陳 明， 鄭世杰 ，田志昌，楊志軍，馮 鑫

(1.內(nèi)蒙古科技大學(xué) 土木工程學(xué)院， 內(nèi)蒙古 包頭 014010；2. 南京航天航空大學(xué) 機(jī)械結(jié)構(gòu)力學(xué)及控制國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，江蘇 南京 210016)

0 引言

鋯鈦酸鉛(PbZrTiO3，PZT)壓電陶瓷擁有優(yōu)良的壓電特性，廣泛應(yīng)用于微機(jī)電系統(tǒng)中，結(jié)構(gòu)的特征尺度達(dá)到微米量級。微納米結(jié)構(gòu)力學(xué)行為的尺度相關(guān)性已在實(shí)驗(yàn)室得到證實(shí)[1-2]。經(jīng)典的連續(xù)介質(zhì)理論不能準(zhǔn)確描述微納米尺度構(gòu)件的力學(xué)行為。

2002年，Yang等[3]在偶應(yīng)力理論基礎(chǔ)上提出，修正偶應(yīng)力理論僅包含一個(gè)尺度相關(guān)的材料內(nèi)稟尺寸參數(shù)，被廣泛應(yīng)用于分析微納米尺度力學(xué)結(jié)構(gòu)。2011 年，Gao等[4]通過修正偶應(yīng)力理論建立微米級Mindlin板模型，分析了簡支結(jié)構(gòu)板的靜態(tài)彎曲和自由振動(dòng)的尺寸相關(guān)性。2014年，Mesut等[5]將修正偶應(yīng)力理論應(yīng)用到非線性微米梁靜態(tài)撓度、固有頻率的尺寸效應(yīng)分析。2015年，Mesut等[6]應(yīng)用Kirchhoff-Love板理論結(jié)合修正偶應(yīng)力理論分析了移動(dòng)載荷作用下微米板的振動(dòng)問題。除單一材料組成的微米梁板結(jié)構(gòu)，在復(fù)合材料及功能梯度材料方面有較多研究開展。2011年，Chen等[7]基于修正偶應(yīng)力理論，建立了考慮剪切變形的復(fù)合材料層合梁模型，分析模型的尺寸效應(yīng)；并對比分析了歐拉-伯努利梁和鐵木辛柯梁的解。2011年，Ke等[8]運(yùn)用鐵木辛柯梁理論結(jié)合修正偶應(yīng)力理論分析了功能梯度梁動(dòng)力學(xué)穩(wěn)定性的尺寸效應(yīng)。2015年，Li等[9]將修正偶應(yīng)力理論應(yīng)用于分析功能梯度壓電板的靜態(tài)彎曲和自由振動(dòng)的尺寸相關(guān)性問題。2014年，Ansari等[10]在考慮電場引起應(yīng)力變化情況下分析了微米級純壓電梁的振動(dòng)特性。

上述研究主要集中在微米梁、板結(jié)構(gòu)，關(guān)于壓電層合微米梁結(jié)構(gòu)的研究較少。2016年，Zheng等[11]考慮力電的耦合作用，研究了對微米級PZT壓電層合驅(qū)動(dòng)裝置的靜態(tài)力學(xué)行為進(jìn)行了分析。本文在Zheng等[11]研究的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步對微米級PZT層合驅(qū)動(dòng)裝置動(dòng)態(tài)力學(xué)行為的尺寸效應(yīng)進(jìn)行分析。

1 微米級PZT驅(qū)動(dòng)器的運(yùn)動(dòng)控制方程

PZT壓電驅(qū)動(dòng)器由壓電片與基體組合而成。根據(jù)組合方式的不同可分為非均質(zhì)和均質(zhì)PZT雙晶片驅(qū)動(dòng)器，如圖1所示。圖中，hp為PZT層厚度，he為金屬墊層厚度。

圖1 微米級PZT驅(qū)動(dòng)器

下面根據(jù)修正偶應(yīng)力理論和經(jīng)典的層合梁理論，推導(dǎo)在力-電耦合作用下的微米PZT層合梁結(jié)構(gòu)智能驅(qū)動(dòng)器的運(yùn)動(dòng)控制方程。

修正偶應(yīng)力理論本構(gòu)關(guān)系[3]為

σij=λδijεkk+2μεij

(1)

mij=2l2μχij

(2)

幾何關(guān)系為

εij=(ui,j+uj,i)/2

(3)

(4)

(5)

根據(jù)歐拉-伯努利梁理論，微米級PZT智能驅(qū)動(dòng)器的本構(gòu)方程如下：

對于PZT層有:

σx=Exεx-d31ExEz

(6)

(7)

Dz=d31σx+κ3Ez

(8)

對于基體彈性層有:

σx=Exεx

(9)

(10)

式中：Ex為材料的彈性模量；d31為材料的壓電常數(shù)；Ez為z方向電場強(qiáng)度；Dz為z方向電位移；κ3為介電常數(shù)。

非均質(zhì)/均質(zhì)PZT雙晶片驅(qū)動(dòng)器在線彈性階段，電場與力場耦合下的總勢能為

(11)

式中V為體積。

假定梁結(jié)構(gòu)在橫向分布力q(x,t)作用下，不考慮體力和體力偶的作用，則有

(12)

忽略軸向位移對動(dòng)能(T)的影響，則T可表示為

(13)

式中：ρk為第k層梁的密度；Ak為第k層梁的橫截面積，k為驅(qū)動(dòng)器層數(shù)。根據(jù)哈密頓原理有

(14)

將式(11)～(13)代入式(14)，得到微米級層合梁的運(yùn)動(dòng)控制方程：

q(x,t)

(15)

式中0

(16)

(17)

(18)

式中：D+R為彎曲剛度；Gk為第k層材料的剪切彈性模量。

若不考慮壓電效應(yīng)，令hp=0，則式(15)、(16)與Kong等[12]給出的微米級歐拉-伯努利梁的振動(dòng)控制方程一致。若令he=0，僅考慮單層壓電結(jié)構(gòu)；同時(shí)，Ansari等[10]取壓電效應(yīng)引起應(yīng)力沿厚度均勻分布，并忽略泊松比影響，則與式(16)一致。

對于一端固定、一端自由，尺寸相關(guān)的非均質(zhì)/均質(zhì)PZT雙晶片驅(qū)動(dòng)器，應(yīng)用分離變量法，假設(shè)方程的通解為

w(x,t)=[C1sin(βx)+C2cos(βx)+

C3sinh(βx)+C4cosh(βx)]·

sin(ωt+φ)

(19)

根據(jù)式(19)可得頻率方程為

cos(βL)cosh(βL)=-1

(20)

式(20)的正根為βiL=1.875, 4.694, 7.855, 10.996, …, (i=1, 2, 3, 4, …)。

懸臂結(jié)構(gòu)非均質(zhì)/均質(zhì)PZT雙晶片驅(qū)動(dòng)器的自由振動(dòng)方程為

[sin(βix)-sinh(βix)]}

(21)

對于非均質(zhì)PZT雙晶片驅(qū)動(dòng)器，固有頻率為

(22)

式中Ee、Ep、Ge、Gp分別表示彈性層和壓電層的彈性模量和剪切彈性模量;z0為中性層到底部壓電層中面的距離(見圖1)，且

(23)

(24)

(25)

若將尺寸參數(shù)設(shè)為0，則式(22)退化為經(jīng)典懸臂結(jié)構(gòu)非均質(zhì)PZT雙晶片的固有頻率為

(26)

利用方程(22)、(26)，可得非均質(zhì)PZT雙晶片歸一化固有頻率為

(27)

對于均質(zhì)PZT雙晶片驅(qū)動(dòng)器，固有頻率為

(28)

(29)

利用式(28)、(29)得到均質(zhì)PZT雙晶片歸一化固有頻率為

(30)

2 算例分析

表1 PZT驅(qū)動(dòng)器相關(guān)材料參數(shù)

圖3 不同基體厚度的非均質(zhì)PZT雙晶片的

圖4 不同基體厚度均質(zhì)PZT雙晶片的

圖5 不同基體材料均質(zhì)PZT雙晶片的

3 結(jié)論

本文采用修正偶應(yīng)力理論結(jié)合哈密頓原理，推導(dǎo)了微米尺度均質(zhì)、非均質(zhì)PZT雙晶片驅(qū)動(dòng)器的運(yùn)動(dòng)控制方程和自由振動(dòng)方程，給出了兩種結(jié)構(gòu)的固有頻率。理論模型通過引入的內(nèi)稟尺寸特征參數(shù)成功捕獲了微米尺度結(jié)構(gòu)的尺度效應(yīng)，并獲得模型隨結(jié)構(gòu)尺寸、基體材料屬性等的變化規(guī)律，具體如下：

1) 不同基體材料對于均質(zhì)/非均質(zhì)PZT雙晶片驅(qū)動(dòng)器歸一化固有頻率的影響有限，對均質(zhì)PZT雙晶片驅(qū)動(dòng)器的影響更明顯。

2) 隨著結(jié)構(gòu)橫、縱向及厚度尺寸的增加，無論均質(zhì)還是非均質(zhì)PZT雙晶片驅(qū)動(dòng)器，歸一化固有頻率均變小，并趨近于1；在結(jié)構(gòu)特征尺寸達(dá)到尺寸參數(shù)5倍時(shí)，歸一化固有頻率接近1。

3) 隨著內(nèi)稟尺寸特征參數(shù)增大，結(jié)構(gòu)的抗彎剛度增加，歸一化固有頻率變大。