李小豐

多層土壓密注漿抬升時上抬力計算分析

李小豐

(中鐵十八局集團 第五工程有限公司，天津 100855)

建筑物注漿的關鍵是經(jīng)過注漿后對既有建筑物的抬升效果進行動態(tài)控制和工后恢復，以此減小建筑物的不均勻沉降。考慮三維破壞機制，采用非線性Mohr-Coulomb破壞準則構建一個軸對稱的土體破壞機制，對壓密注漿的抬升作用進行力學分析?；跇O限分析上限定理，通過變分計算求出單個土層地表隆起時上抬力的表達式，再將表達式推廣到各個土層，得到多層土注漿抬升時上抬力的求解方程和土體破壞面的上限解，結合前人的計算結果對比分析來驗證本文理論的正確性。

多層土；三維破壞；上抬力；注漿；非線性破壞

注漿抬升技術的原理是利用注漿過程中漿液產(chǎn)生的上抬力使建筑物發(fā)生上抬位移，其最早是用于建筑物的糾偏。初期注漿技術大部分應用于地基加固或防滲處理工程中，而在壓密注漿中產(chǎn)生的上抬力和地表隆起現(xiàn)象則一直被認為是此工藝產(chǎn)生的不利影響。直到20世紀80年代，其抬升作用的正面影響才逐漸被人們所重視，工程人員也逐漸開始嘗試在實際工程中利用這種正面影響。Graf[1]提出可以利用壓密注漿的抬升效應來糾正建筑物的偏差，認為壓密注漿的主要用途是通過擠密土體改善土體性能，還可以通過土體中形成的樁體抬起建筑物，用于發(fā)生不均勻沉降的建筑物糾偏。Bolton等[2]對軟黏土地層中進行隧道掘進時壓密注漿的抬升效應進行研究，分析了其對地層變形的影響規(guī)律，并指出在超固結黏土中的注漿效果比在正常固結黏土中好。易小明等[3]通過相關分析和數(shù)值模擬，對注漿抬升參數(shù)選取進行了初步優(yōu)化，對房屋的抬升量進行了預測。董葳[4]研究了劈裂注漿、壓密注漿和滲透注漿3種注漿方式之間的區(qū)別，并采用數(shù)值模擬的方式開展了深入研究。章敏等[5]推導出了多漿泡在均勻及非均勻2種擴張模式下地表抬升變形的理論計算公式及其簡化形式。李夢天等[6]根據(jù)隨機介質理論建立注漿抬升計算方法及簡化算法，分別研究壓密注漿與劈裂注漿對地表抬升的影響機制。唐智偉等[7]構建了關于土體體積應變增量、土體位移量及注漿量關系的模型，通過對注漿單元體施加膨脹壓力模擬了單孔注漿時注漿抬升量，并分析了注漿抬升的變化規(guī)律?，F(xiàn)有研究大多都是定性分析、試驗擬合或數(shù)值模擬研究，注漿過程中土層真實的破壞情況和土體層數(shù)往往沒有考慮，壓密注漿壓力及注漿引起地表隆起時上抬力的計算也很少涉及且沒有考慮三維破壞的情況?？紤]三維破壞機制，基于非線性Mohr-Coulomb破壞準則和極限分析上限定理，本文通過變分計算得到多層土注漿抬升時上抬力的求解方程和土體破壞面的上限解。結果表明，在相同計算條件下2種計算方法得到的注漿上抬力有一定的差值，導致的原因可能是考慮多層土時，其注漿深度往往要比單層土時的注漿深度大，所以在相同的漿泡半徑下注漿上抬力也更大。本文提出的計算方法可用于工程中壓密注漿抬升時注漿壓力選取。

1 問題陳述

現(xiàn)有研究中對于壓密注漿壓力及上抬力的確定是綜合考慮漿泡擴張和土體錐形剪切破壞2種變形模式，然而針對土體錐形剪切破壞的研究僅僅只考慮二維平面內，很少涉及到三維土體模型的 計算。

采用ZOU等[8]提出的二維破壞曲線，通過繞軸旋轉的方式將其改進為三維破壞模型，并忽略漿泡重力作用的影響，如圖1所示。

圖1 漿泡的錐形剪切破壞模型

與二維破壞機制相比，三維破壞機制的構建是一個相對復雜的問題。然而，考慮到球對稱的關系，在一個同心球面上的所有點都具有相同的應力狀態(tài)，軸對稱破壞機制更適合描述壓密注漿過程中的土體變形模式。在前人研究的基礎上，建立漿泡的軸對稱破壞機制，如圖1所示。

如圖2所示，土體發(fā)生破壞的部分涉及了個土層，分別用土層1，土層2，…，土層表示，每個土層的垂直高度分別用1，2，…，H表示。軸對稱破壞機制的具體構造過程如下：首先，由于每個土層的力學性能具有顯著差異，在坐標系的半平面上建立由條曲線組成的二維破壞模型，這條曲線分別代表每個土層的破壞曲線，用1()，2()，…，f()表示。對于破壞曲線的連續(xù)性，假定相鄰曲線在土體界面上相交于一點，交點的橫坐標分別是1，2，…，L。其次，將二維破壞曲線繞軸旋轉360度，建立三維軸對稱破壞機制，由破壞曲線旋轉形成的破壞面為速度不連續(xù)面。

圖2 多層土中土體破壞機制

2 理論和方法

2.1 非線性Mohr-Coulomb破壞準則

自首次提出以來，線性Mohr-Coulomb破壞準則被廣泛應用于描述土體的特征強度。然而，許多實驗表明在σ?τ應力空間中，土體的破壞包絡線并不是線性的，線性Mohr-Coulomb破壞準則僅僅是一個特例。因此，非線性Mohr-Coulomb破壞準則更適合于土體結構的變形分析?；诖耍疚倪x擇非線性Mohr-Coulomb破壞準則展開研究，其表達式如下[9?11]：

將式(1)繪制成如圖3所示的曲線，式中：σ為法向應力；τ為切向應力；0，σ和均為土體的材料參數(shù)，具體值的選取可以通過室內試驗決定；0和σ分別是曲線與縱軸和橫軸的截距，曲線恒定通過(0,0)和(?σ,0)2個點；是決定曲線彎曲程度的非線性系數(shù)，當=l時，式(1)變?yōu)榫€性Mohr- Coulomb破壞準則。

2.2 上限定理

上限定理是解決土體結構穩(wěn)定問題的有效方法，其定義如下：對于滿足速度邊界條件、幾何方程和體積不變條件的任意速度場，由虛功方程確定的荷載肯定大于或等于其真實荷載，其表達式為：

式中：σij和分別為運動許可速度場中的應力張量和應變率張量；Ti為附加在邊界上的荷載；Xi為體力；V為土體破壞部分的體積；vi是沿速度不連續(xù)面的速度。

因為上限定理的前提條件是土體被假定為理想塑性介質并忽略其幾何變形，所以基于2點假設建立軸對稱三維破壞機制：1) 漿泡上方土體均服從相關聯(lián)流動法則；2) 漿泡上方土體均為理想剛塑性體，發(fā)生破壞時符合非線性M-C準則。

3 上抬力求解

3.1 單層土破壞機制

為了研究方便，本節(jié)首先研究單一土層中漿泡的軸對稱破壞機制?；谙嚓P聯(lián)流動法則和非線性Mohr-Coulomb破壞準則，可以先對速度不連續(xù)面上的法向和切向應力?應變進行求解，再推導出速度不連續(xù)面上任意點的內部能量耗散功率。

對于遵從相關聯(lián)流動法則的材料(稱之為標準材料)，其塑性勢面必須與屈服面相同，并且塑性應變增量也必須與塑性勢的應力梯度成正比例關系。因此塑性勢函數(shù)可以寫為：

然后，將塑性應變率寫成下面的形式：

由此可以求得速度不連續(xù)面上任意點的內部能量耗散功率為：

式中：是漿泡半徑；1是相鄰的速度不連續(xù)曲線第1個交點的橫坐標。速度不連續(xù)破壞面上總的內部能量耗散可以通過對任意一點處的內能耗散功率積分求得，其表達式為：

在坐標系中，旋轉體的體積可以寫成如下表達式：

將土體的容重乘以旋轉體的體積，可以得出土體破壞部分總的重力功率，其表達式為：

式中：是土體重度。

發(fā)生抬升作用時注漿壓力1的總功率為：

根據(jù)上限定理，總外力功率等于總內能耗散功率，于是有：

將式(11)，(13)和式(14)代入式(15)，可求得發(fā)生抬升作用時漿泡所施加的上抬力的表達式為：

將式(17)代入式(18)中，可以得到以下的微分方程為：

其中：

不難發(fā)現(xiàn)，式(20)是不顯含()的二階方程，可以利用替代法降階為一階方程，通過分層法將土體看成若干個土層，每一層土體的破壞曲線()近似為直線，于是有：

則()的二階導數(shù)可以表示為：

將式(22)和式(23)代入到式(20)中，可以得到以下等式：

由式(24)可以看出，它是一個伯努利方程，可以通過變量代換轉換成一個線性微分方程。為了實現(xiàn)這一變量代換，可以令：

將式(25)代入到式(24)中，原等式可以化簡為：

很明顯可以看出，式(26)為一階非齊次微分方程，可以通過常數(shù)變易法求出其通解的表達式為：

式中：1是一個積分常數(shù)，可由邊界條件確定。

將式(25)代入式(22)中，可以得到以下表達式：

將式(33)代入式(16)并積分，可以得到發(fā)生抬升作用時漿泡所施加的上抬力的表達式為：

3.2 多層土破壞機制

對于多層土，不同土層的力學性質有明顯的差異，為了容易區(qū)分，用下標1，2，…，表示土層1到土層的力學參數(shù)。與前面的分析類似，每一層都應該滿足上限定理，即總外力功率等于總內能耗散功率。雖然其力學性質不同，但各土層的內能耗散功率與式(9)相同，由此可以首先計算每一土層速度不連續(xù)破壞面上總的內部能量耗散，其表達式分別為：

式中：是漿泡半徑；1，2，…，L是相鄰速度不連續(xù)破壞曲線交點的橫坐標。

類似于式(13)，可以再計算每一層土體破壞部分總的重力功率，其表達式分別為：

不同的是，發(fā)生抬升作用時漿泡所施加的上抬力的總功率求法不一樣。對于土層1，其上抬力的作用面是漿泡的上表面；對于土層2到土層，其作用面可以看成是近似圓面。所以每一土層上抬力的總功率的表達式分別為：

由于每一層土都應該滿足總外力功率等于總內部能量耗散功率，于是應該有：

那么發(fā)生抬升作用時漿泡所施加的整個上抬力即為各個土層的上抬力p(=1，2，…，)之和，于是其表達式為：

由于土層力學性質不同，交叉點相鄰速度不連續(xù)破壞曲線斜率不相等。因此，相鄰破壞曲線的連接不再光滑，這與多層土中注漿時的土體破壞特征是一致的。通過對式(41)進行積分，可以得到速度不連續(xù)破壞曲線的表達式為：

式中：2，4，…，2n是積分常數(shù)。

考慮到速度不連續(xù)曲線的連續(xù)性，應滿足下列邊界條件：

將式(42)代入到式(43)中，可以得到積分常數(shù)的表達式為：

從式(44)可以看出，當已知1，2，…，L的值時，積分常數(shù)2，4，…，2n的值可以通過迭代的方法求得。因此，式(41)和式(44)中均只有個未知數(shù)1，2，…，L，考慮到交叉點的坐標與土層高度有關，可以得到?1個邊界條件：

3.3 計算方法

雖然在之前的分析中已經(jīng)表明了含個土層的軸對稱破壞機制，但仍然存在計算問題。為了解決這個問題，計算程序假定破壞機制首先只涉及一個土層；然后，將=1代入得到的解析表達式中，建立非線性方程；其次通過求解非線性方程，可以得到第1層破壞機制的未知參數(shù)和垂直高度，用表示。如果第1層破壞機制的垂直高度小于第1層土的高度，即：≤1，如圖4(a)所示，得出的破壞機制是正確的，由此求出相應的上抬力，計算過程結束。如果>1，如圖4(b)所示，軸對稱破壞機制涉及到上部土層。在這種情況下，計算程序重新開始，土層數(shù)增加1，即=2。當?shù)?層破壞機制的計算高度小于第1層的高度時，該計算過程最終停止。具體的計算流程如圖5所示。

4 驗證與分析

為了驗證本研究的正確性，重點討論涉及2個土層的注漿上抬力和破壞面，將本章單層土與多層土的求解結果進行對比分析。采用的計算參數(shù)為：01=30 kPa，02=45 kPa，σ1=40 kPa，σ2=55 kPa，1=17 kN/m3，2=21 kN/m3，1=1.6，2=1.4和1=4 m，通過MATLAB編程計算得到了多層土中壓密注漿上抬力與漿泡半徑的變化規(guī)律，如圖6所示，同時還得到了壓密注漿抬升時土體發(fā)生剪切破壞的破壞面形式，如圖7所示。

如圖6所示，多層土中壓密注漿時漿泡對土體產(chǎn)生的上抬力與漿泡半徑成反比例關系。對比結果表明，相同計算條件下2種計算方法得到的注漿上抬力有一定的差值，導致的原因可能是考慮多層土時，其注漿深度往往要比單層土時的注漿深度大，所以在相同的漿泡半徑下注漿上抬力也更大。圖7中顯示的土體破壞面形式也服從實際土體中的破壞情況，因此可以驗證本文所提出的注漿上抬力和破壞面的求解計算方法是具有可靠性與準確性的。

(a) H≤H1；(b) H>H1

圖5 計算流程圖

圖6 注漿上抬力與漿泡半徑的變化曲線

圖7 破壞面形式

5 結論

1) 考慮三維破壞機制并基于非線性Mohr -Coulomb破壞準則和極限分析上限定理，通過變分計算得到多層土注漿抬升時上抬力的求解方程和土體破壞面的上限解。

2) 通過對比研究結果表明，考慮多層土時在相同的漿泡半徑下注漿上抬力也更大。

3) 本文提出的計算方法可用于工程中面對復雜工況時考慮多層土情況的壓密注漿抬升時注漿壓力的選取。

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Calculation and analysis of uplifting force in multi-layer soil compaction grouting

LI Xiaofeng

( The 5th Company of the China Railway 18th Bureau Group Co., Ltd, Tianjin 100855, China)

A key link in grouting construction is to dynamically control the lifting effect of existing buildings and recover after grouting, in order to reduce the uneven settlement of buildings. Considering the three-dimensional failure mechanism, this paper constructed an axisymmetric soil failure mechanism using nonlinear Mohr-Coulomb failure criterion, and analyzed the uplifting effect of compaction grouting. Based on the upper bound theorem of limit analysis, the expression of the uplift force on the surface of a single soil layer was obtained by variational calculation, and then the expression was extended to each soil layer, finally the uplift force of multi-layer soil grouting was obtained. The upper bound solution of the equation and the failure surface of the soil was combined with the previous analysis results to verify the correctness of the theory.

multi-layered soil; three-dimensional failure; uplifting force; grouting; nonlinear failure

U455.49；TU472

A

1672 ? 7029(2020)04 ? 0931 ? 09

10.19713/j.cnki.43?1423/u.T20190848

2019?09?20

國家科技重大專項項目(2017YFB1201200)

李小豐(1976?)，男，重慶人，高級工程師，從事鐵路隧道工程設計、施工及相關研究工作；E?mail：756855722@qq.com

(編輯 陽麗霞)