湯受鵬

(山東商務(wù)職業(yè)學(xué)院 機(jī)電工程系，山東 煙臺264670)

0 引 言

現(xiàn)代結(jié)構(gòu)工程中存在大量著超靜定結(jié)構(gòu)，比如各種礦產(chǎn)行業(yè)的井下吊裝、海港碼頭吊裝、海洋平臺上的吊裝作業(yè)、大型毛坯零件加工前的吊裝定位和民生建筑內(nèi)大型多線吊燈等。這些結(jié)構(gòu)在使用過程中總是受到各種動力作用，其結(jié)構(gòu)應(yīng)力和變形的動態(tài)效應(yīng)明顯且不容忽視。目前分析這種問題大多采用ANSYS等各種有限元分析軟件，這種做法不僅分析速度快、效率高，而且應(yīng)用正確時結(jié)果也比較可靠；但其缺點一是方面直觀性不強(qiáng)，二是應(yīng)用過程中軟件條件設(shè)置不當(dāng)會導(dǎo)致軟件給出的結(jié)果可能存在著偽數(shù)據(jù)，這對于實際應(yīng)用都是有很大影響的。不過，有些問題可以通過剛體動力學(xué)和材料力學(xué)建立數(shù)學(xué)模型進(jìn)行求解，這樣的解不僅較為精確可靠，參數(shù)之間的關(guān)系明確，而且對于結(jié)構(gòu)可靠性分析和優(yōu)化設(shè)計及參數(shù)敏度分析等都具有重要理論意義，對于檢驗數(shù)值算法結(jié)果的精確度和真?zhèn)我灿兄匾獏⒖純r值。

張曉艷等[1]利用動靜法將動力學(xué)問題轉(zhuǎn)化為靜力學(xué)問題處理，利用成熟的材料力學(xué)知識建立補(bǔ)充方程解決超靜定動力學(xué)問題；利用ANSYS等有限元軟件分析超靜定結(jié)構(gòu)動態(tài)響應(yīng)的固有頻率和振型已被人們廣泛采用[2-4]，趙慶云[5]基于結(jié)構(gòu)力學(xué)基本假定和桿件撓曲微分方程提出了分析超靜定結(jié)構(gòu)靜力學(xué)問題的微分方程法；明書君[6]基于空間力分析和材料力學(xué)線彈性假設(shè)研究了多起重機(jī)吊裝的空間超靜定靜力學(xué)問題；劉妤等[7]利用力法和功能原理研究了具有超靜定特點的微結(jié)構(gòu)靜力學(xué)問題；王和慧等[8]利用超靜定連續(xù)梁模型和赫茲接觸理論等研究了大型回轉(zhuǎn)窯筒體結(jié)構(gòu)的應(yīng)力和變形問題。

本文利用剛體動力學(xué)理論和線彈性變形理論研究了機(jī)器人多拉桿吊裝超靜定動力學(xué)問題，重點討論了拉桿中應(yīng)力和變形的時間變化規(guī)律，并與對應(yīng)的超靜定靜力學(xué)分析結(jié)果做了對比，說明了慣性效應(yīng)的影響規(guī)律。本文分析方法和結(jié)論可為拉桿吊裝系統(tǒng)及類似問題的可靠性分析和優(yōu)化設(shè)計提供理論參考，對于研究那些涉及到桿、柱和梁等簡單構(gòu)件約束的超靜定動力學(xué)問題也有理論參考價值。

1 問題模型與分析

如圖1所示，一個質(zhì)量為m、圍繞其質(zhì)心C的轉(zhuǎn)動慣量為JC的被吊裝剛體C（忽略其變形）是用n根拉桿吊裝的，為了理論結(jié)果推廣應(yīng)用的普遍性，假設(shè)這些拉桿的彈性模量、橫截面積和長度分別為（Ej,Sj,L）（j=1,2,...,n），各個拉桿的兩端分別標(biāo)記為Oj和Aj（j=1,2,...,n），不失一般性。假設(shè)剛體C除了自重還受到力F（t）的擾動，其作用點偏離剛體質(zhì)心C向右的水平距離為δ（δ<0意味著向左偏離）；且整個結(jié)構(gòu)系統(tǒng)和受力都位于同一平面內(nèi)（對于空間問題類似討論），而拉桿都是線彈性變形體。

圖1 拉桿吊裝

圖2 物體C 的受力分析

根據(jù)理論力學(xué)受力分析知道，剛體C受到n根拉桿的吊力Tj（j=1,2,...,n）、自身重力mg和外部擾動力F（t）的共同作用，是典型的平面平行超靜定力系（n≥3）。

為方便研究，建立如圖2所示的坐標(biāo)系xoy，并假設(shè)Aj（j=1,2,...,n）和質(zhì)心C的水平坐標(biāo)分別為xj（j=1,2,...,n）,xC；擾動力F（t）的作用點的橫坐標(biāo)為xF。

利用質(zhì)心運(yùn)動定理和相對于質(zhì)心的動量矩定理對剛體C可以列出如下動力學(xué)方程組：

此外，在小變形假設(shè)條件下，根據(jù)幾何關(guān)系容易得到如下等式：

式中，v（jj=1,2,...,n）是第j根桿件的動變形。

顯然單靠式（1）是無法解決問題的，需要借助于材料力學(xué)列出補(bǔ)充方程才能求解。對于這n根拉桿，討論的思路都是一致的。由于不考慮它們的質(zhì)量慣性效應(yīng)，其動變形vj和軸向力Tj之間滿足如下方程：

將式（2）代入式（3）有

將式（4）代入式（1）整理得

式中

利用主坐標(biāo)變換法求解式（5），考慮到系統(tǒng)主振型的加權(quán)正交性，上述方程可完全解耦處理。

將式（6）代入式（5），并在方程兩邊左乘變換陣ψ的轉(zhuǎn)置矩陣ψT得

為了得到變換陣ψ，求解式（5）對應(yīng)的特征方程

即

式中，λ是特征值。

問題對應(yīng)的特征向量（振型矢量）滿足的方程為

式中，（u1,u2）T是特征矢量，決定于具體特征值的大小。

求解式（9）得

將求得λ1、λ2分別代入式（10）中可以得到兩個特征矢量分別為：

由式（12）和式（13）可以得到變換矩陣ψ為

因而有：

容易證明下面3個等式是成立的，即

所以ψTMψ與ψTKψ都是對角陣，它們分別可簡寫為

因此式（7）可解耦為2個獨立的方程，分別為：

其解分別表示為：

故

這樣由上述結(jié)論，各個拉桿的變形vj、軸向力Tj和應(yīng)力σj（j=1,2,3,4）可分別表示為：

為了比較，假設(shè)不考慮剛體的運(yùn)動，也沒有擾動力F（t）的作用，僅僅考慮整個吊裝系統(tǒng)在被吊裝剛體的重力mg作用下處于靜止?fàn)顟B(tài)時的受力情況，并假設(shè)在這種條件下，剛體質(zhì)心的下垂距離為Y（s）C，剛體圍繞著質(zhì)心轉(zhuǎn)過的角度為α（s）（逆時針轉(zhuǎn)向為正），則按照理論力學(xué)和材料力學(xué)的線彈性理論可以列出如下靜力狀態(tài)下的定解方程組：

解得：

2 算例與分析

在實際工程中，n根拉桿的材料性質(zhì)和尺寸多半是一樣的，在這里假設(shè)它們材質(zhì)的彈性模量均為E=200 GPa，橫截面直徑為20 mm，拉壓剛度ES為6.28×107N，長度L為3 m，m=5×103kg，n=4，xC=1.5 m，x1=0.3 m，x2=0.6 m，x3=2.4 m，x4=2.7 m；重力加速度g=9.80 m/s2，這種拉桿布置是完全對稱的，計算結(jié)果表明，這四根拉桿的變形量都是5.8519×10-4m，受到的軸向力都是12 250 N，應(yīng)力皆為3.9013×107Pa，剛體轉(zhuǎn)動角度為0°，這顯然是符合實際情況的。但實際上拉桿的布置是很難對稱排列的（相對于對稱布置略有偏差），為此假設(shè)拉桿吊點橫坐標(biāo)改為x1=0.27 m，x2=0.62 m，x3=2.41 m，x4=2.68 m，此時計算結(jié)果為：

上述計算結(jié)果表明當(dāng)拉桿布置不對稱或者說有偏差時，各個桿件的受力是不一樣的，總有一根桿處于最危險狀態(tài)，并且被吊裝物體不能水平吊起，存在一定傾斜，這在實際工程中某些個別場合是必須予以關(guān)注的事情。

在上述微小非對稱布置條件下，考慮吊裝物的慣性時，則四根桿件中的最大軸向變形為0.0012 m，最大軸向力為2.4629×104N，最大軸向應(yīng)力為7.8437×107Pa。不過由于四根桿件的空間布置接近于對稱，故它們的動態(tài)變形、動態(tài)軸向力和軸向應(yīng)力的變化規(guī)律和幅度盡管不太一樣但卻比較接近，容易看出考慮動態(tài)性的話，動態(tài)參量都近似為對應(yīng)的靜態(tài)參量的2倍，這與實際情況是吻合的。

若將拉桿布置成明顯非對稱的情形，比如xC=2.0 m，x1=0.1 m，x2=0.4 m，x3=2.8 m，x4=4.0 m。計算結(jié)果是靜態(tài)情況下剛體質(zhì)心的垂直位移為5.9190×10-4m，剛體順時針轉(zhuǎn)角為3.8328×10-5rad；四根桿件的靜態(tài)拉伸變形量vj(s）、靜態(tài)軸向力Tj(s）和靜態(tài)拉伸應(yīng)力σj(s）（j=1,2,3,4）分別為：

若在上述明顯的非對稱布置條件下，考慮動態(tài)響應(yīng)，則四根拉桿的動變形、動態(tài)軸向力和動態(tài)應(yīng)力的變化曲線分別如圖3～圖5所示。

圖3 四根拉桿變形的時間變化曲線

圖4 四根拉桿軸向力的時間變化曲線

圖5 四根拉桿應(yīng)力的時間變化曲線

從動態(tài)效應(yīng)計算結(jié)果來看，四根拉桿的軸向變形、軸向力和軸向應(yīng)力都是時間的周期性函數(shù)（未考慮系統(tǒng)的阻尼），并且很明顯，四根拉桿的動態(tài)軸向變形幅度、動態(tài)軸向力幅度和動態(tài)應(yīng)力幅度都比相應(yīng)的靜態(tài)量大1倍多。此外，由于拉桿布置不對稱，所以第三根拉桿和第四根拉桿在動態(tài)響應(yīng)過程中其動變形、動態(tài)軸向力和動態(tài)應(yīng)力都不同程度地出現(xiàn)了負(fù)值。此時，若拉桿是柔索，將意味著吊裝系統(tǒng)處于非常不利的一種工況，因為這兩根柔索性質(zhì)的拉桿在此情形下是不起作用的，吊裝系統(tǒng)的載荷將會重新分配，因此拉桿吊裝系統(tǒng)設(shè)計應(yīng)該盡可能做到拉桿布置對稱于被吊裝剛體的質(zhì)心，這在實際情況中是非常關(guān)鍵的。

3 結(jié) 論

通過上述理論分析和算例的計算結(jié)果，可以總結(jié)出如下幾個結(jié)論：1）對于桿件、梁和柱等簡單構(gòu)件約束的超靜定力學(xué)系統(tǒng)可以通過材料力學(xué)和理論力學(xué)分析方法得到理論解，這對于系統(tǒng)進(jìn)一步的可靠性優(yōu)化和設(shè)計是方便和有利的。2）對于同一超靜定系統(tǒng)的力學(xué)分析，考慮慣性效應(yīng)和不考慮慣性效應(yīng)，得到的分析解是有較大區(qū)別的，且分析過程的復(fù)雜程度也不一樣。而系統(tǒng)處于動態(tài)環(huán)境下又是常見的，因此分析求解超靜定力學(xué)系統(tǒng)的動態(tài)行為始終是需要進(jìn)行的研究工作。3）本文的工作和結(jié)論對于類似機(jī)器人超靜定動力學(xué)問題的研究具有一定的理論參考價值。4）本文算例結(jié)果表明拉桿的動態(tài)最大響應(yīng)量明顯大于對應(yīng)的靜態(tài)響應(yīng)量，若系統(tǒng)阻尼不大或可忽略，系統(tǒng)的動態(tài)響應(yīng)量變化有一定的周期性。