呂 輝，楊 坤，尹 輝，上官文斌，于德介

（1.華南理工大學(xué)機(jī)械與汽車工程學(xué)院，廣州 510640； 2.湖南大學(xué)，汽車車身先進(jìn)設(shè)計(jì)制造國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，長沙 410082）

前言

受制造和裝配誤差、材料老化和復(fù)雜工況等因素影響，汽車結(jié)構(gòu)系統(tǒng)不可避免地存在各種不確定性因素［1－2］。不確定性廣泛存在于汽車動(dòng)力總成懸置系統(tǒng)（powertrain mounting system，PMS）中，在實(shí)際工程應(yīng)用中，對(duì)PMS的固有特性進(jìn)行不確定性分析具有十分重要的意義。

近年來，基于不確定性分析技術(shù)的PMS固有特性研究受到了越來越多的關(guān)注。當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)信息充足時(shí)，可基于隨機(jī)模型對(duì)PMS的固有特性進(jìn)行設(shè)計(jì)研究。例如，張武等［3］、時(shí)培成等［4］將懸置的剛度視為隨機(jī)變量，應(yīng)用蒙特卡洛法對(duì)PMS的解耦率進(jìn)行了穩(wěn)健性優(yōu)化。當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)信息匱乏時(shí)，可基于區(qū)間模型對(duì)PMS的固有特性進(jìn)行分析研究。例如，吳杰等［5］、謝展等［6］將懸置剛度等關(guān)鍵參數(shù)處理為區(qū)間變量，基于區(qū)間分析算法對(duì)PMS的固有頻率和解耦率進(jìn)行穩(wěn)健性優(yōu)化設(shè)計(jì)。此外，吳杰和董志新［7］還對(duì)比分析了隨機(jī)和區(qū)間模型在PMS穩(wěn)健性設(shè)計(jì)中的應(yīng)用研究。

上述研究工作均將PMS的不確定參數(shù)視為獨(dú)立變量。然而，實(shí)際工程中汽車結(jié)構(gòu)的系統(tǒng)參數(shù)之間往往存在一定相關(guān)性而非完全獨(dú)立［8］。目前考慮參數(shù)相關(guān)性的不確定性分析模型主要有兩種［9］：橢球凸模型（ellipsoidal convex model，ECM）和多維平行六面體模型（multidimensional parallelepiped model，MPM）。近年來，基于ECM的相關(guān)研究工作已經(jīng)發(fā)展得比較成熟，而基于MPM的相關(guān)研究工作還處于初步探索階段。此外，工程中的不確定參數(shù)往往不是全部相關(guān)的，例如某一部分參數(shù)間有相關(guān)性但它們與其他參數(shù)又互相獨(dú)立。若出現(xiàn)多組各自相關(guān)的不確定參數(shù)組合，基于ECM的不確定性分析方法則需要建立多個(gè)橢球模型［10］，使得建模和計(jì)算過程復(fù)雜化，且不利于后續(xù)的優(yōu)化設(shè)計(jì)。相較于ECM模型僅適用于參數(shù)具有相關(guān)性的情形，MPM模型可用于表達(dá)參數(shù)具有獨(dú)立性，或者相關(guān)性，或者相關(guān)性和獨(dú)立性共存的情形［11］。

對(duì)于汽車PMS模型，同一個(gè)懸置元件的三向剛度間往往存在一定的相關(guān)性［12］，但不同懸置點(diǎn)之間的剛度參數(shù)又相互獨(dú)立，因而適合引入MPM處理懸置參數(shù)的不確定性和相關(guān)性。本文中針對(duì)汽車PMS不確定參數(shù)同時(shí)存在相關(guān)性和獨(dú)立性的情形，基于MPM和蒙特卡洛法提出了一種PMS固有特性的不確定性分析方法，數(shù)值分析結(jié)果驗(yàn)證了方法的有效性和分析結(jié)果的合理性。

1 PMS固有特性計(jì)算

1.1 固有頻率計(jì)算

建立汽車PMS模型時(shí)，一般將動(dòng)力總成視為6自由度剛體，發(fā)動(dòng)機(jī)通過N（N≥3）個(gè)懸置元件支撐在車架或車身上。圖1為一動(dòng)力總成橫置、前輪驅(qū)動(dòng)的動(dòng)力總成懸置系統(tǒng)的6自由度模型［13］。

圖1 汽車PMS的6自由度模型

動(dòng)力總成坐標(biāo)系G0－XYZ中，原點(diǎn)G0位于動(dòng)力總成質(zhì)心處，X軸方向與汽車前進(jìn)方向相反，Y軸平行于發(fā)動(dòng)機(jī)曲軸軸線方向并指向發(fā)動(dòng)機(jī)前端，Z軸垂直指向上方。懸置元件簡化為具有三向剛度的彈性元件，懸置的3個(gè)彈性主軸方向相互垂直，分別用ui、vi和 wi表示（i＝1，2，…，N，N為懸置個(gè)數(shù)），以 3個(gè)彈性主軸建立的坐標(biāo)系E－uiviwi稱為懸置的局部坐標(biāo)系。

由下式可求得系統(tǒng)的固有頻率和振型：

式中：K和M分別為懸置系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣和剛度矩陣。

求解式（1）和式（2），可得到系統(tǒng)的6階固有頻率 fj＝ωj／2π，j＝1，2，…，6，以及與之相對(duì)應(yīng)的振型φj＝［φ1j，φ2j，…，φ6j］T。

1.2 解耦率計(jì)算

系統(tǒng)在作各階主振動(dòng)時(shí)，其能量分布在6個(gè)方向上，可以用矩陣形式表示系統(tǒng)的能量分布，即各個(gè)方向的振動(dòng)能量所占的百分比。當(dāng)系統(tǒng)以第j階固有頻率fj和振型φj振動(dòng)時(shí)，第k個(gè)廣義坐標(biāo)所占的能量百分比［14］為

式中：φkj為 φj的第 k個(gè)分量。

第j階模態(tài)對(duì)應(yīng)的解耦率為

當(dāng)Ej＝100%時(shí)，表示系統(tǒng)作第j階振動(dòng)時(shí)能量全部集中在某個(gè)廣義坐標(biāo)上，該階振動(dòng)完全解耦。

2 多維平行六面體模型分析

實(shí)際工程中可能存在這樣的情形：不確定參數(shù)可分為若干組，組與組之間的參數(shù)相互獨(dú)立，但每一組內(nèi)部的參數(shù)又存在一定的相關(guān)性。對(duì)于此類復(fù)雜情形，可采用多維平行六面體模型（MPM）對(duì)參數(shù)的不確定性和相關(guān)性進(jìn)行描述。文獻(xiàn)［11］中給出了一種MPM的建立方法及其數(shù)學(xué)解析式。

假設(shè)系統(tǒng)存在s個(gè)有界不確定參數(shù)Y＝［Y1，Y2，…，Ys］T，不確定參數(shù)Yt的變化范圍可用區(qū)間表示為

根據(jù)樣本點(diǎn)數(shù)據(jù)，任意兩個(gè)不確定參數(shù)Yt和Yl（t，l＝1，2，…，s且 t≠l）可構(gòu)建一個(gè)四邊形不確定域，如圖2所示。若Yt和Yl相互獨(dú)立，則兩者所得的不確定域?yàn)閳D2中虛線所圍的矩形域ΩS；若Yt和Yl之間存在相關(guān)性，則用圖2中實(shí)線所圍的平行四邊形域Ω表示。

圖2中，a表示半軸CA的長度，b表示半軸CB的長度。相關(guān)系數(shù)ρYtYl定義為

由式（6）可得－1≤ρYtYl≤1，且 ρYtYt＝ρYlYl＝1。a＝b時(shí)，ρYtYl＝0，此時(shí) Yt和 Yl相互獨(dú)立。

多維相關(guān)系數(shù)矩陣ρ表示為

圖2 二維不確定域

式中：ρ為 s×s矩陣；ρYtYt＝1（t＝1，2，…，s）。

s個(gè)不確定參數(shù)構(gòu)成的多維平行六面體域的數(shù)學(xué)表達(dá)為

或

其中：

獲得不確定參數(shù)樣本數(shù)據(jù)后，通過以上方法可得到不確定參數(shù)的區(qū)間，并構(gòu)建相關(guān)系數(shù)矩陣ρ，進(jìn)而可建立MPM模型。在式（7）中，當(dāng)矩陣ρ的所有元素取值為0時(shí)，對(duì)應(yīng)的MPM即可用于描述所有參數(shù)相互獨(dú)立的情形；當(dāng)矩陣ρ的元素取值均不為0時(shí)，對(duì)應(yīng)的MPM即可用于描述所有參數(shù)兩兩相關(guān)的情形；當(dāng)矩陣ρ的部分元素取值為0，部分元素取值不為0時(shí)，對(duì)應(yīng)的MPM即可用于描述參數(shù)相關(guān)性和獨(dú)立性共存的情形。

3 參數(shù)相關(guān)性和獨(dú)立性并存的PMS固有特性分析

對(duì)于PMS，同一個(gè)懸置元件的三向剛度參數(shù)往往存在一定的相關(guān)性，同時(shí)懸置與懸置間的剛度參數(shù)又相互獨(dú)立。本文中將引入MPM和蒙特卡洛法處理懸置參數(shù)的不確定性和相關(guān)性。

分別以 fj（X）和 Ej（X）表示 PMS的固有頻率和解耦率，j＝1，2，…，6，X為系統(tǒng)參數(shù)并用 MPM進(jìn)行描述。蒙特卡洛法是應(yīng)用最為廣泛的一種不確定性分析技術(shù)。基于蒙特卡洛法和MPM求解參數(shù)相關(guān)性和獨(dú)立性并存情形下的 fj（X）和 Ej（X），其主要步驟如下：

（1）對(duì)于懸置系統(tǒng)中的n個(gè)不確定性參數(shù)X＝［X1，…，Xt，…，Xn］T，t＝1，2，…，n，取任意兩個(gè)參數(shù)Xt和 Xl（t，l＝1，2，…，n且 t≠l）的樣本點(diǎn)，確定其區(qū)間的中點(diǎn)及半徑，建立平行四邊形不確定域，并計(jì)算出相關(guān)系數(shù)ρXtXl，對(duì)所有參數(shù)進(jìn)行類似處理，由此得到相關(guān)系數(shù)矩陣 ρ，進(jìn)而建立 MPM的解析式｜G－1ΔY｜≤e；

（2）將參數(shù)X視為獨(dú)立變量，在其變化區(qū)間內(nèi)進(jìn)行蒙特卡洛仿真抽樣，抽樣結(jié)果記為 Xs＝［Xs，1，…，Xs，t，…，Xs，n］T；

（3）對(duì) Xs進(jìn)行篩選，將滿足｜G－1ΔY｜≤e的樣本數(shù)據(jù)記為 Xm＝［Xm，1，…，Xm，l，…，Xm，n］T；

（4）重復(fù)步驟（2）和（3）M1次，獲得 M2組滿足｜G－1ΔY｜≤e的樣本數(shù)據(jù)，并將 M2組 Xm數(shù)據(jù)記為XM2＝｛Xm，1，Xm，2，…，Xm，M2｝；

（5）計(jì)算XM2中每一組樣本數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的固有頻率和解耦率，得到M2組固有頻率和解耦率數(shù)據(jù)；

（6）分別找出系統(tǒng)6個(gè)方向?qū)?yīng)的固有頻率和解耦率的最大值和最小值，即為 fj（X）和 Ej（X）的上界和下界。

蒙特卡洛法的計(jì)算精度隨仿真抽樣次數(shù)M1的增加而提高，當(dāng)抽樣次數(shù)M1足夠大時(shí)，能獲得精確度很高的計(jì)算結(jié)果。

MPM能方便地分析多種情形下的PMS固有特性。一般地，不同懸置之間的剛度參數(shù)無相關(guān)性，對(duì)于具有N個(gè)懸置的PMS，懸置剛度參數(shù)的相關(guān)系數(shù)矩陣ρK可表示為

其中：

當(dāng)所有參數(shù)相互獨(dú)立時(shí)，ρK退化為一個(gè)n階的單位矩陣。

4 算例分析

4.1 PMS模型

以某4點(diǎn)橫置PMS為例［15］。動(dòng)力總成質(zhì)量為215 kg，表1給出了其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和慣性積數(shù)據(jù)，表2和表3分別給出了各懸置的初始靜剛度和安裝位置數(shù)據(jù)。

表1 動(dòng)力總成的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和慣性積 kg·m2

表2 懸置靜剛度 N·mm－1

表3 懸置的安裝位置 mm

4.2 基于MPM的頻率及解耦率計(jì)算

相較于安裝位置和角度參數(shù)，懸置的剛度參數(shù)更易實(shí)現(xiàn)調(diào)整和優(yōu)化，且現(xiàn)有研究大多選擇剛度作為研究參數(shù)。因此，本文中選擇懸置剛度為研究參數(shù)進(jìn)行分析。

工程中，當(dāng)已獲得懸置剛度的樣本數(shù)據(jù)時(shí)，可通過剛度變量的區(qū)間和相關(guān)系數(shù)建立MPM。為便于分析，本文中直接給定不同情形下懸置剛度的MPM。

考慮同一懸置點(diǎn)三向剛度的相關(guān)性，且不同懸置點(diǎn)的剛度相互獨(dú)立，對(duì)4個(gè)懸置點(diǎn)的剛度建立一個(gè)MPM。以表2中懸置的靜剛度值作為設(shè)計(jì)變量的區(qū)間中點(diǎn)，設(shè)區(qū)間半徑為靜剛度的15%，即不確定度為±15%。令各懸置點(diǎn)的三向剛度的相關(guān)系數(shù)相同，均為ρ0，則剛度變量的相關(guān)系數(shù)矩陣ρK可表示為

PMS6自由度分別為質(zhì)心沿X、Y和Z軸的平動(dòng)x、y和 z，以及繞 X、Y和 Z軸的轉(zhuǎn)動(dòng) θx、θy和 θz。對(duì)于橫置發(fā)動(dòng)機(jī)，振動(dòng)激勵(lì)方向主要為z方向和θy方向［16］，因而在PMS設(shè)計(jì)時(shí)一般優(yōu)先考慮這兩個(gè)主要方向的固有特性配置。

分別研究懸置剛度的相關(guān)系數(shù)為0、0.1、0.2、0.3、0.4、0.5、0.7和 0.9等 8種不確定情形。根據(jù)第3節(jié)的計(jì)算方法可求解不同情形下系統(tǒng)的固有特性。表4和表5分別給出了各情形下系統(tǒng)z方向和θy方向的固有頻率和解耦率的上下界數(shù)值。

表4 PMS固有頻率范圍 Hz

為更直觀地比較參數(shù)相關(guān)性大小對(duì)主要設(shè)計(jì)方向系統(tǒng)固有特性的影響，圖3～圖6分別繪出了不同相關(guān)系數(shù)下z方向和θy方向的頻率和解耦率響應(yīng)范圍。

為分析考慮參數(shù)相關(guān)性后的結(jié)果對(duì)系統(tǒng)固有特性的影響，記偏差為純區(qū)間情形（相關(guān)系數(shù)為0）計(jì)算得到的結(jié)果與其他不同相關(guān)系數(shù)情形計(jì)算出的結(jié)果之差的絕對(duì)值，以下通過偏差值進(jìn)行數(shù)據(jù)分析。由表4、表5和圖3～圖6可得如下結(jié)果。

表5 PMS解耦率范圍

圖3 不同相關(guān)系數(shù)下z方向的固有頻率

圖4 不同相關(guān)系數(shù)下θy方向的固有頻率

（1）當(dāng)相關(guān)系數(shù)為0，即各變量相互獨(dú)立（退化為純區(qū)間情形）時(shí)，系統(tǒng)頻率及解耦率的變化范圍最大。

圖5 不同相關(guān)系數(shù)下z方向的解耦率

圖6 不同相關(guān)系數(shù)下θy方向的解耦率

（2）對(duì)于固有頻率，考慮參數(shù)相關(guān)性后，其變化范圍縮窄，但相關(guān)系數(shù)的進(jìn)一步增大對(duì)頻率范圍的影響不大。在z方向，參數(shù)相關(guān)性主要影響頻率的下界，與無相關(guān)性的結(jié)果相比，當(dāng)參數(shù)存在相關(guān)性時(shí)，下界頻率的數(shù)值增大，出現(xiàn)了約0.9 Hz的偏差；在θy方向，參數(shù)相關(guān)性主要影響頻率的上界，與無相關(guān)性的結(jié)果相比，存在約1.4 Hz的偏差。

（3）對(duì)于解耦率，考慮參數(shù)相關(guān)性后，其變化范圍逐漸縮窄。在z方向，參數(shù)相關(guān)性同時(shí)影響解耦率的上下界，其偏差隨相關(guān)系數(shù)增大而增加，與無相關(guān)性的結(jié)果相比，上界的偏差范圍約為5%～13%，下界的偏差范圍約為9%～19%；在θy方向，參數(shù)相關(guān)性主要影響解耦率的下界，與無相關(guān)性的結(jié)果相比，偏差范圍約為13%～17%。

綜合上述分析，對(duì)于本文中的研究模型，考慮其參數(shù)的相關(guān)性后，其固有頻率和解耦率的響應(yīng)區(qū)間均有不同程度的收縮，接近更合理的響應(yīng)范圍。對(duì)于PMS的主要設(shè)計(jì)方向，參數(shù)相關(guān)性主要影響z方向固有頻率的下界和解耦率的上下界；而對(duì)于θy方向，參數(shù)相關(guān)性主要影響系統(tǒng)固有頻率的上界和解耦率的下界。

4.3 各懸置參數(shù)相關(guān)性的影響分析

4個(gè)懸置的參數(shù)相關(guān)性對(duì)系統(tǒng)固有特性的影響效果應(yīng)該是有所差異的。為甄別各個(gè)懸置參數(shù)相關(guān)性對(duì)系統(tǒng)特性的影響，下面研究僅某一懸置具有相關(guān)性時(shí)系統(tǒng)固有特性響應(yīng)。研究過程中，依次任取某一懸置點(diǎn)并令其三向剛度具有相同的相關(guān)系數(shù)（本文中為0.5），且令其余懸置點(diǎn)的三向剛度相互獨(dú)立（相關(guān)系數(shù)為0）。

圖7～圖10分別給出z和θy兩個(gè)方向的固有頻率和解耦率邊界。橫坐標(biāo)表示具有參數(shù)相關(guān)性的懸置點(diǎn)名稱，例如“無”表示4個(gè)懸置點(diǎn)的剛度相互獨(dú)立，“左”表示僅左懸置點(diǎn)的剛度具有相關(guān)性而其他懸置點(diǎn)的剛度相互獨(dú)立。

圖7 僅某懸置參數(shù)相關(guān)時(shí)z方向的固有頻率

圖8 僅某懸置參數(shù)相關(guān)時(shí)θy方向的固有頻率

由圖7可知，右懸置點(diǎn)的剛度相關(guān)性對(duì)z方向固有頻率的影響最為明顯，且主要影響頻率的下界。其他3個(gè)懸置點(diǎn)的剛度相關(guān)性對(duì)z方向固有頻率的影響較小。

由圖8可知，左、右懸置點(diǎn)的剛度相關(guān)性對(duì)θy方向固有頻率的影響比較突出，且主要影響頻率的上界。而前、后懸置點(diǎn)的剛度相關(guān)性對(duì)θy方向固有頻率的影響稍小，也主要影響頻率的上界，且其影響效果相當(dāng)。

圖9 僅某懸置參數(shù)相關(guān)時(shí)z方向的解耦率

圖10 僅某懸置參數(shù)相關(guān)時(shí)θy方向的解耦率

由圖9可知，4個(gè)懸置點(diǎn)的剛度相關(guān)性對(duì)z方向的解耦率均無明顯影響，其中影響較大的是右懸置點(diǎn)的剛度相關(guān)性。

由圖10可知，左懸置點(diǎn)的剛度相關(guān)性對(duì)θy方向解耦率的影響最大，且主要影響解耦率的下界。而其他3個(gè)懸置點(diǎn)的剛度相關(guān)性對(duì)θy方向解耦率的影響較小。

綜合上述分析可知，對(duì)于本文中的研究模型，左右懸置點(diǎn)的剛度相關(guān)性對(duì)系統(tǒng)主要方向的固有特性影響比較明顯，在設(shè)計(jì)和研究過程中應(yīng)對(duì)該兩點(diǎn)懸置的參數(shù)相關(guān)性進(jìn)行重點(diǎn)關(guān)注。

5 結(jié)論

本文中提出了一種基于MPM和蒙特卡洛法的PMS固有頻率和解耦率的分析方法，該方法能有效處理懸置不確定參數(shù)同時(shí)具有相關(guān)性和獨(dú)立性的復(fù)雜情形。相關(guān)分析結(jié)果表明：（1）與未考慮參數(shù)相關(guān)性的區(qū)間方法相比，本文中的方法能獲得更為合理的固有頻率和解耦率區(qū)間邊界；（2）對(duì)于本文中的研究模型，左右懸置點(diǎn)的剛度相關(guān)性對(duì)系統(tǒng)主要設(shè)計(jì)方向固有特性的影響比較明顯，在設(shè)計(jì)和研究過程中應(yīng)給予重點(diǎn)關(guān)注。