趙新龍, 沈 帥

(浙江理工大學 機械與自動控制學院, 浙江 杭州 310018)

0 引言

壓電驅(qū)動器由于精度高、響應快等特點已廣泛應用在微操作系統(tǒng)中，然而，壓電驅(qū)動器中存在固有的遲滯非線性[1]，表現(xiàn)出非光滑、多值映射、記憶性和速率相關性，會引起系統(tǒng)振蕩，甚至導致不穩(wěn)定[2-3]。為了消除遲滯對系統(tǒng)的不良影響，有效的方法是建立遲滯模型來描述遲滯特性。

遲滯模型可分為靜、動態(tài)模型。即遲滯輸出與輸入速率無關的模型稱為靜態(tài)模型[4]，遲滯輸出與輸入速率具有相關性的模型稱為動態(tài)遲滯模型[5]。近年來，利用Hammerstein結(jié)構建立的動態(tài)遲滯模型已引起學者們的關注[6-9]，采用遲滯非線性部分和線性部分串聯(lián)來構成。利用遲滯非線性來刻畫非光滑、多值映射和記憶性，利用線性部分來體現(xiàn)速率相關性，稱為遲滯的類Hammerstein模型。Giri等[6]利用Relay和Backlash算子來描述非線性部分構成Hammerstein結(jié)構，通過線性部分參數(shù)化和最小二乘完成參數(shù)辨識。范家華等[7]利用PI算子來描述非線性部分構成Hammerstein結(jié)構，利用神經(jīng)網(wǎng)絡對遲滯非線性進行辨識。Gao等[8]利用Preisach算子來描述非線性部分構成Hammerstein結(jié)構，基于盲辨識和三角矩陣法分別實現(xiàn)系統(tǒng)參數(shù)的辨識。賈高欣等[9]利用廣義Bouc-Wen算子來描述非線性部分構成Hammerstein結(jié)構，利用差分進化算法完成參數(shù)辨識。然而，在Hammerstein結(jié)構的模型參數(shù)辨識中，通常將線性部分和非線性部分分離成兩階段進行辨識，不能同時辨識兩個部分的參數(shù)，辨識精度低。

本文首先在文獻[10]的基礎上提出改進遲滯算子(MDHO)，將算子加權疊加構成遲滯模型作為Hammerstein的非線性部分。在參數(shù)辨識方面，同時考慮非線性遲滯部分和線性部分的參數(shù)，結(jié)合參數(shù)重組和最小二乘法來估計兩部分參數(shù)的乘積，然后利用奇異值分解(SVD)法進行乘積項的分解來得到Hammerstein模型的全部參數(shù)，通過實驗和Krasnosel’skii-Pokrovkii(KP)模型的比較證明方法的有效性。與其他模型相比，本文的創(chuàng)新點是：

1) 在結(jié)構組成方面，改進遲滯算子構成的非線性部分結(jié)構簡單，適應性好。

2) 在參數(shù)辨識方面，利用參數(shù)重組、最小二乘估計和奇異值分解相結(jié)合的方法同時辨識模型參數(shù)，辨識精度高。

1 壓電驅(qū)動器遲滯特性的類Hammerstein模型

壓電驅(qū)動器遲滯特性的類Hammerstein模型包含靜態(tài)遲滯非線性遲滯部分和動態(tài)線性部分，其模型結(jié)構如圖1所示。圖中，v(k)為輸入電壓，經(jīng)過靜態(tài)遲滯非線性部分N(·)得到中間變量輸出電壓u(k)，經(jīng)過線性動態(tài)線性部分G(z)，得到位移輸出y(k)。

圖1 Hammerstein-like 模型

1.1 非線性遲滯部分

非線性遲滯部分采用MDHO的加權疊加形式：

(k=1,2,…,n)

(1)

式中：n為遲滯算子的數(shù)量；γ=[γ1,γ2,…,γn]T為權重系數(shù)；H=[h1,h2,…,hn]T為n個MDHO的輸出。

MDHO可通過以下非線性狀態(tài)方程來描述：

h(v)=η-av

(2)

(3)

(4)

式中：v，h(v)分別為遲滯單元的輸入和輸出；η為狀態(tài)參數(shù)；a為前饋增益；ki為積分系數(shù)；Δ(η)為死區(qū)的輸出；x0為死區(qū)寬度；kα、kβ為可調(diào)的死區(qū)斜率參數(shù)。MDHO的結(jié)構如圖2所示。

圖2 MDHO結(jié)構

與文獻[10]的SDH模型相比，本文提出的MDHO增加參數(shù)a、x0、kα、kβ，能調(diào)整x0和偏置量，適應范圍更廣。

1.2 線性部分

Hammerstein 結(jié)構的線性部分采用ARX模型[11],其傳遞函數(shù)形式為

(5)

式中：A(z)=1+a1z-1+…+amaz-ma；B(z)=b0+b1z-1+…+bmbz-mb；z-1為單位延遲算子；ma，mb為線性環(huán)節(jié)的階數(shù)。

2 參數(shù)辨識

根據(jù)類Hammerstein的結(jié)構，需要辨識的參數(shù)有γ1、γ2、…、γn,a1、a2、…ama及b0、b1、…、bmb。

y(k)=G(z)u(k)

(6)

(7)

將式(7)代入式(6)可得：

(8)

θ=[a1,…,ama,γ1b0,…,γ1bmb,γ2b0,…,γnbmb]T

(9)

φk=[-y(k-1),…,-y(k-ma),

h1(v(k)),…,h1(v(k-mb)),h2(v(k)),

…,hn(v(k-mb))]T

(10)

利用最小二乘法可得：

(11)

其中

YN=[y(1),y(2),…,y(N)]T

(12)

φN=[φ(1),φ(2),…,φ(N)]T

(13)

通過式(11)可得參數(shù)a=[a1,a2,…,ama]T和θγ b=[γ1b0,γ1b1,…,γ1bmb,γ2b0,…,γnbmb]T的估計值為

(14)

(15)

(16)

(17)

式中：U=[u1,…,umb]∈Rmb×mb；V=[v1,…,vn]∈Rn×n；Σ=diag{σ1,…,σs}∈Rmb×n,s=min{mb,n}。且

(18)

(19)

(20)

式中：u1∈Rmb×1，v1∈R1×n分別為矩陣U、V的第一列。

通過式(14)、(19)、(20)可辨識出γ1、γ2、…、γn，a1、a2、…、ama，b0、b1、…、bmb。

與將線性部分和非線性部分分別辨識的方法相比，本文通過參數(shù)重組、矩陣擴圍、最小二乘、奇異值分解組合方法，同時辨識了非線性和線性部分的參數(shù)，并證明了參數(shù)是無偏估計，辨識精度高。

3 實驗驗證

為驗證該方法的有效性, 對壓電執(zhí)行器PZT-752.21C(PI公司產(chǎn)品)的遲滯特性建模。該執(zhí)行器在輸入電壓0～100 V下，額定位移為0～25 mm，采樣頻率為1 000 Hz，實驗平臺如圖3所示。使用改進的粒子群優(yōu)化算法得出MDHO參數(shù)值[15]，遲滯非線性部分用4個MDHO加權疊加得到，表1為類Hammerstein模型參數(shù)辨識的結(jié)果。圖4為類Hammerstein模型對實際系統(tǒng)的辨識效果。

圖3 實驗平臺

表1 類Hammerstein模型辨識參數(shù)

圖4 類Hammerstein模型辨識結(jié)果

為了說明辨識結(jié)果，與包含300個KP算子的KP模型進行比較。圖5為KP模型對實際系統(tǒng)的辨識效果。圖6為兩種模型的辨識誤差對比。本文建立的類Hammerstein模型辨識的最大誤差為0.010 8，絕對誤差的平均值為0.001 4，而KP模型的辨識最大誤差為0.020 5，絕對誤差的平均值為0.009 3。實驗結(jié)果證明了該建模方法的有效性。

圖5 KP模型辨識結(jié)果

圖6 KP模型和類Hammerstein模型的誤差

4 結(jié)束語

本文建立了壓電驅(qū)動器中遲滯特性的類Hammerstein模型，提出改進遲滯算子來刻畫遲滯的非光滑、多值映射特性，對該算子加權疊加構成類Hammerstein結(jié)構的非線性部分，利用輸入自回歸模型表示動態(tài)線性部分。結(jié)合參數(shù)重組和最小二乘法來同時估計非線性遲滯部分和線性部分參數(shù)的乘積，然后利用奇異值分解法進行乘積項的分解來得到類Hammerstein模型的全部參數(shù)。改進遲滯算子構成的非線性部分結(jié)構簡單，適應性好。利用參數(shù)重組、最小二乘估計和奇異值分解相結(jié)合的方法，同時辨識模型參數(shù)，辨識精度高。最后利用此方法對壓電執(zhí)行器的遲滯非線性進行建模，并且與KP模型進行了比較。