夏鵬程

（北京科勒有限公司研發(fā)部，北京 101500）

羅茨泵、羅茨真空泵是應用比較廣泛的設備，羅茨泵屬于容積泵[1]，理論上羅茨轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)動一圈液體通過的體積是一定的，由于具有這個特征也產(chǎn)生了羅茨流量計[2]。目前羅茨轉(zhuǎn)子用于家庭用水的定量裝置（例如定量龍頭）剛剛起步，具體設計原理是：利用市政供水水力驅(qū)動羅茨轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)動，羅茨轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)動帶動計數(shù)機構，同時聯(lián)動機械運動機構實現(xiàn)排出一定量水后自動關閉閥門的純機械定量裝置。傳統(tǒng)應用領域的羅茨流量計只用于計數(shù)不會驅(qū)動閥門機構，不同于羅茨流量計，定量裝置的設計更重要的是水力轉(zhuǎn)換效率，水力轉(zhuǎn)換效率與轉(zhuǎn)子設計的徑距比直接相關，徑距比越大，水力轉(zhuǎn)換效率越高。通過對圓弧漸開線進行徑距比和嚙合分析，創(chuàng)造出更大徑距比的新型的轉(zhuǎn)子類型。

1 徑距比的實際意義

如圖1 所示，圖示為雙葉輪羅茨轉(zhuǎn)子嚙合的橫截面，凸起部分稱為葉峰，凹入部分為葉谷，當2 個葉輪同步轉(zhuǎn)動時，葉峰與葉谷相嚙合，相當于2 個轉(zhuǎn)子的節(jié)圓做純滾動。葉輪外徑與兩葉輪中心距的比值稱為葉輪的徑距比k。根據(jù)圖1嚙合示意圖可知：

式（1）中：R1為葉輪半徑；R為葉輪節(jié)圓半徑。

當有水壓P加載時，水壓作用在轉(zhuǎn)動軸O和O1組成的平面上，水壓作用在兩葉輪上的力F為：

式（2）中：P為水的壓強；h為轉(zhuǎn)子的高度。

可知葉輪的徑距比越大，水壓作用在葉輪上的力越大，壓力勢能轉(zhuǎn)換為轉(zhuǎn)子動能效率越高，通俗地講就是轉(zhuǎn)子越容易驅(qū)動。

圖1 雙葉輪羅茨轉(zhuǎn)子嚙合示意圖

2 嚙合分析

羅茨轉(zhuǎn)子常用的葉型有圓弧漸開線型、圓弧型和擺線型[3]。選取漸開線型作為研究對象，進一步探討徑距比。

如圖2 所示，圖示為圓弧漸開線型[4]羅茨轉(zhuǎn)子嚙合的橫截面，為漸開線，轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)動在F、E點間的漸開線上嚙合，轉(zhuǎn)子頭和腰為圓弧線，圓弧相等，且不參與嚙合，轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)動從A點到E點轉(zhuǎn)動了45°，轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)動從A點到F點也是轉(zhuǎn)動了45°，A點在節(jié)圓直徑上。線段為圓弧半徑，圓弧的中心在D點上，根據(jù)圓弧漸開線型葉輪嚙合的原理，D點必須在節(jié)圓上，同時線段和線段在一條直線上。

圖2 圓弧漸開線型羅茨轉(zhuǎn)子嚙合示意圖

根據(jù)漸開線的定義，漸開線展開長度等于漸開線在基圓上滾過的弧長，所以轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)動從A點到E點轉(zhuǎn)動了45°，其漸開線展開長度增加為：

式（3）中：r為漸開線基圓半徑；為漸開線展開到E點的展開長度；線段為漸開線展開到A點的展開長度。

由圖2 可知，漸開線展開到E點的展開長度為:

將式（5）、式（4）代入式（3），可得：

由圖2 可知轉(zhuǎn)子直徑2R1為：

式（7）中：R為葉輪節(jié)圓半徑；r為漸開線基圓半徑。已知漸開線函數(shù):

式（8）中：α為葉輪嚙合壓力角。

將式（8）代入式（7），可得：

根據(jù)式（1）可知徑距比k為：

根據(jù)公式（10）可知，徑距比只跟α有關，α越小徑距比越大。

進一步分析，如圖2 所示，轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)動在F、E點間的漸開線上嚙合，實際上是漸開線展開從F點展開到E點的過程。F點的極限位置為漸開線展開的起始點。

以F點作為漸開線展開的起始點，由漸開線的定義，漸開線從F點展開45°到A點，漸開線展開長度為基圓45°圓弧線長度，列等式：

由圖2 可知：

由式（11）、式（12）可得：

聯(lián)合式（13）和（8）求解可得：

式（13）解函數(shù)可得α=38.146°，所以以F點作為漸開線展開的起始點是完全嚙合的極限位置，38.146°是葉輪嚙合的極限壓力角。

另外E點作為參與嚙合的漸開線終點，越接近轉(zhuǎn)子頂點圓弧段越小，如圖2 所示，為零就超出了圓弧型漸開線羅茨轉(zhuǎn)子的定義，因此E 點達到轉(zhuǎn)子頂點是也是極限位置。

由式（6）、式（8）可得：

可知α=90°時，= 0

所以圓弧型漸開線羅茨轉(zhuǎn)子的壓力角不能達到90°。38.146°是完全嚙合和不完全嚙合的臨界壓力角，當壓力角α大于38.146°小于90°時為完全嚙合，大于0°小于38.146°時，為不完全嚙合。

傳統(tǒng)漸開線圓弧型羅茨轉(zhuǎn)子是按照完全嚙合設計的，當α為 38.146°時，根據(jù)公式（10）得到徑距比k為 1.618。1.618為傳統(tǒng)漸開線圓弧型羅茨轉(zhuǎn)子的最大徑距比。

3 推導與創(chuàng)新

前面推算已知嚙合壓力角α越小，徑距比越大，完全嚙合的最大徑距比k為1.618，但是根據(jù)公式（10）可知，徑距比k可以大于1.618，當k大于1.618 時將出現(xiàn)不完全嚙合，經(jīng)過進一步研究，對于不完全嚙合可以經(jīng)過改進實現(xiàn)完全嚙合。

如圖3 所示為不完全嚙合，兩葉輪同步轉(zhuǎn)動45°的嚙合點為A、A1，A、A1重合。左邊葉輪轉(zhuǎn)動從A到E（右邊葉輪轉(zhuǎn)動從A1到E1） 為45°，葉輪轉(zhuǎn)動從A到F（右邊葉輪轉(zhuǎn)動從A1到F1） 為θ，θ不足 45°。左邊葉輪轉(zhuǎn)動從AF嚙合在右邊葉輪的A1E1上，或者右邊葉輪轉(zhuǎn)動A1F1嚙合在左邊葉輪AE上，由于θ不足45°，A1E1（AE）只有一部分與AF（A1F1）完全嚙合，超出AF（A1F1）的部分為不完全嚙合。對于不完全嚙合部分進行分析，重建嚙合曲線。具體如下：內(nèi)凹圓弧和AF（A1F1）保持不變，進行分析可知AE部分不能嚙合部分即是F1點不能與AE重合，重建F1點在左邊葉輪上的擺動曲線，代替AE段和頂圓的部分曲線。

圖3 不完全嚙合圖解

如圖4 建立坐標系，根據(jù)轉(zhuǎn)子嚙合角速度一致，那么右邊轉(zhuǎn)子繞左邊轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)動角度θ，同時自轉(zhuǎn)角度也是θ，相當于右邊轉(zhuǎn)子在坐標系中繞O1點轉(zhuǎn)動了2θ。根據(jù)這些條件可知，

式（16）、式（17）、式（18）、式（19）中：θ為變量 ；b和θ1為定值，b為線段的長度，θ1為線段與右邊轉(zhuǎn)子直角坐標軸的夾角。

圖4 曲線推導示意圖

F1點的X坐標值如下：

F1點的Y坐標值如下：

建立笛卡爾坐標方程，

式（20）、式（21）中：θ為變量，θ范圍 0～（45-θ1）；b和θ1為定值，取值由F1點在右邊葉輪的位置決定。

式（20）、式（21）就是左邊葉輪與F1點嚙合的曲線方程，也就是F1點在左邊葉輪上形成的擺動曲線。

根據(jù)曲線方程重建轉(zhuǎn)子輪廓，如圖5 所示，以1/4 的轉(zhuǎn)子截面為例，左邊轉(zhuǎn)子輪廓為KL，右邊轉(zhuǎn)子的輪廓為K1L1。

圖5 新型羅茨轉(zhuǎn)子輪廓圖

KF和HL為相同圓弧線，在轉(zhuǎn)動過程中分別與H1L1和K1F1重合；GH為F1點的擺線，F(xiàn)G為漸開線，與漸開線F1G1嚙合，相對應G1H1為點F的擺線，G1H1輪廓與GH相同，F(xiàn)G輪廓與F1G1相同，這樣就形成了完全嚙合的轉(zhuǎn)子葉型。

新型的轉(zhuǎn)子徑距比k大于1.618，由于雙轉(zhuǎn)子機構還需要旋轉(zhuǎn)軸支撐，所以理論上徑距比k不能達到2，選取1.618 ～2的徑距比壓力勢能轉(zhuǎn)換為轉(zhuǎn)子動能效率比傳統(tǒng)轉(zhuǎn)子更高，轉(zhuǎn)子更容易驅(qū)動，輸出動能驅(qū)動聯(lián)動機械運動機構和閥門機構更容易運轉(zhuǎn)。

4 結(jié)論

新型羅茨轉(zhuǎn)子是在傳統(tǒng)圓弧型漸開線羅茨轉(zhuǎn)子的基礎上發(fā)展的，新型羅茨轉(zhuǎn)子能提供更大的徑距比，利用新型羅茨轉(zhuǎn)子設計的定量裝置，計量精度基本與圓弧漸開線型羅茨轉(zhuǎn)子相同，但是驅(qū)動力更大，能很好地帶動相關機構運行。羅茨轉(zhuǎn)子作為動力輸出目前還是空白，大徑距比的羅茨轉(zhuǎn)子將加速其應用。