張國治 耿梁燕

(新疆生產(chǎn)建設兵團第二中學，830002)

著名數(shù)學家陳景潤先生在談起數(shù)學解題時,曾說過“題有千變,貴在有根”.以題根方式展開教學,旨在抓住解題思維入口,通過題根的變式拓展探求不同的解法,幫助學生理解問題內(nèi)涵,總結歸納解題.本文以一道競賽題為例,探源溯流,給出一類競賽題、高考題命題的題根,探索一種高效學習數(shù)學的方法,敬請同行指正.[1]

題根(2017年全國高中數(shù)學聯(lián)賽湖南省預賽題)[2]已知a、b>0且a≠b.

評注第(1)問為對數(shù)平均不等式，在近幾年的競賽、高考中應用非常廣泛，可簡化問題解答過程，開辟了不等式證明的新路.下面舉例說明該題根在競賽、高考題中的應用，幫助大家進一步諳熟此類問題的命題過程.

(1)若m=-2時,求f(x)的所有零點;

(2)若f(x)有兩個極值點x1、x2,且x1e2.

解(1)略.

于是lnx1x2=lnx1+lnx2=m(x1+x2)>2,得x1x2>e2.

(1)若f(x)在(2,f(2))處的切線與直線x-y=0平行,求實數(shù)n的值;

(2)試討論f(x)在[1,+∞)上的最大值;

(3)若n=1時,f(x)恰有兩個零點x1、x2(02.

解(1)、(2)略.

(1)討論f(x)的單調區(qū)間；

(2)若f(x)有兩個極值點x1、x2,記過點A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))的直線斜率為k.問:是否存在a,使得k=2-a?若存在,求出a的值；若不存在,請說明理由.

例4(2018年全國高中數(shù)學聯(lián)賽福建省預賽題)[3]已知f(x)=ex-mx.

(1)當x>0時,不等式(x-2)f(x)+mx2+2>0恒成立,求實數(shù)m的取值范圍;

(2)若x1、x2是f(x)的兩個零點,證明:x1+x2>2.

分析競賽組提供的解答是利用第(1)問的結論證明第(2)問,思路并不自然.若聯(lián)想到對數(shù)均值不等式，便有如下別具一格的解答，且第(2)問的證明不依賴與第(1)問.

解(1)略.

(2)證法1f′(x)=ex-m,若m≤0,則f′(x)>0,f(x)在(-∞,+∞)單調增,至多有一個零點，不合題意.若m>0,易見f(x)在(-∞,lnm)單調減,在(lnm,+∞)單調增,故f(x)min=f(lnm)=m(1-lnm).又x→-∞時,f(x)→+∞；x→+∞時,f(x)→+∞,故當f(lnm)=m(1-lnm)<0，即m>e時，f(x)有兩個不同的零點x1、x2.不妨設x10,f(lnm)<0,結合零點的存在性定理知0

評注本題中巧妙的換元,使得問題迅速獲解,但關鍵是需要明確到函數(shù)存在兩個零點的條件.本文所提供的兩種解法均不同于標準解答,且解法都優(yōu)于標準解答，同時還可得到如下推廣：

推論2若x1、x2是f(x)=ex-mx(m>e)的兩個零點,則2

變式(2016年全國高考題)已知函數(shù)f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2有兩個零點.

(1)求a的取值范圍;

(2)設x1、x2是f(x)的兩個零點,證明:x1+x2<2.

由平均不等式不難獲得問題(2)的證明，限于篇幅，這里不再贅述.請讀者自行驗證.

例5(2018年全國高考題)設函數(shù)

(1)討論f(x)的單調性;

(2)若f(x)有兩個極值點x1、x2,證明:

解(1)略.

(2)由(1)知,f(x)存在極值點當且僅當a>2.由于f(x)有兩個極值點x1、x2滿足x2-ax+1=0,所以x1x2=1,x1+x2=a.

總之,研究“題根”對教學、命題和解題都有深遠的意義,變幻多端的數(shù)學題目猶如蔥郁繁密的樹葉．看似難以捉摸,實則息息相關,故而在研究問題時應撥開層層枝葉,尋其根源.“題根”的這種由基礎到綜合、由簡單到復雜的教學方式既夯實了基礎,符合“回歸題根”的學習理念,也滿足了不同學生的認知需求,為學生的個性化發(fā)展提供了滋養(yǎng)的土壤.[1]