顧彩梅

(浙江省杭州外國語學(xué)校 310023)

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中，我們常從已解決的問題中提煉模型用以解決更復(fù)雜的綜合問題.模型可以給解題者提供展開聯(lián)想的原型，明晰解題的方向，縮短思維的推理過程，因此“模型”教學(xué)為廣大教師所青睞.對于數(shù)學(xué)模型的教學(xué)，許多文獻(xiàn)都從學(xué)生“學(xué)”的角度闡述了“套?！苯忸}中識模的重要性[1-3]，筆者讀后深受啟發(fā).恰巧，筆者所在學(xué)校的一位教師也開設(shè)了一節(jié)以模型教學(xué)為主題的專題課“‘鉛錘高’法的應(yīng)用：與二次函數(shù)有關(guān)的面積問題”.筆者結(jié)合本節(jié)課的教學(xué)過程和教師們的研討反思，從學(xué)生識模、套模之前，教師如何“教”數(shù)學(xué)模型的角度，談一些看法.

1 教學(xué)簡錄

問題1如圖1，拋物線y=-x2+2x+3的頂點(diǎn)為D，與x軸交于點(diǎn)A，B，與y軸交于點(diǎn)C.請分別求出△ABD，△COD，△BCD的面積.

圖1

預(yù)設(shè)：學(xué)生將△BCD沿著過點(diǎn)D的豎直方向進(jìn)行分割，引出“鉛錘高”法.

實(shí)施：學(xué)生給出△BCD面積的另三種解法，后在教師提示下完成預(yù)設(shè)方法.

問題2在問題1的條件下，點(diǎn)E是拋物線上第一象限內(nèi)的動點(diǎn)(如圖2).求(1)△BCE面積的最大值及對應(yīng)的點(diǎn)E坐標(biāo)；(2)四邊形ABED面積的最大值.

圖2

預(yù)設(shè)：教師板書演示第(1)問后，預(yù)設(shè)學(xué)生能將四邊形ABED沿著DB劃分解決問題.

圖3

實(shí)施：學(xué)生首先給出將四邊形面積劃分成三角形和梯形面積之和的完整解法(如圖3)；接著提出問題“沿對角線AE劃分如何完成”，教師未給予解答；最后教師引導(dǎo)學(xué)生連結(jié)對角線DB，提示模仿第(1)問求出△BDE的面積再解決問題.

問題3在問題1的條件下，E是拋物線上在第四象限的點(diǎn)(如圖4)，求使S△BCE=6的點(diǎn)E坐標(biāo).

預(yù)設(shè)：學(xué)生經(jīng)歷過點(diǎn)B作鉛錘高失敗之后，調(diào)整到過點(diǎn)E作鉛錘高求面積.

實(shí)施：學(xué)生直接利用先補(bǔ)再割的方法解決問題(如圖5)，S△CBE=S△OBE+S△OBC-S△EOC，后經(jīng)教師引導(dǎo)完成過點(diǎn)E的“鉛錘高”法求面積.

圖4 圖5 圖6

問題4如圖6，求作△BCE中經(jīng)過三個不同頂點(diǎn)的“鉛錘高”和“水平寬”.

預(yù)設(shè)：分別過點(diǎn)B，C，E作三角形的鉛錘高及對應(yīng)水平寬，學(xué)生能獨(dú)立完成.

實(shí)施：學(xué)生1通過參考前面例圖完成，學(xué)生2在教師提示下完成，學(xué)生3未能完成.

分析 教學(xué)預(yù)設(shè)是教師在課前對某些重要教學(xué)環(huán)節(jié)的預(yù)想和設(shè)計，預(yù)設(shè)不可能完美，應(yīng)該是具有彈性和留白的，但教師所做的大部分預(yù)設(shè)都要符合學(xué)情和學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)，要為數(shù)學(xué)模型的教學(xué)服務(wù).本節(jié)課的教學(xué)未能達(dá)到執(zhí)教者課前預(yù)設(shè)的效果，這引起了教師們的反思.首先，模型引入環(huán)節(jié)沒有考慮模型提出的必要性，如果學(xué)生現(xiàn)有的知識和方法能方便快捷地解決問題，那么提出“鉛錘高”法就顯得多余和牽強(qiáng)；其次，在模型的應(yīng)用和辨析過程中，教師如果能夠?qū)φn堂生成性問題加以重點(diǎn)講解，多多辨析，那么學(xué)生對模型的本質(zhì)會理解得更深刻；最后，模型本身有一定的難度，教師要把控好這個度.在大家交流建議的基礎(chǔ)上，筆者嘗試對本節(jié)課進(jìn)行了二次設(shè)計.

2 教學(xué)改進(jìn)

2.1 學(xué)情分析

九年級學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)、三角形、四邊形等章節(jié)的知識，根據(jù)前面學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)的積累，能夠比較熟練地利用割補(bǔ)法解決三角形(多邊形)面積問題，這些為引入“鉛錘高”法求解面積問題奠定了良好的基礎(chǔ).“鉛錘高”屬于物理學(xué)概念，鑒于學(xué)科差異，概念理解和辨析存在難度，因此在教授模型的過程中，教師要幫助學(xué)生完成深刻認(rèn)識模型本質(zhì)的過程.

2.2 教學(xué)目標(biāo)

理解“鉛錘高”和“水平寬”的基本概念，會用“鉛錘高”法解決線段長度、三角形面積等最值問題.體會不同割補(bǔ)法在求解面積問題過程中的共性，感悟“鉛錘高”法在解決一類動態(tài)三角形(頂點(diǎn)在拋物線上)面積最值問題中的優(yōu)越性.經(jīng)歷模型提出、建立、應(yīng)用的過程，積累運(yùn)用模型解決問題的經(jīng)驗(yàn)，增強(qiáng)解決綜合問題過程中克服困難的勇氣，激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.

2.3 教學(xué)設(shè)計

問題1拋物y=-x2+2x+3與x軸交于點(diǎn)A，B，與y軸交于點(diǎn)C(如圖7).(1)E是拋物線上第一象限內(nèi)的點(diǎn)，過E作EF⊥x軸交直線CB于點(diǎn)F，求線段EF長度的最大值；(2)連結(jié)EC，EB，求△BCE面積的最大值.

圖7

追問 這兩問之間有關(guān)聯(lián)嗎？(當(dāng)EF取最大值時，△BCE面積最大)

圖8

問題2在問題1的條件下，當(dāng)點(diǎn)E在直線CB下方的拋物線上運(yùn)動時，求使得S△BCE=6時點(diǎn)E的坐標(biāo).

圖9

問題3在問題1條件下，已知直線y=-3x+3分別與x軸、y軸交于點(diǎn)H，C(如圖10)，點(diǎn)M是拋物線上第一象限內(nèi)的動點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m，△CHM的面積為S.求S關(guān)于m的函數(shù)表達(dá)式，并求出S的最大值.

圖10 圖11 圖12

圖13

設(shè)計說明進(jìn)一步體會“鉛錘高”法在求解“一類以二次函數(shù)為背景的三角形面積問題”中發(fā)揮著重要作用，而且該模型所蘊(yùn)含的“化斜為直”的思想是解決許多平面幾何綜合問題的關(guān)鍵.

3 關(guān)于模型教學(xué)的思考

3.1 讓學(xué)生感悟模型提出的必要性和合理性

改進(jìn)前，縱觀整節(jié)課，問題1～3無需“鉛錘高”法也可解決，所有解法自然生成，不同的解題思路還充分展示了學(xué)生良好的基本功和敏銳的觀察力.這樣，模型的提出還有何意義？必要性體驗(yàn)的缺失，使得整節(jié)課的教學(xué)意義懸空，學(xué)生缺少學(xué)習(xí)的動力.改進(jìn)后，教師通過對例題條件和設(shè)問的再次整合, 有效避免了坐標(biāo)系中其他求解面積方法的干擾，讓學(xué)生切身體會到模型在解決問題中的優(yōu)勢及廣泛的應(yīng)用性.從合理性角度出發(fā)，數(shù)學(xué)模型具有快捷解決問題的優(yōu)勢，但模型不是解決問題的唯一途徑，例如，問題1中的三角形面積最值問題就有先補(bǔ)再割法、鉛錘高法、切線法、三角函數(shù)法等多種解題思路，模型的提出只是從策略上幫助學(xué)生更好地把握幾何圖形的結(jié)構(gòu)，快速找到解題的突破口，進(jìn)而提升解決問題的能力，增強(qiáng)解決問題的信心.

3.2 讓學(xué)生感知模型的深刻本質(zhì)

“鉛錘高”是一個物理學(xué)概念，延伸到數(shù)學(xué)學(xué)科，也并非我們教科書中定義的“高”(由三角形的一個頂點(diǎn)向?qū)吇蛘邔吽诘闹本€所作的垂線段)， 此“高”非彼“高”.學(xué)生對三角形中高的定義接觸在先，先入為主，如果不從本質(zhì)上加以區(qū)分和理解，學(xué)生容易混淆基本概念，影響模型的接受.

“鉛錘高”和“水平寬”是該模型提出的兩個基本概念.筆者發(fā)現(xiàn)，與本節(jié)課的執(zhí)教者一樣，大多數(shù)教師都認(rèn)為“鉛錘高”是模型的主角而忽略了“水平寬”，這樣的理念局限了解題思路，不利于學(xué)生一般性和發(fā)散性思維的發(fā)展.不同于物理學(xué)中的“鉛錘”意義，坐標(biāo)系中豎直和水平方向地位平等，這點(diǎn)筆者在改進(jìn)后的教學(xué)設(shè)計中有所體現(xiàn)，如問題3中的方法3.改進(jìn)前，學(xué)生的解法始終跳不出“割補(bǔ)法”，也是因?yàn)椤般U錘高”模型法的本質(zhì)其實(shí)只是在求三角形面積過程中的一種特殊的割補(bǔ)方法；特殊法可以解決的，一般法肯定也適用.模型的特殊性并不在于這條同名于物理學(xué)中的“鉛錘高”的作用，而是分割后的兩個三角形所共用的這條底邊，底邊的方向既可以豎直也可以水平，豎直或水平方向的底邊可求化是利用模型快速解題的精髓所在.

3.3 讓學(xué)生感受模型建立的過程

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》指出：教學(xué)課程目標(biāo)的整體實(shí)現(xiàn)，是通過教學(xué)過程展開的.教學(xué)活動要重視過程，突出重點(diǎn).雖然本文的“數(shù)題模型”與數(shù)學(xué)建模不是一回事，但可以借鑒數(shù)學(xué)建模的教學(xué)過程來開展此類數(shù)題模型教學(xué).學(xué)生學(xué)習(xí)“鉛錘高”法解決問題的過程是整體性的，包括觀察、猜測、歸納、推理和建模的過程，也包括學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中的情感體驗(yàn).比如改進(jìn)前，課堂上學(xué)生提出和遇到了一些困難，教師如果能夠利用這些生成性資源，讓學(xué)生充分感受和經(jīng)歷“鉛錘高”法求解面積的探索過程，那么學(xué)生對該模型的認(rèn)識會更加深刻.只有這樣，學(xué)生才能在學(xué)習(xí)知識技能的過程中學(xué)會如何思考、如何解決問題，保持對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng).

3.4 讓學(xué)生感觸模型學(xué)習(xí)的樂趣

心理學(xué)家克魯切斯基在對中小學(xué)生數(shù)學(xué)能力研究的過程中發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)能力強(qiáng)的學(xué)生“一眼就看出了問題的結(jié)構(gòu)，就能把已知的條件聯(lián)系起來”，這種條件反射式的應(yīng)激性反應(yīng)是數(shù)學(xué)模型所期望的，但是這種單一的思維模式卻屏蔽了其他信息，它往往只對解決一類問題很奏效.因此，教師在教授模型的同時，更要加強(qiáng)對基礎(chǔ)知識、技能和基本思想方法的重視，“通性通法”具有更普遍的基礎(chǔ)性、生長性和應(yīng)用價值，也有利于增強(qiáng)學(xué)生解題的自信心.九年級學(xué)生雖然具備一定的認(rèn)知基礎(chǔ)和探究問題的能力，但是本節(jié)課提出的“鉛錘高”模型法具有一定的難度.改進(jìn)前的問題4抽象性強(qiáng)、混淆度大，不利于學(xué)生順利解決問題，因此教師還要恰當(dāng)把握新模型教學(xué)的難易程度，使得學(xué)生在學(xué)習(xí)模型的過程中保持興趣和樂趣.