葉立軍 戚方柔

(杭州師范大學經亨頤教師教育學院 311121) (杭州師范大學理學院 311121)

1 問題的提出

教材作為教學活動的主要用書[1]，系統(tǒng)反映了學科內容，利于數學課程目標的實現．數學教材比較成為當今數學教育研究的熱點問題之一．

“幾何”是初中數學中重要的教學內容之一，研究空間結構及其性質．“圓”作為幾何體系中不可或缺的部分，其有關知識在中美教材中占據了較大的比重，且兩國編寫教材時均對其邏輯性進行了嚴密的分析．本文基于“圓”教材內容，通過宏觀和微觀兩個角度對兩國教材進行比較，探究兩國幾何教材的異同點，以期為我國初中數學課程改革提供參考．

2 研究對象

我們選擇了浙江教育出版社出版的初中數學義務教育教科書(以下簡稱浙教版)、人民教育出版社出版的初中數學義務教育教科書(以下簡稱人教版)和美國Glencoe McGraw-Hill出版社出版的初中數學教科書(以下簡稱美國GMH教材)這三種教材作為研究對象，采用比較法和文獻研究法，分別從宏觀與微觀兩個角度，對三種教材中“圓”的內容進行定性、定量的分析與比較．

3 宏觀比較

3.1 背景信息比較

我們分別從章名稱、所屬教科書、出版社、內容頁數和教材總頁數等背景信息，對三種教材中“圓”的內容進行比較，得到表1．

由表1，浙教版和人教版都將與圓有關的內容安排在九年級，并分散在兩章，浙教版將直線與圓的位置關系放在九年級下冊進行學習，人教版則將所有內容放在九年級上冊；而美國GMH教材則將圓安排在八年級．

表1 圓內容背景信息比較

3.2 章節(jié)編排順序比較

將三種教材中的圓內容按章節(jié)編排順序進行比較，結果如表2所示．

表2 圓內容編排順序比較

由表2，浙教版和人教版按圖形的旋轉、圓的性質、直線與圓的位置關系的順序進行學習，浙教版將圖形的旋轉和圓的基本性質歸為一章，直線與圓的位置關系在下一章中；人教版則將旋轉安排為單獨一章．美國GMH教材先安排了圓周長、角度、弧度、弧、弦和切線等基礎知識，進而學習圓的基本性質，并根據性質做適當拓展，最后將圓的方程安排在章末進行學習，而關于多邊形和扇形等內容，教材則單獨安排在下一章中．

3.3 核心知識點所占比重比較

根據圓有關知識點較多的特點，我們對三版教材中的核心知識點進行宏觀比較．核心知識點所占的比重主要指核心知識點所包含的節(jié)數、頁碼數分別占整章內容的節(jié)數和頁碼數的比重，統(tǒng)計結果如表3．

表3 核心知識點所占比重比較

由表3，三版教材的節(jié)數基本相同，但美國GMH教材的節(jié)比重和頁碼比重較少．從頁碼數來看，人教版的頁碼數最少，而浙教版的體例篇幅相對較長．

4 微觀比較

4.1 知識呈現方式比較

我們對知識點呈現方式進行的分類見表4．

表4 知識點呈現方式

根據表4的知識點呈現方式比較模型[2]，我們選取圓心角定理和弧長公式的呈現方式進行比較，得到表5、表6．

由表5，在知識導入方面，浙教版和美國GMH教材選用了生活中的圓心角例子，讓學生產生直觀感受，可見兩版本教材都較注重聯系生活背景；在知識體驗和知識講解上，浙教版和人教版設計了類似的活動，引導學生自主發(fā)現圓心角、弧、弦之間的關系，從中可以看出兩版本教材對學生“自主探究、發(fā)現猜想、驗證結論”的重視，而美國GMH教材則直接給出定義，缺少了理解性的體驗；在知識表征上，三版教材均用了文字語言，所不同的是，美國GMH教材增加了具體的圖形例子幫助理解，并強調了弧、弦等數學語言的寫法，可見其對數學規(guī)范的關注；最后，在知識應用和知識拓展方面，浙教版、人教版選取了一些難度適中而有所延伸的題目，美國GMH教材則偏向于對定理的直接應用．

由表6，在知識導入方面，浙教版采用生活情境導入，人教版未做安排，美國GMH教材采用復習 引入的方式，可以看出其對知識連貫性的重視；在知識體驗和知識講解方面，浙教版和人教版均由圓的周長公式推導得出弧長公式，美國GMH教材直接利用弧與角度的比例關系變形而得，說明兩國教材都較注重以已學知識為基礎來探究新知；在知識應用和知識拓展方面，浙教版、人教版更重視與生活的聯系和應用，而美國GMH教材選取了大量的幾何例子以掌握基礎，可見兩國教材在習題難度和理念上的差異．最后，三版教材在此節(jié)中都沒有進行相關延伸．

表5 圓心角定理的呈現方式比較

表5 圓心角定理的呈現方式比較(續(xù))

表6 弧長公式的呈現方式比較

4.2 知識背景比較

根據表7的知識背景分類，比較三版教材中圓的有關知識點和例習題的知識背景，結果如表8．

表7 知識背景分類

表8 知識背景的比較

由表8可得到圖1，圖中顯示三版教材均涉及生活背景、數學背景和少量的文化背景，可以看出三版教材對數學文化價值的逐漸關注，不同的是人教版和美國GMH教材還涉及了科學背景，表明兩版教材對跨學科綜合價值的重視[3]．從具體數值上可以看到，數學背景所占比重最大，其次是生活背景，且美國GMH教材的數學背景是三版教材中數值最高的．

圖1 知識背景比較圖

4.3 核心知識點目標水平比較

根據我國和美國的課程標準以及數學教育標準等，我們將每一個核心知識點的目標水平分為：了解、理解、掌握與運用，并賦權重取值為1,2,3．為研究核心知識目標水平的深度，我們利用以下公式進行深度量化：

其中，hi(i=1,2,3)依次表示了解、理解、掌握與運用的水平深度，取值為1,2,3；ni表示hi目標水平的知識點的個數，n表示核心知識點總數．

由于人教版和浙教版均根據《義務教育數學課程標準(2011年版)》編排知識內容，因此兩者的知識目標水平相同[4]．我們不妨將兩者結合，分別從中國和美國角度對教材的核心知識點目標水平進行比較，統(tǒng)計結果如表9．

表9 核心知識點目標水平比較

由表9，兩國教材中與圓有關的核心知識點數量基本一致，在三個目標水平中，“掌握和運用”一項要求最多；不同點在于美國GMH教材在“了解”“理解”上的要求都高于浙教版和人教版，但在總體難度上低于該兩版教材．單看每個國家教材本身的目標水平百分比，中國兩版教材的“理解”“掌握和運用”水平相差較大，而美國教材在這兩方面的水平相差較小，可以看出美國GMH教材更注重學生對圓相關知識的理解．

4.4 例習題綜合難度比較

選取“圓心角”和“圓周角”這兩個極具代表性的章節(jié)內容，引入鮑建生課程綜合難度比較模型[5]，對三版教材中相應的例習題綜合難度進行比較．首先對該部分幾何內容的例習題總數進行統(tǒng)計，得到表10．

表10 例習題數量統(tǒng)計

由表10，浙教版例習題數量最多，美國GMH教材緊隨其后，人教版相對較少，但三版教材的共同點在于例習題題量一般，需要課外練習進一步加強鞏固．同時，我們對每個例習題的水平進行劃分，結果如表11．

表11 例習題難度因素統(tǒng)計

根據表11計算出每個難度因素的加權平均，得到表12．

表12 例習題難度因素的加權平均值

根據表12我們繪制了雷達圖，得到圖2．

圖2 例習題難度因素雷達圖

從整體看，三版教材中探究和推理的數值最高，而例習題背景的數值最低.可見，三版教材都較注重培養(yǎng)學生的探究能力和推理能力，而對知識背景的關注不夠．從單個因素來看，浙教版的探究、運算和推理數值略高于人教版和美國GMH教材，注重學生的推理和運算能力．在背景方面，三版教材都以無背景為主，但美國GMH教材涉及個人生活和公共常識，說明其重視知識與生活的聯系．而在知識含量上，美國GMH教材數值最低，例習題以單個知識點和兩個知識點為主，更注重基礎訓練．

5 啟示

5.1 豐富教材情境，激發(fā)學生學習興趣

PISA研究表明，情境性是學習的本質屬性，脫離實際情境的學習，只能獲得“惰性”知識[6]．教材的背景不能局限于數學背景，更要關注生活、文化、科學等背景情境，從生活常識中抽象出幾何圖形或幾何關系，加深學生對知識的印象，提高學生的數學抽象能力．美國GMH教材中的Real-World Link部分，將知識和生活、文化等相聯系，學會用數學的眼光看世界．教材編寫還可考慮將情境和習題相結合，增加知識的應用性和趣味性．

5.2 設置問題串，引導學生深度思考

美國GMH教材在知識目標上更側重“了解”和“理解”水平，注重用基本概念進行轉化思考和解決問題．從本質上看，數學教學的核心是思維活動，思維活動的集中表現在于提出問題、分析問題和解決問題，在教學的各個環(huán)節(jié)設置問題是激發(fā)學生思維活動的重要切入點．教材在編寫時應以實驗、舊知、生活等貼近學生認知的素材為起點，采用“小問題，逐推進”的方式，設置一系列問題串，增加學生的理解性體驗．在選用低起點、小問題的教學設計前，要注意知識的連貫性和系統(tǒng)性，避免無效地降低難度，造成學生思維的脫節(jié)．

5.3 重視課程內容的適度拓展，滿足學生個性化發(fā)展需要

實踐表明，適當的拓展有利于教學對象主體化、完善認知結構、改善學習習慣、拓寬學習渠道等，有效落實提高學生核心素養(yǎng)的課程目標．教材可在一些章節(jié)最后設置知識延拓，如實驗操作、軟件驗證和設計方案等，注重學科性和實踐性的結合，甚至將一些概念、命題設置在課后情境或活動練習中，培養(yǎng)學生的問題意識和邏輯推理能力．對于某一知識點，可考慮構造許多不同形式的習題，做到同點異構，層次分明，加大學生自主發(fā)揮的空間．