閆云梅 陸德霞

【摘要】在人教版教材“小數(shù)的意義”學(xué)習(xí)中，有這樣一段話“分母是10、100、1000……的分?jǐn)?shù)可以用小數(shù)表示”。由此，有相當(dāng)一部分學(xué)生甚至有些教師都認(rèn)為，小數(shù)僅僅是十進(jìn)分?jǐn)?shù)的另一種表示方式，對小數(shù)的本質(zhì)意義缺乏深刻認(rèn)識。筆者在學(xué)習(xí)相關(guān)資料的基礎(chǔ)上，對小數(shù)學(xué)習(xí)的價值進(jìn)行了分析，明確了小學(xué)階段兩次學(xué)習(xí)小數(shù)所承載的不同任務(wù)，分析了分?jǐn)?shù)在小數(shù)學(xué)習(xí)中所發(fā)揮的作用，并以“小數(shù)的意義”一課為例，利用有效學(xué)習(xí)模型，設(shè)計有價值的學(xué)習(xí)活動，凸顯小數(shù)本質(zhì)，使學(xué)生實(shí)現(xiàn)對小數(shù)的“意義建構(gòu)”。

【關(guān)鍵詞】小數(shù) 本質(zhì) 活動 意義建構(gòu)

一、學(xué)生錯誤引發(fā)的思考

在學(xué)習(xí)了人教版數(shù)學(xué)四年級下冊“小數(shù)的意義”一課之后，部分學(xué)生在作業(yè)中出現(xiàn)了這樣的問題（如下圖）：

從學(xué)生的錯誤可以看出，學(xué)生僅僅記住了教材上所說的“分母是10、100、1000……的分?jǐn)?shù)可以用小數(shù)表示”這一事實(shí)性結(jié)論，只會將分?jǐn)?shù)從形式上改寫成小數(shù)的模樣，并沒有真正理解小數(shù)的本質(zhì)意義。

那么小數(shù)僅僅是十進(jìn)分?jǐn)?shù)的另一種表示形式嗎？小數(shù)的本質(zhì)意義與學(xué)習(xí)價值是什么？“分?jǐn)?shù)”在“小數(shù)意義”的學(xué)習(xí)過程中發(fā)揮著怎樣的作用？有關(guān)“小數(shù)”的學(xué)習(xí)為什么分為三年級“小數(shù)的初步認(rèn)識”和四年級“小數(shù)的意義和性質(zhì)”兩個階段進(jìn)行？這兩段學(xué)習(xí)承載的任務(wù)分別是什么？借助哪些模型、設(shè)計哪些活動能幫助學(xué)生更好地理解小數(shù)的本質(zhì)意義？

帶著這樣的思考，筆者對有關(guān)小數(shù)的學(xué)習(xí)進(jìn)行了深入的思考與實(shí)踐研究。

二、對有關(guān)小數(shù)學(xué)習(xí)的理解與認(rèn)識

1.小數(shù)的本質(zhì)意義與學(xué)習(xí)價值分析

張奠宙教授在《小學(xué)數(shù)學(xué)研究》一書中寫道：小數(shù)的出現(xiàn)，是基于十進(jìn)制表示數(shù)量的需要，是十進(jìn)位值制記數(shù)向相反方向延伸的結(jié)果。具體來說就是，人們在度量物體的過程中，總是把容易感知、觸及的量作為合適的單位。如一尺、一斤、一元等，然后依十進(jìn)制發(fā)展出大數(shù)目的位值系統(tǒng)。然而，社會生活往往還需要比單位“1”更小的計量，于是，有了尺以下的寸、分 ;斤以下的兩、錢;元以下的角、分。按照十進(jìn)制的要求，產(chǎn)生10寸為一尺、10兩為一斤、10角為一元的設(shè)置。這是十進(jìn)位制記數(shù)制度沿著相反方向的延伸。因此，小數(shù)產(chǎn)生的本原在于計量的需要，并非分?jǐn)?shù)概念的附庸。

由此我們可以獲得兩點(diǎn)啟示：第一，小數(shù)產(chǎn)生于度量;第二，小數(shù)的學(xué)習(xí)，應(yīng)使學(xué)生對十進(jìn)位值制記數(shù)向相反方向延伸有突破性認(rèn)識。

馬克思在《數(shù)學(xué)手稿》一書中寫道：十進(jìn)位值制記數(shù)法為人類“最妙的發(fā)明之一”。在十進(jìn)制概念的學(xué)習(xí)中，小數(shù)的學(xué)習(xí)是一個轉(zhuǎn)折點(diǎn)。整數(shù)部分是由“1”開始越聚越多，且相鄰計數(shù)單位之間的進(jìn)率是十;而小數(shù)則是從“1”開始分，越分越小，它是十進(jìn)位值制記數(shù)向相反方向延伸的結(jié)果，也是數(shù)的一次擴(kuò)充——小數(shù)與分?jǐn)?shù)的學(xué)習(xí)，帶領(lǐng)學(xué)生開始從“微觀”的視角來認(rèn)識數(shù)，因此對于學(xué)生來說更為抽象，也更難理解。因此教材將小數(shù)的學(xué)習(xí)分為了兩個階段。

2.小數(shù)學(xué)習(xí)的兩個階段所承載的任務(wù)分析

小學(xué)生對“數(shù)概念”意義的理解主要包括數(shù)學(xué)意義和現(xiàn)實(shí)意義。數(shù)概念的數(shù)學(xué)意義主要指的是“數(shù)”是由不同計數(shù)單位及其個數(shù)相乘再累加構(gòu)成的。自然數(shù)因?yàn)槭鞘M(jìn)位值制的，所以計數(shù)單位是一（個）、十、百……不同計數(shù)單位與其個數(shù)乘積的累加就構(gòu)成了全部的自然數(shù)。小數(shù)也是如此，小數(shù)的計數(shù)單位十分之一（0.1）、百分之一（0.01）、千分之一（0.001）……與其個數(shù)乘積的累加就構(gòu)成了全部的小數(shù)。因此，小數(shù)計數(shù)單位的認(rèn)識、小數(shù)的組成是學(xué)習(xí)小數(shù)的數(shù)學(xué)意義的重要內(nèi)容。除數(shù)學(xué)意義外，數(shù)概念還蘊(yùn)含著豐富的現(xiàn)實(shí)意義，如小數(shù)所表示的具體數(shù)量的含義。人教版數(shù)學(xué)關(guān)于小數(shù)的學(xué)習(xí)主要分為兩個階段：三年級“小數(shù)的初步認(rèn)識”和四年級“小數(shù)的意義和性質(zhì)”。三年級主要是從形式上認(rèn)識小數(shù)，會讀、寫小數(shù)，知道商品標(biāo)價和測量中的小數(shù)所表示的實(shí)際意義。四年級則要從具體“數(shù)量”的認(rèn)識抽象到對“數(shù)”的理解，知道小數(shù)的產(chǎn)生，認(rèn)識小數(shù)的計數(shù)單位及組成，并對小數(shù)的本質(zhì)有較為深入的理解。

3.分?jǐn)?shù)在小數(shù)學(xué)習(xí)過程中所承載的任務(wù)

前面提到，小數(shù)并非分?jǐn)?shù)概念的附庸。那么，能不能脫離分?jǐn)?shù)，直接認(rèn)識小數(shù)呢？顯然不行。以小數(shù)0.3為例，無論是用圖形表征還是用語言表征0.3的含義，其表征方式都與分?jǐn)?shù)的表征方式是一樣的，所以說小數(shù)是十進(jìn)分?jǐn)?shù)的另一種表示方式也不無道理。十進(jìn)分?jǐn)?shù)的圖形表征和語言表征對于學(xué)習(xí)理解小數(shù)的意義具有重要作用。因此，在三年級學(xué)習(xí)小數(shù)之前，教材首先編排了“分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識”。

三、設(shè)計有效活動，凸顯小數(shù)本質(zhì)，實(shí)現(xiàn)意義建構(gòu)

由于小數(shù)在生活中有廣泛的應(yīng)用，學(xué)生在正式學(xué)習(xí)小數(shù)之前已有了豐富的購物、測量等生活經(jīng)驗(yàn)，因此，在三年級學(xué)習(xí)“小數(shù)的初步認(rèn)識”時，教師可以從學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，讓學(xué)生結(jié)合人民幣、度量等情境，學(xué)習(xí)讀、寫小數(shù)，說明小數(shù)的具體含義，再借助幾何直觀模型（圖形表征）溝通小數(shù)與十進(jìn)分?jǐn)?shù)的聯(lián)系。

那么，在四年級學(xué)習(xí)“小數(shù)的意義”一課時，又該設(shè)計哪些活動，才能更好地凸顯小數(shù)的本質(zhì)意義呢？基于對小數(shù)內(nèi)容的深度思考，筆者設(shè)計了如下活動：

活動一：請學(xué)生根據(jù)0.3的含義，在計數(shù)器上表示0.3。

活動設(shè)計意圖：為了讓學(xué)生體會小數(shù)是十進(jìn)位值制記數(shù)向相反方向的延伸，必須將小數(shù)放在十進(jìn)位值制系統(tǒng)里來認(rèn)識。而既能反映十進(jìn)關(guān)系又能體現(xiàn)位值思想的最好的直觀模型就是計數(shù)器。因此，用計數(shù)器表示0.3，成為學(xué)生實(shí)現(xiàn)認(rèn)知突破的關(guān)鍵活動。

活動實(shí)施及效果：對于計數(shù)器，學(xué)生并不陌生，也有豐富的用計數(shù)器表示自然數(shù)的經(jīng)驗(yàn)。但學(xué)生以往對十進(jìn)制記數(shù)法的認(rèn)識是從“1”開始，滿十進(jìn)一，從右向左越聚越多;而在計數(shù)器上撥小數(shù)的活動，是從“1”開始，將 “1”十等分，從左向右越分越小。這種認(rèn)識方向的相反性和行為操作的不同性，對學(xué)生來說還是有一定困難的。為了保證活動的有效實(shí)施，教師要組織學(xué)生對三年級所學(xué)習(xí)的有關(guān)小數(shù)與分?jǐn)?shù)的知識進(jìn)行回顧與抽象。首先可以結(jié)合方格圖，讓學(xué)生說說0.3的含義，從圖形表征和語言表征兩方面明確0.3的意義，同時強(qiáng)化十等分的過程。在此基礎(chǔ)上，將小數(shù)0.3與分?jǐn)?shù)建立聯(lián)系，借助分?jǐn)?shù)的意義，更好地說清小數(shù)的意義。有了這些知識基礎(chǔ)與經(jīng)驗(yàn)的支撐，學(xué)生在計數(shù)器上表示0.3就不會無從下手了。

在課堂教學(xué)實(shí)踐中，大多數(shù)學(xué)生能在個位右邊的一位上撥出3顆珠子表示0.3，并能說明自己的想法。也有部分學(xué)生在十位上或個位上撥珠子。在反饋交流時，通過強(qiáng)化“0.3比1小” “要將1十等分”等關(guān)鍵信息，幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)十進(jìn)位值制向相反方向的突破。接著可以讓學(xué)生表示出其他的一位小數(shù)，繼而認(rèn)識一位小數(shù)的計數(shù)單位（十分之一或0.1）和新的數(shù)位（十分位）及一位小數(shù)的組成。

活動二：

（1）如下圖，在測量長方形的過程中，長方形的寬比0.3長，但又不到0.4，怎樣才能準(zhǔn)確表示出長方形的寬呢？這個長方形的寬是多少？

活動設(shè)計意圖：由于小數(shù)的產(chǎn)生源于精準(zhǔn)度量的需要，讓學(xué)生經(jīng)歷測量中尋找更小的計數(shù)單位的過程，既和小數(shù)產(chǎn)生與發(fā)展的過程相一致，又使學(xué)生體會到創(chuàng)造一個新的計數(shù)單位的必要性。讓學(xué)生親歷將每個小格十等分，最終將 “1”平均分成100份的過程，不僅能讓學(xué)生更好地理解0.01的意義，還為學(xué)生理解0.01與0.1、0.01與1的關(guān)系提供了直觀經(jīng)驗(yàn)。

活動實(shí)施及效果：在實(shí)踐教學(xué)中，學(xué)生首先提出將0.3與0.4之間的一段平均分成10份，就可以表示出長方形的寬是0.32;再讓學(xué)生解釋0.32中的“2”在圖中是哪兩個小格、其中的一個小格是什么意思，使學(xué)生意識到還要把每段都平均分成十份，也就是將“1”平均分成100份。這樣，學(xué)生認(rèn)識了一個更小的計數(shù)單位0.01，并以0.01為單位，認(rèn)識更多的兩位小數(shù)。

（2）請學(xué)生在方格圖和計數(shù)器中分別表示出0.32，并想想兩者之間有什么聯(lián)系。

活動設(shè)計意圖：對兩位小數(shù)意義的理解是學(xué)習(xí)小數(shù)意義的重要環(huán)節(jié)，學(xué)生理解數(shù)的意義的一個重要表現(xiàn)就是能用多種方法表示數(shù)。教師在這里提供方格紙和計數(shù)器兩種不同的模型，一方面看學(xué)生能否用不同的計數(shù)單位說明小數(shù)的組成，另一方面讓學(xué)生更好地體會小數(shù)中所蘊(yùn)含的十進(jìn)位值制思想。

活動實(shí)施及效果：學(xué)生在用方格圖表示0.32時，出現(xiàn)了以下三種不同的畫法：

通過交流比較學(xué)生發(fā)現(xiàn)，每個小格都表示0.01，不管怎樣涂，只要涂出32個小格就能表示0.32，32個0.01就是0.32。在用計數(shù)器表示0.32時，學(xué)生能說明不同位置上每個珠子所表示的數(shù)，滲透了位值思想，明確0.32里面有3個0.1和2個0.01。在進(jìn)一步勾連方格圖和計數(shù)器聯(lián)系的過程中，學(xué)生發(fā)現(xiàn)10個0.01是1個0.1。

活動三：將“1”平均分成10份、100份，我們認(rèn)識了計數(shù)單位0.1和0.01以及一位小數(shù)和兩位小數(shù)，將“1”繼續(xù)分下去，你還能創(chuàng)造出新的計數(shù)單位和相關(guān)的小數(shù)嗎？

活動設(shè)計意圖：借助想象，類比遷移，讓學(xué)生認(rèn)識計數(shù)單位“0.001”以及更小的計數(shù)單位和相關(guān)的小數(shù)，感受小數(shù)單位越分越小。

活動實(shí)施及效果：通過想象將“1”繼續(xù)平均分下去，學(xué)生認(rèn)識到還有更小的計數(shù)單位，十進(jìn)制記數(shù)法向相反方向的延伸也是無限的。

活動四：從“一”開始，我們認(rèn)識了整數(shù)的計數(shù)單位和進(jìn)率，又認(rèn)識了小數(shù)的計數(shù)單位和進(jìn)率，結(jié)合計數(shù)單位排列順序表，說說自己有什么發(fā)現(xiàn)和感受，找一找誰最重要。

活動設(shè)計意圖：幫助學(xué)生梳理計數(shù)單位排列順序表，使知識結(jié)構(gòu)化;在梳理的過程中，感受整數(shù)部分越聚越多，小數(shù)部分越分越小及“一”的重要性。

活動實(shí)施及效果：學(xué)生觀察順序表，認(rèn)識到不論是整數(shù)還是小數(shù)，相鄰兩個計數(shù)單位的進(jìn)率都是10;計數(shù)單位往左越來越大，往右越來越小;還有的學(xué)生發(fā)現(xiàn)這個順序表是以“一”為中心的，似乎是對稱的;體會到這些計數(shù)單位中“一”的重要性。

總之，只有深度挖掘教材，才能把握小數(shù)的本質(zhì)，再通過有效的數(shù)學(xué)活動，對小數(shù)意義的學(xué)習(xí)才能實(shí)現(xiàn)從“形式改寫”走向“意義建構(gòu)”。

【參考文獻(xiàn)】

張奠宙.小學(xué)數(shù)學(xué)研究[M].北京：高等教育出版社，2009.