馮鵬鵬，李祖雄

(湖北民族大學(xué) 理學(xué)院,湖北 恩施 445000)

0 引言

日常生活中,商品的銷量通常受到很多因素的影響,比如廣告的投放、商品的口碑、商場的位置等.當(dāng)商家推出一種新的商品時,商家需要對商品的銷量進(jìn)行預(yù)估,為了更好地預(yù)判商品的市場競爭力,研究者們借助數(shù)學(xué)工具建立適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型進(jìn)行理論分析,用以幫助商家調(diào)整銷售策略.文獻(xiàn)[1-4]通過對廣告模型進(jìn)行分析得出了許多豐富的成果.

Feichtinger[5]研究了一種具有擴(kuò)散效應(yīng)的廣告模型,如下:

(1)

其中X1代表了某品牌在t時刻的潛在購買者,X2表示該品牌在t時刻的購買者,假設(shè)在t時刻潛在消費(fèi)者進(jìn)入商場的輸入率為常數(shù)k,那么潛在購買者的數(shù)量、當(dāng)前購買者的數(shù)量以及時間區(qū)間這三者存在一個比率關(guān)系,這一關(guān)系簡稱為接觸率,這里用α表示.同時,該品牌的購買者中也會有以β為比例轉(zhuǎn)向?qū)α⑵放?由于他們以后還有可能購買該品牌,所以仍將他們歸為潛在消費(fèi)者.又假設(shè)當(dāng)前的消費(fèi)者里會有人以常數(shù)率ε永久離開(例如人口遷移或死亡),令δ=β+ε,就得到了模型(1).

對確定性模型(1)已經(jīng)有許多學(xué)者進(jìn)行了分析并得到了許多好的結(jié)果,然而實(shí)際生活充滿了各種不確定性因素,人們在實(shí)際消費(fèi)時并不總是理性的會受到很多因素的影響,如天氣、路線等因素的影響,把這些影響人們消費(fèi)的因素歸為隨機(jī)干擾,如果不考慮這些因素,得到的結(jié)果將會與實(shí)際有較大的出入.自從伊藤清提出了伊藤積分,人們有了解決隨機(jī)微分方程的工具之后,隨機(jī)微分方程的研究取得了突破性的進(jìn)展并取得了豐碩的成果[6-8].基于環(huán)境因素的對消費(fèi)者消費(fèi)行為的影響,考慮到對模型(1)進(jìn)行隨機(jī)擾動，假設(shè)研究中的隨機(jī)擾動與系統(tǒng)變量成正比，建立對應(yīng)于研究性模型(1)的隨機(jī)系統(tǒng)：

(2)

1 預(yù)備知識

本節(jié)給出本文中所需的相關(guān)定義、引理以及符號說明.

一個d維It型隨機(jī)微分方程如下:

dX(t)=f(X(t),t)dt+g(X(t),t)dB(t),t0≤t≤T,

(3)

其初值為X(t0)=X0,隨機(jī)微分方程(3)等價于下列積分方程:

(4)

定義1[7-9]如果X(t)具有如下的性質(zhì),則稱d-值隨機(jī)過程{X(t)}t0≤t≤T為隨機(jī)微分方程(3)的解:

i) {X(t)}右連續(xù),并且是Ft-適應(yīng)的;

ii) {f(X(t),t)}∈L1([t0,T];d),且{g(X(t),t)}∈L2([t0,T];d×m);

iii) 對?t∈[t0,T],方程(4)依概率1成立.

定義2[10](多維It公式)當(dāng)t≥0時,假設(shè)X(t)是一個滿足如下隨機(jī)分為方程的d維It過程:

dX(t)=f(t)dt+g(t)dB(t),

其中g(shù)∈L2(+;d×m).令V∈C2,1(d×+;),那么V(x(t),t)仍然是It過程且滿足隨機(jī)微分方程：

2 全局正解的存在唯一性

為了研究隨機(jī)模型(2)的動力行為,首先給出一條定理來確保模型(2)全局正解的存在唯一性.

證明證明借鑒文獻(xiàn)[11-12]中的方法,雖然隨機(jī)模型不滿足Lipschitz條件,但是在變換后是滿足局部Lipschitz條件的,也即對于任意給定的初值(x0>0,y0>0),模型在t∈[0,τe)上都存在著局部唯一解,這里τe是爆破時刻.如果能證明τe=,那么模型的解即是全局存在的.

假設(shè)τ≠,那么存在一對常數(shù)T>0及ε∈(0,1),滿足P{τ≤T}>ε.也就是說存在整數(shù)l1≥l0,使得,?l>l1.定義如下的V函數(shù):+,V(x,y)=(x-1-lnx)+(y-1-lny),由u-1-lnu≥0,可知V函數(shù)的正定性.由It公式可以得到:

其中：

又令C=(β-δ)yu+α(yu)2+k+δ，可得：

上式兩邊同時從0到τε∧T積分,并取期望得到：

由此可得：

(V(x0,y0)+CT)≥E[IΩl(ω)V(x(τl,ω),y(τl,w))]=

其中IΩε(ω)是Ωε的指標(biāo)函數(shù),令ε→0可得出矛盾.因此τ=,定理1得證.

3 模型解的漸近行為

本節(jié)將討論當(dāng)外部干擾(即σ1和σ2)過大時,系統(tǒng)的解將會表現(xiàn)出什么樣的動力學(xué)行為,這里首先給出以下定理:

證明由文獻(xiàn)[13]和模型(2)有d(x(t),y(t))=(k+(β-δ)y)dt+σ1xdB1(t)+σ2ydB2(t).令V(x(t),y(t))=ln(x(t)+y(t)),這里x(t),y(t)∈(0,),運(yùn)用It公式得到：

(5)

接下來考慮矩陣：

由定理2,如果條件滿足,那么以上矩陣為負(fù)定矩陣,并且其具有最大特征值λmax(負(fù)的),于是有：

將其帶入到(5)得到：

對上面不等式的兩邊同時積分,并且結(jié)合Brownian運(yùn)動的強(qiáng)大數(shù)定律：

因此,隨著t→,x(t)→0且y(t)→0 a.s.

注1 定理2得到了一個有趣的結(jié)論,可以看到當(dāng)外界的隨機(jī)擾動的強(qiáng)度足夠大時,潛在購買者和購買者都將以概率1指數(shù)趨于0,這說明外界環(huán)境產(chǎn)生的隨機(jī)性干擾確實(shí)會使對消費(fèi)者的購買行為產(chǎn)生很大的影響,隨機(jī)動力學(xué)模型表現(xiàn)出與確定型模型不一樣的動力學(xué)行為.

4 結(jié)語

本文考慮了一類受到隨機(jī)環(huán)境擾動的具有擴(kuò)散效應(yīng)的廣告模型,研究的重點(diǎn)放在了當(dāng)外部干擾強(qiáng)度足夠大,這時會對原來的系統(tǒng)產(chǎn)生較大的影響.如果在模型(2)中考慮加入時滯的影響[14],該模型會更加接近實(shí)際情況,但是會增加研究難度,在未來的工作中會考慮這一問題.