王祥國，鄧博，楊孟剛

考慮施工階段的高鐵系桿拱橋吊桿張拉優(yōu)化研究

王祥國1，鄧博2，楊孟剛2

(1. 中建鐵路投資建設集團有限公司，北京 100053；2. 中南大學 土木工程學院，湖南 長沙 410075)

將影響矩陣法引入系桿拱橋，建立以優(yōu)化前后吊桿成橋索力差值向量二范數(shù)平方的最小值為目標函數(shù)，以吊桿張拉力為變量，以各個施工及成橋階段中系梁和拱肋的撓度、應力以及吊桿索力作為約束條件的優(yōu)化模型，通過該優(yōu)化模型的計算來減少施工階段的吊桿張拉次數(shù)?；谠搩?yōu)化模型，以新建某高鐵線144 m下承式尼爾森體系簡支拱橋為工程實例，獲得施工階段1次張拉的吊桿張拉力。研究結果表明：優(yōu)化后采用吊桿1次張拉方案的系梁和拱肋的撓度、內力與設計狀態(tài)較接近，驗證了該優(yōu)化模型的可靠性和有效性。該優(yōu)化方法可為同類型橋梁的設計和施工提供參考。

系桿拱橋；吊桿張拉；優(yōu)化模型；施工階段；影響矩陣

近年來，鋼管混凝土系桿拱橋已成為60~200 m跨徑范圍內非常具有競爭力的橋型之一[1]。簡支?梁拱組合體系的系桿拱橋，使梁、拱在受力方面的優(yōu)點得以充分發(fā)揮，因其結構輕巧、外部靜定、無水平推力，尤其適合于在河岸淤積層的軟弱地基上使用[2?3]。尼爾森體系鋼管混凝土拱橋跨越能力強、經(jīng)濟效益好、動力性能優(yōu)、橋式結構美觀，能提供較大的縱向剛度，同時能有效減小振動沖擊帶來的動力響應等問題，具有良好的安全、平穩(wěn)、舒適的性能，相較于其他橋型有著明顯的優(yōu)勢，從而在高速鐵路中得以廣泛應用[4-5]。為了使拱和梁的變形更加協(xié)調、受力更加均衡，一般設計對吊桿進行2次甚至多批次張拉。但在張拉過程中，每根吊桿的張拉都會對其他已張拉吊桿產(chǎn)生影響，吊桿的多次張拉更會使這些影響變得復雜[6-7]。同時，多次張拉無疑會增加施工成本和工期，加大施工的繁瑣性，給施工方帶來困擾。因此，在滿足規(guī)范要求的前提下盡量減少吊桿張拉的次數(shù)，對節(jié)省施工成本、滿足施工進度要求和降低施工難度等有重要意義。目前，已有較多學者引入優(yōu)化方法對斜拉橋、懸索橋和拱橋的成橋索力進行優(yōu)化[8-12]。王學明 等[13]在斜拉橋索力影響矩陣的基礎上，以結構應變能最小為目標函數(shù)，建立了矮塔斜拉橋索力優(yōu)化模型。GAO等[14]提出了一種多參數(shù)混合優(yōu)化方法，即以全橋混凝土、拉索及預應力束總造價為目標函數(shù)，以梁高、拉索面積、拉索恒載索力、梁截面所配預應力為設計變量，以各項規(guī)范要求檢算指標為約束條件建立優(yōu)化設計模型。李小年[15]提出了自錨式懸索橋合理成橋狀態(tài)的分步確定方法。楊俊[16]提出了基于影響矩陣的綜合剛性吊桿法和自動調索法來確定系桿拱橋的合理成橋吊桿索力。以上研究能較好地對成橋索力進行優(yōu)化，使得成橋狀態(tài)或總體投資達到更優(yōu)，但對施工時吊索張拉次數(shù)和各個施工階段的應力和撓度都沒有做太多的考慮，且均未考慮施工階段的張拉次數(shù)。為了簡化系桿拱橋吊桿張拉的施工工序，本文引入影響矩陣法，建立吊桿張拉優(yōu)化模型，以吊桿張拉次數(shù)最少為優(yōu)化目標。在吊桿張拉優(yōu)化模型中，以優(yōu)化前后吊桿成橋索力差值列陣二范數(shù)平方的最小值為目標函數(shù)，以吊桿張拉力為變量，以各個施工階段和成橋階段中系梁和拱肋的內力、位移、應力以及吊桿索力滿足規(guī)范要求為約束條件。通過優(yōu)化模型，得到優(yōu)化后的吊桿張拉力，使得優(yōu)化后吊桿的成橋索力和設計成橋索力相接近，達到在不改變成橋索力的基礎上，減少吊桿張拉次數(shù)、節(jié)省施工成本、簡化施工過程和縮短施工工期的目的。最后，以新建某高鐵線144 m下承式尼爾森體系簡支拱為工程實例，建立吊桿張拉優(yōu)化模型，獲得基于施工階段優(yōu)化后的吊桿張拉索力，驗證優(yōu)化模型的有效性和可靠性。

1 優(yōu)化模型的建立

1.1 吊桿索力優(yōu)化的影響矩陣法

由于施工方法的不同，系桿拱橋施工索力的優(yōu)化相比于斜拉橋而言，混凝土徐變效應的影響較小，因此可采用影響矩陣法對系桿拱橋的吊桿張拉力進行優(yōu)化，誤差較小。影響矩陣主要由受調向量、施調向量和影響向量三者構成。

1) 受調向量：結構中控制截面上的個指定接受調整的獨立元素所構成的列向量，并且在整個調值的過程中接受結構調整而達到某種期望， 記為：

式中：y表示控制截面上指定的內力、應力和位移等調整量。

2) 施調向量：結構中可以實施調整從而改變受調向量的個獨立元素所構成的列向量，本文中施調向量元素為吊桿張拉力，記為：

3) 影響向量：施調向量中第個元素發(fā)生單位變化時，所引起對應受調向量的變化值，記為：

當個施調向量分別發(fā)生單位變化時，將得到的個影響向量用矩陣的形式表示出來，即影響矩陣，記為：

當結構體系滿足線性疊加原理時，有：

=(5)

在進行拱橋吊桿索力優(yōu)化的過程中，以各個施工階段的吊桿張拉力作為施調向量，選取相應施工階段系梁和拱肋控制截面的撓度和應力作為受調向量。設為吊桿張拉力列陣，為吊桿索力列陣，表示系梁、拱肋控制截面的撓度列陣，c和t分別表示系梁、拱肋控制截面的壓應力列陣和拉應力列陣，可以得到：

式中：0和0分別為張拉吊桿前的吊桿索力列陣、系梁和拱肋控制截面的撓度列陣，如果是單次張拉，0則為0；c0和t0分別為張拉吊桿施工荷載作用下系梁、拱肋控制截面的壓應力列陣和拉應力列陣；P和Z分別為考慮施工順序下的吊桿索力、系梁和拱肋控制截面撓度對于吊桿張拉力的影響矩陣；c和t分別為考慮施工順序下的系梁、拱肋控制截面的壓應力和拉應力對于吊桿張拉力的影響矩陣。

1.2 優(yōu)化目標函數(shù)

本文的目的是將施工過程中吊桿的2次張拉優(yōu)化至1次或者部分2次張拉，并且在中間施工階段過程中各個部分內力、應力和位移滿足要求，最后得到的成橋吊桿索力和設計值接近。故可選設計吊桿索力和優(yōu)化后的吊桿索力差值列陣二范數(shù)平方的最小值作為目標函數(shù)，即

式中：為成橋階段吊桿設計索力列陣。

由于在張拉過程中，拱橋的剛度較大，位移變化較小，同時各個材料本構特性近似滿足線性關系，因此整個結構體系滿足線性疊加原理。引入影響矩陣法，由式(7)可以得到：

式中：T為成橋階段第個吊桿的設計索力值；0i為吊桿張拉前時第個吊桿的初始索力值；Pi為吊桿索力影響矩陣的第行。

將式(9)改寫為：

1.3 吊桿張拉索力的優(yōu)化模型

選取約束條件為各個吊桿張拉的施工階段內的主梁、拱肋的撓度、應力以及吊桿索力都小于規(guī)定的限值。綜合考慮，得到吊桿張拉優(yōu)化模型如下：

以上數(shù)學模型為有約束的二次規(guī)劃問題，求解這類問題主要有搜索法和求解KT方程法兩大類。其中求解KT方程法是先用Lagrange乘子法將其轉化為無約束問題，再利用Kuhn-Tucker條件或把KT方程化為線性互補問題，采用互補主元法求解[12]。而對于凸規(guī)劃而言，KT方程是條件極值問題的充要條件，其局部極小值就是整體的最小值。上述數(shù)學模型中二次項系數(shù)H為正定矩陣，故此二次規(guī)劃為嚴格凸二次規(guī)劃，只需找到KT點即可求解。根據(jù)以上分析，本文采用MATLAB軟件中的quadprog函數(shù)進行求解，得到優(yōu)化后各施工階段吊桿張拉力。整個求解流程如圖1所示。

圖1 優(yōu)化計算流程圖

2 工程實例

2.1 背景工程

2.2 有限元模型

全橋采用有限元分析軟件MIDAS Civil進行結構的離散和有限元模型的建立，系梁截面按照實際的單箱三室箱形截面模擬，在橫隔板處采用線性變截面。拱肋按照實際的啞鈴型截面來模擬，采用施工聯(lián)合截面來模擬拱肋鋼管、管內混凝土和拱肋腹板混凝土在不同的施工階段施工，拱腳采用矩形截面模擬。模型中采用的主要參數(shù)見表1。

單位：cm

表1 全橋主要建模參數(shù)

全橋總共劃分543個節(jié)點和548個單元，其中梁單元484個，桁架單元64個，全橋有限元模型如圖3所示。為了獲得該橋的影響矩陣，按照實際的施工順序劃分施工階段，對簡支拱進行正裝分析，充分考慮各個施工階段荷載(自重、預應力、吊桿張拉力、溫度效應、收縮徐變、二期恒載等)。

2.3 優(yōu)化結果

利用建立的有限元模型，得到吊桿張拉力對吊桿索力、系梁撓度和應力、拱肋撓度和應力的影響矩陣，以優(yōu)化前后吊桿成橋索力差值列陣二范數(shù)平方的最小值為目標函數(shù)，按照圖1中的流程進行優(yōu)化計算，得到優(yōu)化后的吊桿1次張拉的張拉力。再將優(yōu)化后的吊桿張拉力施加到系桿拱橋的有限元模型中進行正裝分析，得到優(yōu)化前后吊桿張拉力和吊桿成橋索力見表2，主梁控制截面撓度和彎矩、拱肋控制截面撓度和軸力如圖4~7所示。

圖3 全橋有限元模型

表2 優(yōu)化前后吊桿張拉力及吊桿成橋索力

注：表中成橋階段是指張拉完所有吊桿，還未進行拆除支架和施加二期恒載等工序的階段。

表2為優(yōu)化前后吊桿張拉力及吊桿成橋索力，可以看出，優(yōu)化后吊桿1次張拉力和設計2次張拉的第2次張拉力大致相等，優(yōu)化后的吊桿索力與設計索力十分接近，最大偏差為?4.6%，小于±5%，達到1次張拉和設計2次張拉的吊桿索力相接近的優(yōu)化目標。

圖4 系梁恒載撓度

圖5 拱肋恒載撓度

圖4和圖5為在恒載作用下，成橋階段的系梁和拱肋各個控制截面按設計索力張拉和按優(yōu)化后張拉的撓度對比?？梢钥闯?，優(yōu)化后吊桿1次張拉和設計2次張拉系梁的撓度在支座附近截面和跨中附近截面基本相等，大約在1/4位置附近兩者撓度差值達到最大。優(yōu)化后拱肋的撓度在各個控制截面基本都相等，最大撓度差值在大約拱肋1/4處，最大差值百分數(shù)為4.7%。

圖6為恒載作用下系梁彎矩圖，由圖6可以得到，在恒載作用下，成橋階段系梁彎矩在優(yōu)化前后基本相等，優(yōu)化后的彎矩較設計值在支座附近處略微增大，在跨中處則有所減小。圖7為恒載作用下拱肋軸力圖，由圖7可以看出，在恒載作用下，成橋階段拱肋截面的軸力整體滿足從跨中到拱腳截面處逐漸增大的規(guī)律，和實際相符。拱橋軸力在拱腳截面處優(yōu)化前后差值最大，最大差值的百分數(shù)僅為0.64%。

圖6 系梁恒載彎矩

圖7 拱肋恒載軸力

3 結論

1) 引入影響矩陣法，建立考慮施工階段系桿拱橋的吊桿張拉優(yōu)化模型。通過優(yōu)化模型，得到優(yōu)化后的吊桿張拉力，使得優(yōu)化后吊桿的成橋索力和設計成橋索力相接近，達到在不改變成橋索力的基礎上，減少吊桿張拉次數(shù)、節(jié)省施工成本、簡化施工過程和縮短施工工期的目的。

2) 利用本文提出的方法，對新建某高速鐵路144 m下承式無砟雙線尼爾森體系簡支拱的吊桿張拉進行優(yōu)化，將施工過程中吊桿的張拉次數(shù)由2次減為1次，減少施工成本和縮短工期，同時降低了多次調索的反復性和不確定性。

3) 在滿足施工和成橋的要求下，優(yōu)化后吊桿1次張拉成橋，系梁和拱肋的撓度、內力與設計狀態(tài)較接近，驗證了該優(yōu)化模型的可靠性和有效性。該優(yōu)化方法可為同類型橋梁的設計和施工提供參考。

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Study on optimization of suspender tension of a high-speed railway tied-arch bridge considering construction stage

WANG Xiangguo1, DENG Bo2, YANG Menggang2

(1. China State Railway Investment Construction Group Co., Ltd, Beijing 110020, China; 2. School of Civil Engineering, Central South University, Changsha 410075, China)

Aimed to decrease the time of suspender tension by performing optimization research considering construction, the influence matrix method is drawn into to establish the optimization model in which the two-norm square minimum value of the cable force difference before and after optimization is considered as the objective function, the tensile force as a variable, the cable force as well as the deflection and stress of the beam and arch rib as the constraint condition. Based on the optimization model, taking a high-speed railway simply supported tied-arch bridge with the span of 144 meters for high-speed railway as an example, the tensile forces of the suspenders are obtained with the proposed optimization model ensuring that each suspender only needs to be stretched once. The result shows that the deflections and internal forces of the beam and arch rib stretched once are close to the design state, which verifies the reliability and validity of the optimization model and can provide a reference for design and construction of bridges with similar structures.

tied-arch bridge; suspender tension; optimization model; construction stage; influence matrix

U24

A

1672 ? 7029(2020)04 ? 0808 ? 07

10.19713/j.cnki.43?1423/u.T20190604

2019?07?05

國家自然科學基金面上資助項目(51978667)

楊孟剛(1976?)，男，江西安義人，教授，博士，從事橋梁抗震與設計理論研究；E?mail：mgyang@csu.edu.cn

(編輯 陽麗霞)