然我確信三角形的內(nèi)角和就是180度，但是的確，我們通過這些數(shù)據(jù)，并不能得出三角形的內(nèi)角和是180度。充其量，我們只能說，三角形的內(nèi)角和在180度左右。

生是的，我覺得實驗總是有誤差的。要想確認(rèn)三角形的內(nèi)角和究竟是多少度，我們還需要找到新的方法。

上述教學(xué)中，原本已經(jīng)顯而易見的論點在教師的刻意引導(dǎo)下展露出新的可能性，學(xué)生的思維也在這一過程中一點點被打開。毋庸置疑，最終的結(jié)論還會回到“三角形的內(nèi)角和是180度”上。但是，這樣的質(zhì)疑和思辨，恰恰給學(xué)生做出了良好的示范，也給他們的批判性思維播下了種子。

2.源頭上，關(guān)注論據(jù)的科學(xué)性。

論點準(zhǔn)確與否源自論據(jù)的科學(xué)性與論證的嚴(yán)密性。不恰當(dāng)、不合理、不充分的論據(jù)會直接影響論點的準(zhǔn)確性，即便論證過程不存在任何問題。因而，要發(fā)展學(xué)生的批判性思維，還應(yīng)該著力引導(dǎo)學(xué)生尋找支撐論點的論據(jù)，看一看這樣的論點究竟是由怎樣的論據(jù)推理得出的，從是否恰當(dāng)、合理、充分等多個維度對論據(jù)做出審慎評判。

比如，周長相等的所有平面圖形中，哪一種圖形的面積最大？教學(xué)中，為了方便學(xué)生展開探索，我們一般會給出相等周長的三角形、長方形、正方形、圓形各一個，并引導(dǎo)學(xué)生計算這些平面圖形的面積。通過計算，學(xué)生很快發(fā)現(xiàn)，所有這些平面圖形中，圓的面積是最大的。

無疑，這樣的探索過程中，論點是“周長相等的所有平面圖形中，圓的面積最大”，論據(jù)是“給定的相等周長的各平面圖形的面積”，論證指向“因為這些平面圖形的周長相等，而且圓的面積最大，所以，周長相等的所有平面圖形中，圓的面積最大”。不過，問題來了：要想說明上述論點，僅依靠這樣的論據(jù)夠嗎？眾所周知，平面圖形除了上述四種以外，還有更多的情形。僅依靠這四個數(shù)據(jù)，就想得出“周長相等的所有平面圖形中，圓的面積最大”顯然是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的。小學(xué)生有充分的理由懷疑：會不會在相等周長的情況下，橢圓的面積比圓大？正十邊形的面積比圓大？畢竟，圓的面積最大，并不是直觀上顯而易見的。

這樣的情形，在“統(tǒng)計與概率”領(lǐng)域更為普遍。數(shù)據(jù)分析觀念告訴我們，要想對有些問題做出決策，我們需要收集數(shù)據(jù)并對數(shù)據(jù)做出分析。然而，不是任何數(shù)據(jù)都能幫助我們做出科學(xué)的統(tǒng)計推斷的。有時，數(shù)據(jù)選擇過于片面，或數(shù)據(jù)樣本太小，或數(shù)據(jù)收集過程不夠嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?，都會?yán)重影響論點的準(zhǔn)確性。比如，要想確定身高多少的學(xué)生可以免費乘坐火車，如果只在城市里采集數(shù)據(jù)，顯然就有失公允。再如，要想了解當(dāng)下小學(xué)生的近視情況，如果只在農(nóng)村中開展調(diào)研，所得的結(jié)論就未必真實可靠。由此不難得出，要想得出更加客觀、全面、準(zhǔn)確的結(jié)論，數(shù)據(jù)的選擇尤為重要。

3.過程中，關(guān)注論證的嚴(yán)密性。

論據(jù)的科學(xué)未必能帶來論點的準(zhǔn)確，這中間還隔著一個論證的過程。論證是否嚴(yán)密、經(jīng)得起反復(fù)推敲，是論點是否準(zhǔn)確的關(guān)鍵因素，也是初步發(fā)展學(xué)生的批判性思維的重要切入點。在日常教學(xué)中，我們既要引導(dǎo)學(xué)生審視論據(jù)的恰當(dāng)、合理、充分，更要引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注論證的嚴(yán)密與可靠。

比如，平行四邊形的面積能不能用鄰邊相乘來計算？教學(xué)中，有學(xué)生給出了肯定的答案，并提出了這樣的論證過程：因為長方形的面積就是用它的長乘寬，也就是鄰邊相乘得到的，而長方形是一種平行四邊形，所以平行四邊形的面積也可以用鄰邊相乘得出。

這里，學(xué)生之所以得出錯誤的論點，就是因為論證不夠嚴(yán)密。我們都知道，在邏輯上，由一般推導(dǎo)特殊是可行的，但是，從特殊推導(dǎo)一般未必成立。仍以平行四邊形和長方形為例。長方形是特殊的平行四邊形，所以，可以根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)推出長方形的性質(zhì)。比如，平行四邊形的對邊平行且相等，所以，長方形的對邊平行且相等。但是，反過來就不一定了。比如，長方形的對角線相互平分，所以，平行四邊形的對角線相互平分;長方形的每一個角都是直角，所以，平行四邊形的每一個角都是直角。這兩個推論中，前一個論點是正確的，而后一個論點是錯誤的。

當(dāng)然，還存在由錯誤的論據(jù)和論證引出正確論點的情況。這時，我們更不能被正確的論點蒙蔽了雙眼，而應(yīng)該養(yǎng)成對論據(jù)、論證及論點進行全方位審視與觀照的習(xí)慣。這樣的過程，或許會比較耗時，但是，長期經(jīng)受這樣的訓(xùn)練，學(xué)生的思維一定會獲得一種特殊的敏感性，對所有顯而易見的結(jié)論保持一種審慎的態(tài)度。而這樣的思維習(xí)慣，以及逐步領(lǐng)悟和掌握的思維技能，恰恰會構(gòu)成學(xué)生批判性思維的雛形，在未來更復(fù)雜的學(xué)習(xí)情境甚至社會生活與工作實踐中，都有可能給學(xué)生帶來收益。