一、填空題(本大題共14小題，每小題5分，計(jì)70分)

1.設(shè)全集U={x|x>1}，集合A?U.若UA={x|x>9},則集合A=______.

2.已知復(fù)數(shù)z滿足z(1+i)=3-i，其中i為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)z的模|z|=______.

3.某時(shí)段內(nèi)有100輛汽車經(jīng)過(guò)某一雷達(dá)測(cè)速區(qū)域，將測(cè)得的汽車時(shí)速繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.根據(jù)圖形推斷，該時(shí)段時(shí)速超過(guò)50 km/h的汽車輛數(shù)為_(kāi)_____.

4.如圖所示的流程圖中，輸出的S為_(kāi)_____.

6.袋中有形狀、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只紅球，2只黃球，從中一次隨機(jī)摸出2只球，則這2只球顏色不同的概率為_(kāi)_____.

11.已知函數(shù)f(x)滿足f(2-x)=f(2+x)(x∈R),當(dāng)x≤2時(shí)，f(x)=(x-1)ex-1.若關(guān)于x的方程f(x)-kx+2k-e+1=0有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是______.

12.已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且S80的正整數(shù)n的最大值為_(kāi)_____.

13.若a>0,b>0，且函數(shù)f(x)=aex+(b3-8)x在x=0處取得極值，則a+3b的取值范圍是______.

14.在?ABC中，邊a、b、c所對(duì)角分別為A、B、C，若2sin2B+3sin2C=2sinAsinBsinC+sin2A,則tanA=______.

二、解答題(本大題共6小題，計(jì)90分.解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟)

15.(本小題滿分14分)如圖，已知四棱錐P-ABCD中，CD⊥平面PAD，AP=AD，AB∥CD，CD=2AB，M是PD的中點(diǎn).

(1)求證：AM∥平面PBC；

(2)求證：平面PBC⊥平面PCD.

16.(本小題滿分14分)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P、Q是以AB為直徑的上半圓弧上兩點(diǎn)(點(diǎn)P在Q的右側(cè))，點(diǎn)O為半圓的圓心，已知AB=2，∠BOP=θ,∠POQ=α.

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)過(guò)右焦點(diǎn)F的直線l與橢圓C相交于點(diǎn)M、N.記直線AM、AN的斜率分別為k1、k2,若k1+k2=-1,求直線l的方程.

18.(本小題滿分16分)如圖，矩形ABCD是某生態(tài)農(nóng)莊的一塊植物栽培基地的平面圖，現(xiàn)欲修一條筆直的小路MN(寬度不計(jì))經(jīng)過(guò)該矩形區(qū)域，其中MN都在矩形ABCD的邊界上.已知AB=8，AD=6(單位：百米)，小路MN將矩形ABCD分成面積分別為S1、S2(單位：平方百米)的兩部分，其中S1≤S2,且點(diǎn)A在面積為S1的區(qū)域內(nèi)，記小路MN的長(zhǎng)為l百米.

(1)若l=4,求S1的最大值；

(2)若S2=2S1,求l的取值范圍.

19.(本小題滿分16分)已知函數(shù)f(x)=ex-mx,x∈R,其導(dǎo)函數(shù)為f′(x).

(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；

(2)若x>0，關(guān)于x的不等式f(x)≥x2+1恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；

(3)若函數(shù)f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)x1、x2,求證：

f′(x1)+f′(x2)>0.

20.(本小題滿分16分)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足2Sn-nan=n.

(1)求證：數(shù)列{an}是等差數(shù)列；

三、附加題(本大題有3小題，每小題10分，計(jì)30分.解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟)

(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程；

23.(本小題滿分10分)已知集合An={x>0|x=k1·2+k2·22+…+kn·2n},其中n∈N*，n≥2,ki∈{-1,1}(i=1,2,…,n),記集合An的所有元素之和為Sn.

(1)求S2、S3的值；

(2)求Sn.

參考答案

一、填空題

10.[140,192];11.(-e,0)∪(0,e);

12.18;13.(6,10];14.-1.

二、解答題

15.(1)取CP的中點(diǎn)N，連結(jié)BN.因?yàn)镸、N分別是PD、PC的中點(diǎn)，所以MN∥CD，且CD=2MN.

又AB∥CD，且CD=2AB，所以MN∥AB，且MN=AB，四邊形ABNM是平行四邊形，AM∥BN.

又BN?成PBC，AM?面PBC，所以AM∥面PBC.

(2)因?yàn)锳P=AD，點(diǎn)M是PD的中點(diǎn)，所以AM⊥PD.又AM∥BN，所以BN⊥PD.

因?yàn)镃D⊥面PAD，AM?面PAD，所以CD⊥AM.又AM∥BN，所以BN⊥CD.

因?yàn)镻D∩CD=D,PD、CD?面PCD，所以BN⊥面PCD.又BN?面PBC，所以面PBC⊥面PCD.

(3m2+4)y2+6my-9=0，

=-m.

又k1+k2=-1,故-m=-1,得m=1.

所以，直線l的方程為x-y-1=0.

18.依題意，折痕有下列三種情形：

① 折痕的端點(diǎn)M、N分別在邊AB、AD上；

② 折痕的端點(diǎn)M、N分別在邊AB、CD上；

③ 折痕的端點(diǎn)M、N分別在邊AD、BC上.

(1)在情形②、③中，MN≥6,故當(dāng)l=4時(shí)，折痕必定是情形①.

(2)由題意，S1+S2=6×8,且S2=2S1，S1≤S2，可得S1=16,S2=32.

t25692569,32 32(32,64)64y'-0+y6449↘64↗80

19.(1)f′(x)=ex-m.

若m≤0，則f′(x)>0,f(x)單調(diào)增.

若m>0,令f′(x)=0，得x=lnm.當(dāng)xlnm時(shí)，f′(x)>0，f(x)在(lnm,+∞)單調(diào)增.

綜上，當(dāng)m≤0時(shí)，f(x)在R上單調(diào)遞增；當(dāng)m>0時(shí)，f(x)在(-∞,lnm)單調(diào)減，在(lnm,+∞)單調(diào)增.

由(1)可知，當(dāng)m=1時(shí)，f(x)=ex-x在(0,+∞)單調(diào)遞增,故f(x)>f(0)=1,即ex-x-1>0.

所以方程g′(x)=0有唯一解x=1,且當(dāng)01時(shí)，g′(x)>0,g(x)在(1,+∞)單調(diào)增.所以g(x)min=g(1)=e-2.

所以m≤e-2.

不妨設(shè)x1>x2,即證(x1-x2)(ex1+ex2)-2(ex1-ex2)>0,即證(x1-x2)(ex1-x2+1)-2(ex1-x2-1)>0.

令h(t)=t(et+1)-2(et-1),t>0,則h(t)=(t-2)et+t+2,h′(t)=(t-1)el+1.

令φ(t)=h′(t)(t>0),則φ′(t)=ett>0,φ(t)=h′(t)在(0,+∞)單調(diào)增，故φ(t)>φ(0)=0,即h′(t)>0,h(t)在(0,+∞)單調(diào)增，得h(t)>h(0)=0,即t(et+1)-2(et-1)>0對(duì)任意實(shí)數(shù)t>0恒成立.

又x1-x2>0,所以(x1-x2)(ex1+ex2)-2(ex1-ex2)>0.得證.

20.(1)依題意，得

2Sn-nan=n，

①

2Sn+1-(n+1)an+1=n+1.

②

②-①，得2an+1-(n+1)an+1+nan=1,即

nan-(n-1)an+1=1.

③

故當(dāng)n≥2時(shí)，有

(n-1)an-1-(n-2)an=1.

④

③-④，可得2an=an-1+an+1,所以，當(dāng)n≥2時(shí)，2an=an-1+an+1，數(shù)列{an}是等差數(shù)列.

(2)據(jù)題意，2S1-a1=1,得a1=1.故

故存在唯一的正整數(shù)n∈(p,q],使得an+1≤bn

取t=n+1,則k=n(n+2).

所以對(duì){cn}中的任意一項(xiàng)cn，都存在t=n+1,k=n(n+2)，使得cn=ckct.

三、附加題

21.A.設(shè)點(diǎn)P(x,y)是l上的任意一點(diǎn)，其依次經(jīng)過(guò)變換TA,TB后得到點(diǎn)P′(x′,y′).則

又點(diǎn)P′在直線l′上，所以2x′+y′-2=0,得2(x+4y)+2y-2=0,即x+5y-1=0.

所以直線l的方程為x+5y-1=0.

圓C：ρ=4cosθ,即ρ2=4ρcosθ，x2+y2-4x=0,即(x-2)2+y2=4,故圓心C(2，0)，半徑r=2.

所以，實(shí)數(shù)a的取值范圍是[-2,6].

故動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程為y2=4x.

23.(1)當(dāng)n=2時(shí)，A2={x>0|x=2k1+4k2}={2,6},所以S2=2+6=8.

當(dāng)n=3時(shí)，A3={x>0|x=2k1+4k2+8k3}={2,6,10,14},所以S3=2+6+10+14=32.

所以當(dāng)kn=1,k1,k2,…,kn-1∈{-1,1},n≥2,n∈N*時(shí)，都有x∈An.

據(jù)乘法原理，使得ki=1(i=1,2,3,…,n-1,n≥2,n∈N*)的x共有2n-2個(gè)，使得ki=-1(i=1,2,3,…,n-1,n≥2,n∈N*)的x也共有2n-2個(gè)，所以Sn中的所有ki·2i(i=1,2,3,…,n-1,n≥2,n∈N*)項(xiàng)的和為0.

又因?yàn)槭沟胟n=1的x共有2n-1個(gè)，所以Sn=2n-1×2n=22n-1.