張彩紅 常春艷

摘 要：本文為了探究大學(xué)“帶余除法定理”是否會(huì)影響數(shù)學(xué)師范生對(duì)小學(xué)有關(guān)余數(shù)概念的理解，對(duì)數(shù)學(xué)師范生展開了問卷調(diào)查。通過調(diào)查分析，發(fā)現(xiàn)大學(xué)中《初等數(shù)學(xué)研究》或《初等數(shù)論》的學(xué)習(xí)影響了數(shù)學(xué)師范生對(duì)小學(xué)“有余數(shù)的除法”這一知識(shí)的理解，同時(shí)發(fā)現(xiàn)小學(xué)數(shù)學(xué)教材對(duì)余數(shù)概念的定義不明確。為了增強(qiáng)數(shù)學(xué)師范生對(duì)小學(xué)余數(shù)概念的認(rèn)知，本文對(duì)數(shù)學(xué)師范生的培養(yǎng)提出一些建議。

關(guān)鍵詞：小學(xué)教材;數(shù)學(xué)師范生;余數(shù)

一、 調(diào)查背景和目的

在一次給小學(xué)生補(bǔ)習(xí)數(shù)學(xué)的時(shí)候，筆者發(fā)現(xiàn)小學(xué)人教版教材“有余數(shù)的除法”中余數(shù)不能為0，而在本科階段學(xué)習(xí)的《初等數(shù)學(xué)研究》或《初等數(shù)論》中，“帶余除法定理”是這樣描述的：設(shè)a∈Z，b∈Z，則存在兩個(gè)正整數(shù)q和r，使a=bq+r（0≤r

在小學(xué)教材中，“有余數(shù)的除法”是在學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了“表內(nèi)除法”的基礎(chǔ)上教授的，即學(xué)生在學(xué)習(xí)“有余數(shù)的除法”之前，學(xué)習(xí)的除法都是沒有余數(shù)的?！?不是余數(shù)”可以很好地把除法分為“有余數(shù)的除法”與“沒有余數(shù)的除法”。如果0作為余數(shù)，那么在學(xué)生的認(rèn)識(shí)中，就會(huì)錯(cuò)誤地認(rèn)為他們所接觸的除法都是有余數(shù)的除法，就沒有“沒有余數(shù)的除法”和“有余數(shù)的除法”的區(qū)別了。

那么數(shù)學(xué)師范生對(duì)余數(shù)概念的理解是怎樣的呢？大學(xué)“帶余除法定理”的學(xué)習(xí)是否會(huì)影響數(shù)學(xué)師范生對(duì)小學(xué)余數(shù)概念的理解？數(shù)學(xué)師范生對(duì)小學(xué)教材“有余數(shù)的除法”這一知識(shí)點(diǎn)的了解程度如何？本文筆者就這些問題出發(fā)，調(diào)查數(shù)學(xué)師范生對(duì)余數(shù)概念的認(rèn)識(shí)，通過分析數(shù)學(xué)師范生對(duì)余數(shù)概念的認(rèn)知情況，了解到當(dāng)下數(shù)學(xué)師范生的學(xué)科知識(shí)水平和教學(xué)水平，最后給數(shù)學(xué)師范生在大學(xué)期間的學(xué)習(xí)提出一些建議，希望未來對(duì)中小學(xué)生的教育更能貼合學(xué)生的認(rèn)知水平。

二、 調(diào)查內(nèi)容和方法

本次調(diào)查根據(jù)調(diào)查目的和要求將調(diào)查內(nèi)容確定為：

（1）調(diào)查目的：數(shù)學(xué)師范生對(duì)余數(shù)概念的理解現(xiàn)狀;大學(xué)“帶余除法定理”的學(xué)習(xí)給數(shù)學(xué)師范生理解小學(xué)余數(shù)概念造成的影響;數(shù)學(xué)師范生對(duì)小學(xué)教材“有余數(shù)的除法”的了解狀況。

（2）調(diào)查方法：本次調(diào)查采用問卷調(diào)查的形式。

（3）調(diào)查對(duì)象和地點(diǎn)：?jiǎn)柧碚{(diào)查對(duì)象為大一到大四的數(shù)學(xué)師范生，調(diào)查地區(qū)包括江門、廣州。筆者采用網(wǎng)絡(luò)問卷的形式，共回收問卷182份，問卷回收率為100%，其中有效問卷共有165份，問卷有效率為91%。

三、 調(diào)查結(jié)果與分析

根據(jù)本次調(diào)查的目的，筆者將調(diào)查結(jié)果劃分為三個(gè)方面進(jìn)行分析，問卷具體情況如下：

從問卷數(shù)據(jù)可以看到，超過70%的數(shù)學(xué)師范生已經(jīng)修完《初等數(shù)學(xué)研究》或《初等數(shù)論》這兩門課程，即已經(jīng)學(xué)習(xí)過“帶余除法定理”，從表3的數(shù)據(jù)可以看出，學(xué)過《初等數(shù)學(xué)研究》或《初等數(shù)論》的數(shù)學(xué)師范生，主動(dòng)去了解小學(xué)教材“有余數(shù)的除法”的相關(guān)知識(shí)的人數(shù)達(dá)到了107名，而不了解小學(xué)教材“有余數(shù)的除法”的相關(guān)知識(shí)的人數(shù)僅有22名。從現(xiàn)狀一和現(xiàn)狀二可看到，學(xué)過“帶余除法定理”的數(shù)學(xué)師范生中，有很大部分的人認(rèn)為小學(xué)教學(xué)中，0也是余數(shù)，這說明大學(xué)“帶余除法定理”的學(xué)習(xí)影響了數(shù)學(xué)師范生對(duì)小學(xué)教材有關(guān)余數(shù)概念的理解，即大學(xué)教學(xué)中0是余數(shù)，使部分?jǐn)?shù)學(xué)師范生認(rèn)為小學(xué)教材中0也是余數(shù)。除此之外，從現(xiàn)狀一可看到，即使數(shù)學(xué)師范生已經(jīng)了解小學(xué)教材，對(duì)小學(xué)余數(shù)概念的認(rèn)識(shí)還是存在一些偏差。下面筆者將會(huì)從小學(xué)數(shù)學(xué)教材關(guān)于“有余數(shù)的除法”的編排、關(guān)于“有余數(shù)的除法”的網(wǎng)絡(luò)資料以及余數(shù)概念的本質(zhì)的探討這幾個(gè)方面進(jìn)行分析并探討得到上面調(diào)查結(jié)果的原因。

（一）小學(xué)數(shù)學(xué)教材關(guān)于“有余數(shù)的除法”的編排

根據(jù)前面的分析，我們可能會(huì)疑惑：為什么數(shù)學(xué)師范生已經(jīng)了解過小學(xué)教材“有余數(shù)的除法”的知識(shí)，還是會(huì)認(rèn)為0也是余數(shù)呢？對(duì)于部分?jǐn)?shù)學(xué)師范生在已經(jīng)了解小學(xué)教材的情況下還認(rèn)為余數(shù)有0的情況，筆者認(rèn)為導(dǎo)致這種現(xiàn)狀的一個(gè)原因可能是小學(xué)教材對(duì)余數(shù)概念的界定不夠清晰。筆者翻閱人教版、北師大版、蘇教版的小學(xué)教材，發(fā)現(xiàn)這三個(gè)版本的小學(xué)教材對(duì)余數(shù)概念的界定都沒有一個(gè)明確的闡述，即都沒有關(guān)于“余數(shù)不能為0”的表述。本文通過分析人教版、蘇教版以及北師大版有關(guān)“有余數(shù)的除法”的內(nèi)容，對(duì)此問題進(jìn)行分析。下面是三個(gè)教材版本“有余數(shù)的除法”的描述情況：

從表4可以看到，三個(gè)版本的教材都有將余數(shù)和除數(shù)作比較，但是對(duì)于0不是余數(shù)并沒有給出特定的說明。比如人教版的教材中，當(dāng)有8根或12根木棒時(shí)，剛好木棒可以構(gòu)成正方形，此時(shí)式子是整除，應(yīng)該沒有余數(shù)，但教材中并沒有說明整除的時(shí)候是沒有余數(shù)的，這可能使部分?jǐn)?shù)學(xué)師范生，甚至是部分小學(xué)生也會(huì)認(rèn)為8根木棒或12根木棒時(shí)，余數(shù)為0。因此，部分?jǐn)?shù)學(xué)師范生雖然已經(jīng)了解過小學(xué)教材，也容易對(duì)余數(shù)概念的認(rèn)識(shí)發(fā)生偏差。

（二）關(guān)于“有余數(shù)的除法”的網(wǎng)絡(luò)資料

隨著科技的發(fā)展，使用網(wǎng)絡(luò)資源給我們生活、工作以及學(xué)習(xí)等方面帶來巨大的幫助，好的網(wǎng)絡(luò)資源有助于我們的學(xué)習(xí)，但部分錯(cuò)誤的網(wǎng)絡(luò)資料可能會(huì)阻礙我們的學(xué)習(xí)。網(wǎng)絡(luò)是數(shù)學(xué)師范生尋找學(xué)習(xí)資料的一個(gè)渠道，大多數(shù)學(xué)師范生會(huì)選擇在大學(xué)期間給中小學(xué)生補(bǔ)習(xí)，由于網(wǎng)上部分資料關(guān)于余數(shù)試題存在一些錯(cuò)誤，會(huì)影響數(shù)學(xué)師范生對(duì)小學(xué)余數(shù)概念的理解。如下面某份卷子出現(xiàn)矛盾的兩道題：

對(duì)于第一道題，當(dāng)某個(gè)數(shù)能夠被2整除時(shí)，得到0也是余數(shù)的結(jié)果，即0也是余數(shù);但從第二道題來看，當(dāng)被除數(shù)能夠被除數(shù)整除時(shí)，沒有余數(shù)，即0不是余數(shù)，這樣互相矛盾的題目會(huì)影響數(shù)學(xué)師范生對(duì)余數(shù)概念的認(rèn)識(shí)，甚至影響小學(xué)生對(duì)余數(shù)概念的認(rèn)識(shí)。

（三）針對(duì)余數(shù)概念的本質(zhì)進(jìn)行探討

內(nèi)涵和外延是概念的兩大特征。內(nèi)涵是概念所反映事物的本質(zhì)屬性，外延是概念所反映事物的范圍。余麗娜在小學(xué)教材中提到：“余數(shù)有著特定的內(nèi)涵和外延，對(duì)于小學(xué)生來說，余數(shù)的內(nèi)涵可表征為平均分后剩下的零頭;外延是指概念所指代的所有元素”。事實(shí)上，在《小學(xué)數(shù)學(xué)教師手冊(cè)》（人民教育出版社，1982年）第49頁(yè)有寫到0≤r

四、 思考和建議

大多數(shù)數(shù)學(xué)師范生將來都是從事教育事業(yè)的，因此數(shù)學(xué)師范生的學(xué)科知識(shí)水平會(huì)影響到未來中小學(xué)的教育質(zhì)量。作為一名數(shù)學(xué)師范生，應(yīng)該具備扎實(shí)的學(xué)科知識(shí)和學(xué)科能力，在課余時(shí)間，主動(dòng)去了解中小學(xué)教學(xué)情況。因此，數(shù)學(xué)師范生作為未來的一名教育者，應(yīng)該做到以下幾點(diǎn)。

第一，研究中小學(xué)教材。教材知識(shí)點(diǎn)的安排是由簡(jiǎn)單到復(fù)雜的，符合學(xué)生的發(fā)展水平，而且知識(shí)點(diǎn)之間也是層層相扣，相互銜接的。數(shù)學(xué)師范生作為未來的教育工作者，應(yīng)該對(duì)中小學(xué)教材的知識(shí)結(jié)構(gòu)有一定的了解，避免運(yùn)用超前的知識(shí)教導(dǎo)學(xué)生。比如在給四年級(jí)小學(xué)生講解以下題目：

一個(gè)兩位數(shù)，在個(gè)位和十位中間添一個(gè)數(shù)，所得的三位數(shù)比原數(shù)多90，正好是原數(shù)的6倍，求原來的兩位數(shù)是多少？

筆者通過訪談發(fā)現(xiàn)很多數(shù)學(xué)師范生首先想到運(yùn)用設(shè)未知數(shù)的方法進(jìn)行求解，這是不合適的，由于小學(xué)五年級(jí)上冊(cè)才學(xué)習(xí)簡(jiǎn)易方程，通過設(shè)未知數(shù)的方法是屬于超前的知識(shí)。因此，注重知識(shí)之間的順序和層次是十分重要的。在課余時(shí)間，數(shù)學(xué)師范生可以選擇在一些教育輔導(dǎo)機(jī)構(gòu)積累教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，這有助于數(shù)學(xué)師范生了解教材內(nèi)容的結(jié)構(gòu)以及發(fā)現(xiàn)自身的不足。在給學(xué)生補(bǔ)習(xí)期間，數(shù)學(xué)師范生不但可以鍛煉自身的師范技能，而且能夠了解到當(dāng)下的教學(xué)狀況，同時(shí)也能夠加強(qiáng)數(shù)學(xué)師范生與中小學(xué)生的接觸，有助于他們了解中小學(xué)生。

第二，了解中小學(xué)教材與大學(xué)教材的聯(lián)系與不同。數(shù)學(xué)師范生在訓(xùn)練講課或者在準(zhǔn)備教學(xué)設(shè)計(jì)的時(shí)候，應(yīng)該提前了解中小學(xué)教材的內(nèi)容，思考教材這樣設(shè)計(jì)的原因以及多了解小學(xué)概念教學(xué)的相關(guān)知識(shí)。比如，在給學(xué)生講解“有余數(shù)的除法”相關(guān)知識(shí)之前，數(shù)學(xué)師范生應(yīng)該認(rèn)真?zhèn)湔n，思考應(yīng)該如何進(jìn)行余數(shù)概念的教學(xué)。一名優(yōu)秀的數(shù)學(xué)師范生在學(xué)習(xí)余數(shù)概念時(shí)有以下幾點(diǎn)要求：首先，了解小學(xué)教材“有余數(shù)的除法”與大學(xué)“帶余除法定理”有關(guān)余數(shù)的描述，而且要找出小學(xué)教材和大學(xué)教材關(guān)于余數(shù)定義不同的原因;其次，要有反思精神，思考小學(xué)教材關(guān)于余數(shù)的編寫有哪些優(yōu)點(diǎn)或缺點(diǎn)，應(yīng)該如何進(jìn)行教學(xué)才能使小學(xué)生掌握該知識(shí)的本質(zhì)。作為一名數(shù)學(xué)師范生，在學(xué)習(xí)中小學(xué)課程知識(shí)的時(shí)候，應(yīng)該主動(dòng)了解相關(guān)知識(shí)的發(fā)展歷史，同時(shí)要有反思精神而不是做“點(diǎn)頭者”。通過前面分析三個(gè)版本的小學(xué)教材有關(guān)余數(shù)的描述可知，教材的設(shè)計(jì)并不一定是最完善的。

五、 結(jié)語

綜上所述，加強(qiáng)數(shù)學(xué)師范生對(duì)中小學(xué)教材的了解是十分必要的。本文是通過對(duì)數(shù)學(xué)師范生進(jìn)行調(diào)查以及對(duì)教材進(jìn)行分析，從而給數(shù)學(xué)師范生提出一些建議。在課余時(shí)間，數(shù)學(xué)師范生除了要研究教材之外，還可以通過在輔導(dǎo)機(jī)構(gòu)當(dāng)補(bǔ)習(xí)教師、寒暑假參加支教、參加義教等途徑來鍛煉自己，從而使自身具備扎實(shí)的學(xué)科知識(shí)以及教學(xué)能力。

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作者簡(jiǎn)介：張彩紅，常春艷，廣東省廣州市，廣州大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院。