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        一類(lèi)四維時(shí)滯前饋神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的Hopf分支

        2020-05-08 03:43:42王殿宏王文龍
        關(guān)鍵詞:平衡點(diǎn)時(shí)滯分支

        王殿宏,王文龍,李 雪

        (東北林業(yè)大學(xué) 數(shù)學(xué)系,哈爾濱 150040)

        圖1 四維前饋神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)Fig.1 Four-dimensional feed-forward neural network

        近年來(lái),神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)因其在模式識(shí)別、聯(lián)想記憶、組合優(yōu)化、自動(dòng)控制等領(lǐng)域的廣泛應(yīng)用,受到越來(lái)越多的關(guān)注.神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的相關(guān)研究始于20世紀(jì)40年代.1943年,美國(guó)Mcculloch和Pitts首先提出了一種神經(jīng)元的數(shù)學(xué)模型,即MP模型[1].1982年,美國(guó)物理學(xué)家Hopfield提出了Hopfield神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(HNN)模型[2].后來(lái),許多學(xué)者提出并研究了大量的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型,并取得了顯著成果,如細(xì)胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和雙向聯(lián)想記憶等[3-4].

        隨著生物學(xué)、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等領(lǐng)域研究的不斷深入,時(shí)滯動(dòng)力系統(tǒng)的相關(guān)理論被廣泛應(yīng)用到這些領(lǐng)域中[5-7].由于外界干擾和信息處理速度有限,動(dòng)力系統(tǒng)不可避免地存在時(shí)滯,時(shí)滯是影響系統(tǒng)動(dòng)態(tài)行為的一個(gè)關(guān)鍵因素.而動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)除了研究穩(wěn)定性[8-9]外,還可研究其它動(dòng)力學(xué)行為,如振蕩、混沌、多周期和不穩(wěn)定等[10].因此,許多科研工作者相繼對(duì)時(shí)滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的動(dòng)力學(xué)行為進(jìn)行研究[11-12].魏俊杰等[13]研究了具有時(shí)滯的二維網(wǎng)絡(luò)神經(jīng)模型的分支,王春梅等[14]研究了一類(lèi)具有時(shí)滯的三維神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的分支與穩(wěn)定性,李秀玲[15]研究了具有時(shí)滯的四維神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的分支問(wèn)題,本文對(duì)圖1所示的四個(gè)神經(jīng)元的前饋神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型進(jìn)行研究.

        由圖1,可建立如下方程:

        (1)

        其中ui(t)(i=1,2,3,4)表示第i個(gè)神經(jīng)元t時(shí)刻的活躍狀態(tài),a,b為連接權(quán)值,τ≥0表示神經(jīng)元傳輸時(shí)滯.關(guān)于活躍函數(shù)f,在本文中假定:

        (H1)f∈C1,f(0)=0,f′(0)=1;

        在(H1)的條件下,系統(tǒng)(1)在平衡點(diǎn)(0,0,0,0)的特征方程為:

        (2)

        其中Δ1=λ+1-(a+b)e-λτ,Δ2=λ+1-ae-λτ.

        本文主要研究?jī)?nèi)容如下:針對(duì)模型(1),利用中心流形定理和規(guī)范型理論,討論了該模型產(chǎn)生Hopf分支的條件,假設(shè)輸出函數(shù)為雙曲正切函數(shù),以μ作為分支參數(shù)計(jì)算其產(chǎn)生Hopf分支的直到三次項(xiàng)的約化規(guī)范型,并研究了Hopf分支周期解的穩(wěn)定性及分支方向;最后通過(guò)數(shù)值模擬仿真,對(duì)理論結(jié)果進(jìn)行了驗(yàn)證.

        1 Hopf分支存在性

        定理1 如果(H2)a+b<-1,-1

        i) 當(dāng)τ∈[0,τ0)時(shí),系統(tǒng)(1)在平衡點(diǎn)(0,0,0,0)處是局部漸近穩(wěn)定的.

        ii) 當(dāng)τ=τj(j=0,1,…)時(shí),系統(tǒng)(1)在平衡點(diǎn)(0,0,0,0)處產(chǎn)生Hopf分支,其中:

        證明i) 當(dāng)τ=0時(shí),那么特征方程(2)的根分別為λ1=a+b-1<0和λ2=a-1<0,即平衡點(diǎn)(0,0,0,0)漸近穩(wěn)定.

        所以,當(dāng)τ∈[0,τ0)時(shí),Δ1=0的根都具有嚴(yán)格負(fù)實(shí)部.

        綜上可得,當(dāng)τ∈[0,τ0)時(shí),特征方程(2)的根都具有嚴(yán)格負(fù)實(shí)部,即系統(tǒng)(1)在平衡點(diǎn)(0,0,0,0)處是局部漸近穩(wěn)定的.

        ii) 由Hopf分支產(chǎn)生的條件可知,當(dāng)τ=τj(j=0,1,2,…)時(shí),系統(tǒng)(1)在平衡點(diǎn)(0,0,0,0)處產(chǎn)生Hopf分支.

        2 Hopf分支規(guī)范型

        假設(shè)輸出函數(shù)為雙曲正切函數(shù),將其作為神經(jīng)元的觸發(fā)非線性函數(shù).即:f(·)=tanh(·).

        則系統(tǒng)(1)變?yōu)?

        (3)

        定理2 假設(shè)條件(H2)成立,當(dāng)τ=τ0時(shí),以μ為分支參數(shù),系統(tǒng)(3)在平衡點(diǎn)(0,0,0,0)處產(chǎn)生Hopf分支的直到三次項(xiàng)的約化規(guī)范型為:

        (4)

        則系統(tǒng)(3)可寫(xiě)為:

        (5)

        對(duì)于φ∈C,定義:

        (6)

        其中η是定義在[-1,0]上的有界變差函數(shù)矩陣,令η(θ)=τAδ(θ)+τBδ(θ+1),δ(θ)是Dirac delta函數(shù),則:

        通過(guò)計(jì)算可得:

        將相空間C分解為:C=P⊕Q,其中Q={φ∈C|(ψ,φ)=0,ψ∈P*}.在擴(kuò)充相空間BC中,系統(tǒng)(5)可以寫(xiě)成抽象的常微分方程:

        (7)

        其中A是無(wú)窮小生成元A0的延拓[17].

        定義投影映射π:BC→P,滿(mǎn)足:

        π(φ+X0α)=Φ[(Ψ,φ)+Ψ(0)α].

        (8)

        則空間BC可分解為:BC=P⊕kerπ,于是系統(tǒng)(7)可寫(xiě)成:

        (9)

        其中x∈C2,y∈Q1=Q∩C1?kerπ,C表示復(fù)數(shù)域.

        令u=Φx+y代入系統(tǒng)(9)并展開(kāi)可得:

        (10)

        其中:

        (11)

        其中:

        由式(11)可知:

        μx1e1,μx2e2

        在中心流形中,方程(10)可寫(xiě)為如下形式的規(guī)范型:

        (12)

        所以,系統(tǒng)(3)在平衡點(diǎn)(0,0,0,0)處產(chǎn)生Hopf分支的直到三次項(xiàng)的約化規(guī)范型為式(4).

        令x1=r(cosθ-isinθ),x2=r(cosθ+isinθ),并忽略高階項(xiàng),則系統(tǒng)(4)可以寫(xiě)成:

        (13)

        根據(jù)文獻(xiàn)[18],得到以下定理.

        定理3 如果-并且μ足夠小,則:

        (14)

        是系統(tǒng)(13)的周期軌道.

        定理4 對(duì)于系統(tǒng)(13),

        i) 當(dāng)μ<0時(shí),原點(diǎn)是漸近穩(wěn)定的;

        ii) 當(dāng)μ>0時(shí),原點(diǎn)是不穩(wěn)定的;且此時(shí)產(chǎn)生漸近穩(wěn)定的周期解.

        3 數(shù)值模擬

        針對(duì)系統(tǒng)(3)產(chǎn)生Hopf分支的情形進(jìn)行數(shù)值模擬.取a=-0.5,b=-0.6時(shí),條件(H1),(H2)成立,系統(tǒng)(3)在平衡點(diǎn)(0,0,0,0)處產(chǎn)生Hopf分支.計(jì)算得,ω0=0.458 3,τ0=5.917 8.

        取μ=-1.417 8<0,則τ=τ0+μ=4.5時(shí),由定理4可知,此時(shí)平衡點(diǎn)(0,0,0,0)是局部漸近穩(wěn)定的,如圖2.

        取μ=0.082 2>0,則τ=τ0+μ=6,由定理4可知,此時(shí)平衡點(diǎn)(0,0,0,0)是不穩(wěn)定的,如圖3;并且此時(shí)會(huì)產(chǎn)生漸近穩(wěn)定的周期解,如圖4.

        圖2 τ=4.5<τ0=5.178,平衡點(diǎn)(0,0,0,0)局部漸近穩(wěn)定Fig.2 The local asymptotic stability of equilibrium point(0,0,0,0)when τ=4.5<τ0=5.178

        圖3 τ=6>τ0=5.9178,系統(tǒng)(3)出現(xiàn)周期解Fig.3 The periodic solution of system (3) when τ=6>τ0=5.917 8

        圖4 系統(tǒng)(3)周期解的穩(wěn)定性Fig.4 Stability of periodic solution of system (3)

        4 結(jié)語(yǔ)

        本文研究了一類(lèi)四維時(shí)滯前饋神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型(1),對(duì)該模型產(chǎn)生Hopf分支的情形進(jìn)行討論,利用中心流形定理和規(guī)范型理論,以μ為分支參數(shù)計(jì)算相應(yīng)的規(guī)范型,得到了系統(tǒng)產(chǎn)生Hopf分支周期解的條件,并給出了分支周期解穩(wěn)定性及分支方向的判別條件.最后,通過(guò)計(jì)算機(jī)數(shù)值模擬仿真,對(duì)理論結(jié)果進(jìn)行了驗(yàn)證.

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