張家玉

摘要：《全等三角形》是初中幾何的重要內(nèi)容之一，也是學(xué)習(xí)幾何入門(mén)最關(guān)鍵的一步。在教學(xué)中，我們讓學(xué)生體會(huì)證明的必要性。本章是培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維，提升學(xué)生推理能力的重要一章。讓學(xué)生學(xué)會(huì)用演繹推理的方法研究圖形的屬性，證明幾何命題，并將學(xué)生推理能力的培養(yǎng)貫穿于整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程中。

關(guān)鍵詞：全等三角形;命題;定理;證明

《全等三角形》是初中幾何的重要內(nèi)容之一，也是學(xué)習(xí)幾何入門(mén)最關(guān)鍵的一步，是在七年級(jí)對(duì)《圖形與圖形變換》的認(rèn)識(shí)及《數(shù)學(xué)說(shuō)理與推理》的基礎(chǔ)上展開(kāi)教學(xué)內(nèi)容，《全等三角形》 是最基本的全等圖形，是對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角都分別相等的三角形。本章首先通過(guò)一些具體事例，使學(xué)生再次加深對(duì)證明的必要性的認(rèn)識(shí);隨即通過(guò)自主探索、實(shí)驗(yàn)操作，得到判定三角形全等的三個(gè)基本事實(shí)，并在原有數(shù)學(xué)說(shuō)理的基礎(chǔ)上，學(xué)習(xí)一些有關(guān)演繹推理的知識(shí)，掌握一些主要的推理論證的方法，使學(xué)生進(jìn)步養(yǎng)成言必有據(jù)的思維習(xí)慣，這些都為本章《等腰三角形》、《線段垂直平分線與角平分線》等內(nèi)容的學(xué)習(xí)，也為后續(xù)平行四邊形、圖形的相似與圓等各章內(nèi)容的學(xué)習(xí)，實(shí)現(xiàn)合情推理與演繹推理的有機(jī)結(jié)合提供了重要依據(jù)，還為學(xué)生運(yùn)用動(dòng)態(tài)的變換方法研究靜態(tài)的幾何圖形積累了一定的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

本章學(xué)習(xí)要達(dá)成以下教學(xué)目標(biāo)：1.通過(guò)具體實(shí)例，了解命題、 定理的意義。2.知道證明的意義和證明的必要性，知道證明要合乎邏輯，知道證明的過(guò)程可以有不同的表達(dá)形式，會(huì)正確書(shū)寫(xiě)證明的格式。3.探索并掌握三個(gè)基本事實(shí)。4.證明定理：兩角分到相等且其中一組等角的對(duì)邊相等的兩個(gè)三角形全等。5.了解等腰三角形的概念，探索并證明等腰三角形的性質(zhì)定理：等腰三角形的兩底角相等;底邊上的高線、中線及頂角平分線重合。探索并掌握等腰三角形的判定定理。探索等邊三角形的性質(zhì)定理。6.探索并掌握判定直角三角形全等的“斜邊直角邊”定理。7.能用尺規(guī)完成四類(lèi)基本作圖。8.會(huì)利用基本作圖作三角形。9.了解原命題及其逆命題的概念，會(huì)識(shí)別兩個(gè)互逆的命題，知道原命題正確其逆命題不一定正確。10.理解線段垂直平分線的概念，探索并證明線段垂直平分線的性質(zhì)定理。11.探索并證明角平分線的性質(zhì)定理。

本章是培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維，提升學(xué)生推理能力的重要一章。讓學(xué)生學(xué)會(huì)用演繹推理的方法研究圖形的屬性。證明幾何命題，要求學(xué)生在證明中能將合情推理與演繹推理有機(jī)結(jié)合，并將學(xué)生推理能力的培養(yǎng)貫穿于整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程中。

第一小節(jié)“命題定理與證明”中列舉了已經(jīng)學(xué)過(guò)的4個(gè)圖形的特性，指出它們都是判斷某一件事情的語(yǔ)句，像這樣表示判斷的語(yǔ)句叫做命題，命題可能是真命題，也可能是假命題，要判斷一個(gè)命題是真命題，可以通過(guò)演繹推理論證，要判斷一個(gè)命題是假命題，只要舉出一個(gè)反例即可。在教學(xué)中，我們要讓學(xué)生體會(huì)證明的必要性，教材通過(guò)三個(gè)不同的案例，讓學(xué)生理解：由特殊事例得到的結(jié)論可能正確，也可能不正確，因此通過(guò)這種方式得到的結(jié)論，還需進(jìn)一步 加以證實(shí)。從而， 引出了“證明”的概念：根據(jù)條件、定義以及基本事實(shí)定理等，經(jīng)過(guò)演繹推理，來(lái)判斷個(gè)命題是否正確。這樣的推理過(guò)程叫做證明。在教學(xué)時(shí)必須引起學(xué)生的關(guān)注，指出：“言必有據(jù)”，每步推理都要有依據(jù)，它們可以是已知條件，也可以是定義、基本事實(shí)、已經(jīng)學(xué)過(guò)的定理以及等式的性質(zhì)、等量代換等在書(shū)寫(xiě)證明的過(guò)程中，要求把依據(jù)寫(xiě)在每一步推理后面的括號(hào)內(nèi)。

第二小節(jié)《三角形全等的判定》是本章的重點(diǎn)內(nèi)容。首先回顧了全等三角形的定義以及對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)、對(duì)應(yīng)邊與對(duì)應(yīng)角的概念，通過(guò)說(shuō)明兩個(gè)三角形的三條邊、兩個(gè)角分別對(duì)應(yīng)相等，則這兩個(gè)三角形必然是全等三角形。使學(xué)生確信三角形全等的判定條件是可以減少的，隨即從最簡(jiǎn)單的情況開(kāi)始，讓學(xué)生自主討論，分別就一組、兩組、三組元素分別對(duì)應(yīng)相等的情況，探索三角形全等的判定條件，為學(xué)生提供了自主探索、實(shí)驗(yàn)操作的活動(dòng)空間。教材對(duì)于“邊角邊”、“ 角邊角”與“邊邊邊”三種情況的討論，直至最后得出判定三角形全等的三個(gè)基本事實(shí)，讓學(xué)生自己在探索思考、實(shí)驗(yàn)操作的過(guò)程中得出判定三角形全等的三個(gè)基本事實(shí)，體會(huì)運(yùn)用動(dòng)態(tài)的變換方法研究靜態(tài)的幾何圖形屬性的過(guò)程，并對(duì)“角角邊”的情況進(jìn)行了論證。教材最后讓學(xué)生自行概括判定三角形全等的各種情況與相應(yīng)結(jié)論。七年級(jí)中，演繹證明的過(guò)程以學(xué)生填空為主，本章- -開(kāi)始，主要由教材給出示例，讓學(xué)生就一些較為簡(jiǎn)單的問(wèn)題自主寫(xiě)出演繹證明的過(guò)程，而某些需要兩步論證的問(wèn)題，則讓學(xué)生在已有一步論證的基礎(chǔ) 上加以補(bǔ)充完整，起到了承上啟下、自然銜接的作用，整個(gè)演繹推理，例題與練習(xí)題的安排均采取逐步深入的原則。教材中，先讓學(xué)生就些較為簡(jiǎn)單的問(wèn)題，直接應(yīng)用三角形全等的基本事實(shí)，證明符合給定條件的兩個(gè)三角形全等，然后“由三角形全等，延伸至證明兩條邊或兩個(gè)角相等，然后再利用等量關(guān)系，設(shè)法補(bǔ)充齊全三角形全等的條件，由簡(jiǎn)到難，逐步展開(kāi)。教材對(duì)于 一些結(jié)論的證明，有時(shí)僅給出思路，教學(xué)中我們板書(shū)并引導(dǎo)學(xué)生自行寫(xiě)出完整的、規(guī)范的證明過(guò)程。教材還探索了兩個(gè)直角三角形全等的條件除了“邊角邊”、“角邊角”“角角邊”與“邊邊邊”能判定兩個(gè)直角三角形全等外，還有“斜邊直角邊”也能判定兩個(gè)直角三角形全等。但必須明確前提是在直角三角形里。

第三小節(jié)“等腰三角形”也是本章的重要內(nèi)容，通過(guò)運(yùn)動(dòng)變換，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)等腰三角形的兩底角相等，并通過(guò)演繹推理，證明其正確性，體現(xiàn)了合情推理與演繹推理的有機(jī)結(jié)合。在證明等腰三角形的性質(zhì)定理時(shí)，可以通過(guò)添加頂角的平分線或添加底邊上的中線，證明兩個(gè)三角形全等。另外，等腰三角形的三線合一定理和等邊三角形的性質(zhì)定理與判定定理是常用的定理，也是我們考試的重點(diǎn)，教學(xué)中，可適當(dāng)補(bǔ)充相應(yīng)的例題，讓學(xué)生鞏固對(duì)這些定理的掌握。

第四小節(jié)“尺規(guī)作圖”對(duì)僅用沒(méi)有刻度的直尺（指直尺本身沒(méi)有刻度或作圖時(shí)不利用直尺上的刻度）和圓規(guī)作圖，及直尺作圖，做了系統(tǒng)的總結(jié)，使學(xué)生對(duì)尺規(guī)作圖有較全面的認(rèn)識(shí)。

尺規(guī)作圖是本章的難點(diǎn)，教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生注意作圖過(guò)程與做法之間的對(duì)應(yīng)，引導(dǎo)學(xué)生只能用尺規(guī)完成5種基本作圖，并能運(yùn)用這5種基本作圖來(lái)作簡(jiǎn)單的幾何圖形。

第五小節(jié)“逆命題與逆定理”以“兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等”“內(nèi)錯(cuò)角相等。兩直線平行”為例，引出互逆命題的概念，并指出：如果把其中一個(gè)命題叫做原命題，那么另一個(gè)命題就叫它的逆命題，每一個(gè)命題都有逆命題，只要將原命題的條件改成結(jié)論。并將結(jié)論改成條件，便可得到原命題的逆命題，原命題與逆命題是相對(duì)的。教材通過(guò)運(yùn)動(dòng)變換、推理論證得出，線段垂直平分線的性質(zhì)：線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等，從互逆命題的角度探索其逆命題是否正確，讓學(xué)生依據(jù)性質(zhì)。逆向思考與其相反的結(jié)論，滲透”逆向思維”，最后加以論證確認(rèn)，學(xué)生必須分清”線段 垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等”和“到線段兩端距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上：這兩個(gè)互逆定理的條件與結(jié)論防止條件與結(jié)論混涌不清。最后，教材上對(duì)三角形三條邊的垂直平分線相交于一點(diǎn)，這一交 點(diǎn)稱(chēng)為三角形的外心，即三角形外接圓的圓心，在此，為以后學(xué)習(xí)外心的有關(guān)特性做了鋪墊。教材使用類(lèi)似的方法得出角平分線的性質(zhì)：角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等然后從互逆命題的角度探索其逆命題是否正確，并加以論證確認(rèn)?？梢耘c線段垂直平分線的教學(xué)方法作類(lèi)比，滲透”類(lèi)比”的思想方法。

（作者單位：四川省宜賓市第二初級(jí)中學(xué)校）