陳 鍇

(廣東省中山市龍山中學，528471)

《普通高中數(shù)學課程標準(2017年版)》指出：“高中數(shù)學教學以發(fā)展學生數(shù)學學科核心素養(yǎng)為導向,創(chuàng)設(shè)合適的教學情境,啟發(fā)學生思考,引導學生把握數(shù)學內(nèi)容的本質(zhì).”其中的“情境”主要是指現(xiàn)實情境、數(shù)學情境、科學情境.在教學中,教師應發(fā)揮主導作用,通過創(chuàng)設(shè)豐富、有趣、貼近現(xiàn)實的教學情境和在情境中不斷地提出問題激發(fā)學生的學習興趣,啟發(fā)學生思考,引領(lǐng)學生經(jīng)歷從具體到抽象、從實際到理論的知識生成過程,從而探尋數(shù)學知識的本質(zhì).筆者在進行“回歸分析的基本思想及其初步應用(第二課時)”教學時,通過“創(chuàng)設(shè)、發(fā)展、抽象、回歸”,將教學情境不斷演化,獲得了較好的教學效果.

一、教學內(nèi)容分析

本節(jié)課是人教A版教材選修2-3第三章第一節(jié)第二課時內(nèi)容.在必修三教材已經(jīng)學習了變量間的相關(guān)關(guān)系及線性回歸方程的基礎(chǔ)之上,教材選修2-3側(cè)重于回歸分析的基本思想、線性回歸模型以及非線性回歸模型的應用.本節(jié)課是在已經(jīng)學習了線性回歸模型以及最小二乘法的基礎(chǔ)上,對非線性回歸模型進行研究的第二課時，為更好地由線性回歸模型過渡到非線性回歸模型,筆者以施肥量和農(nóng)作物產(chǎn)量增量為教學情境,并對該教學情境進行發(fā)展變化,引領(lǐng)學生經(jīng)歷回歸分析全過程.

本節(jié)課的教學重點是:了解回歸分析的基本思想，以及線性回歸模型與非線性回歸模型之間的差異與聯(lián)系,提高學生解決回歸問題的綜合能力.這同時也是本節(jié)課的難點所在.

二、學情分析

面對非線性回歸問題,學生在選擇不同的回歸模型和將非線性回歸模型轉(zhuǎn)化為線性回歸模型時,常會覺得困難.其主要原因是學生對回歸分析思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想理解不透,缺乏相關(guān)的轉(zhuǎn)化方法.教師在教學中應結(jié)合具體問題,讓學生對不同回歸模型進行分析、比較和判斷,了解回歸模型“沒有最好,只有更好”的特點.這時應充分發(fā)揮信息技術(shù)的作用,突破傳統(tǒng)課堂教學難點,讓學生從直觀和抽象兩個方面理解非線性回歸模型轉(zhuǎn)化為線性回歸模型的變形過程與方法.

三、教學過程設(shè)計

1.創(chuàng)設(shè)情境,典例引路

世間萬物有著千絲萬縷的關(guān)系,其中函數(shù)關(guān)系是一種確定性的關(guān)系,而相關(guān)關(guān)系是一種非確定的關(guān)系.數(shù)學是研究事物之間關(guān)系的有力工具,回歸分析是研究相關(guān)關(guān)系的一種常用統(tǒng)計方法,其常見步驟是:收集數(shù)據(jù)、作散點圖、求回歸方程、利用方程進行預測.

情境1某基地蔬菜大棚采用無土栽培方式種植各類蔬菜,該基地的西紅柿增加量y(kg)與使用某種液體肥料的質(zhì)量x(kg)之間的對應數(shù)據(jù)如下表所示:

x24568 y34445

問題1你能用自然語言描述西紅柿增加量y(kg)與使用某種液體肥料的質(zhì)量x(kg)之間的關(guān)系嗎?

問題2你能用數(shù)學語言描述上述關(guān)系嗎?

問題3你能用散點圖表示上述關(guān)系嗎?

問題4你能用數(shù)學方程表示上述關(guān)系嗎?請寫出你的方程并計算當x為3時的西紅柿增加量y.

問題5如何評價你得出的方程擬合題意呢?

設(shè)計意圖本環(huán)節(jié)在教學情境的基礎(chǔ)上,通過問題串的解決使學生掌握線性回歸問題的一般性解決思路,在問題解決中鞏固知識,加深理解.在創(chuàng)設(shè)情境時,筆者發(fā)現(xiàn)與本節(jié)課內(nèi)容相關(guān)的問題情境有的紛繁復雜,有的脫離學生生活,會給學生的認知造成困難.本環(huán)節(jié)設(shè)計的情境簡單明了、貼近現(xiàn)實、凸顯本質(zhì),與學生熟悉的生物學知識具有緊密的聯(lián)系,且具有較廣的發(fā)展空間,為后續(xù)進行情境拓展創(chuàng)造了條件.

值得注意的是,數(shù)學運算是數(shù)學核心素養(yǎng)之一.在高考試題從能力立意向素養(yǎng)導向的轉(zhuǎn)變的趨勢中,線性回歸分析問題是考察學生數(shù)學運算核心素養(yǎng)的良好載體,教師在教學中應重視學生計算能力的培養(yǎng).

2.發(fā)展情境,變式探究

情境2在生產(chǎn)實踐中,蔬菜基地工作人員通過收集更多數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn),當施肥量x(kg)達到一定水平后,西紅柿增加量y(kg)增加緩慢,相關(guān)數(shù)據(jù)如下表:

x1234567891 y233.54444.5555

問題6根據(jù)散點圖判斷,y=a+bx與y=c+dlnx哪一個適宜作為西紅柿增加量y關(guān)于施肥量x的回歸方程類型?

如圖1，隨著施肥量的增加,西紅柿產(chǎn)量的增加越來越緩慢,并非線性增加的關(guān)系,故使用y=c+dlnx作為回歸方程更加合適.

問題7根據(jù)散點圖,你能為題中的數(shù)據(jù)再設(shè)計一個回歸方程模型嗎?

根據(jù)散點圖,可以選擇冪函數(shù)模型y=axb進行回歸分析.

問題8如何判斷哪個回歸方程模型更好呢?

教師可利用圖形計算器做出每個回歸模型的殘差圖(如圖2)并進行觀察.通過觀察殘差圖可得線性回歸模型的殘差分布在(-0.7,0.7)范圍內(nèi)；對數(shù)函數(shù)回歸模型和冪函數(shù)回歸模型的殘差均分布在(-0.4,0.4)范圍內(nèi).所以y=c+dlnx和y=axb模型的擬合效果優(yōu)于線性回歸模型y=a+bx的擬合效果.教師還可以使用統(tǒng)計計算功能求出三種回歸模型的相關(guān)系數(shù)(如圖3)，最終確定對數(shù)函數(shù)回歸模型為三種模型中的最優(yōu)模型.

問題9如何求出回歸方程y=c+dlnx呢?

設(shè)z=lnx,則回歸方程可化為線性方程y=c+dz,在圖形計算器的表格頁面中進行運算后可求出回歸方程y=c+dlnx.

設(shè)計意圖本環(huán)節(jié)在順應學生常識知識的基礎(chǔ)上,將情境1進行拓展,生成更符合現(xiàn)實的情境2；并在解決問題的過程中引導學生學會選擇回歸模型、學會設(shè)計回歸模型、學會評價回歸模型、學會求出回歸方程.

本環(huán)節(jié)凸顯了信息技術(shù)工具在教學中的作用,發(fā)揮圖形計算器的表格運算功能、作圖功能、回歸分析等功能,使抽象的數(shù)學知識變得更直觀,復雜的數(shù)學運算變得更簡便.從而將時間讓位給學生的自主思考,幫助學生積累數(shù)學基本活動經(jīng)驗,感悟數(shù)學基本思想.

3.抽象情境,深化拓展

情境3數(shù)學中除了線性回歸模型、對數(shù)函數(shù)回歸模型還存在很多其他回歸模型,例如指數(shù)函數(shù)回歸模型、冪函數(shù)回歸模型、三角函數(shù)回歸模型等.如果可以將非線性回歸模型轉(zhuǎn)化為線性回歸模型,就可以使用最小二乘法進行求解.

問題10如何將指數(shù)函數(shù)回歸模型y=a×ebx轉(zhuǎn)化為線性回歸模型?

將指數(shù)函數(shù)模型y=aebx兩邊取對數(shù),可得lny=lna+bx.設(shè)u=lny,則回歸方程可化為線性方程u=lna+bx.

問題11如何將冪函數(shù)回歸模型y=axb轉(zhuǎn)化為線性回歸模型?

將指數(shù)函數(shù)模型y=axb兩邊同時取對數(shù),得lny=lna+blnx.設(shè)u=lny,v=lnx,則回歸方程可化為線性方程u=lna+bv.

設(shè)計意圖本環(huán)節(jié)在情境2的基礎(chǔ)上,將情境繼續(xù)發(fā)散與抽象,生成情境3.旨在引導學生思考指數(shù)函數(shù)模型和冪函數(shù)模型,并利用同時取對數(shù)的方法轉(zhuǎn)化為線性回歸模型.教師還可使用圖形計算器的表格計算功能和散點圖功能,對上述轉(zhuǎn)化方法進行檢驗,以幫助學生深化理解.

4.回歸情境,總結(jié)升華

情境4回顧情境1與情境2，請同學們思考,是否施肥量越多,西紅柿的產(chǎn)量就會一直增長呢?答案是否定的.生物學知識告訴我們,如果一次施肥過多或過濃,會造成土壤溶液濃度大于根毛細胞液濃度,農(nóng)作物會失水燒苗.所以可以預見的是,如果收集更多的數(shù)據(jù)就可以發(fā)現(xiàn)當施肥量x繼續(xù)變大時,西紅柿產(chǎn)量的增加量y會越來越小，甚至變?yōu)樨摂?shù),散點圖也會呈現(xiàn)先上升再下降的趨勢,此時對數(shù)函數(shù)模型也將不再適用了.

在當今社會,數(shù)據(jù)已經(jīng)為各行各業(yè)的發(fā)展發(fā)揮著重要的作用.在生活中,每個人既是數(shù)據(jù)的創(chuàng)造者也是數(shù)據(jù)的受益者.在已經(jīng)到來的大數(shù)據(jù)時代,回歸分析正是一種與之相關(guān)的重要的數(shù)學知識.

總結(jié):由上可見回歸分析問題的一般解題步驟(如圖4):

設(shè)計意圖在本環(huán)節(jié)中,教師進一步將貫穿本節(jié)課始終的教學情境置于現(xiàn)實生活中,引導學生綜合其他學科知識思考問題,發(fā)現(xiàn)收集的數(shù)據(jù)量越大所得結(jié)論越準確的大數(shù)據(jù)規(guī)律.啟發(fā)學生用數(shù)學的眼光觀察現(xiàn)實世界,用數(shù)學的思維思考現(xiàn)實世界,用數(shù)學的語言表達現(xiàn)實世界.

三、幾點感悟

1.好的教學情境應該能激發(fā)學生的問題意識

《普通高中數(shù)學課程標準(2017年版)》注重對學生問題意識的培養(yǎng)；在課程目標中強調(diào)應“提高從數(shù)學角度發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、分析和解決問題的能力”.好的教學情境應該在展現(xiàn)數(shù)學知識背景的基礎(chǔ)上為數(shù)學問題的提出提供土壤.教師不僅應在課前精心設(shè)計問題串,還應該在教學過程中留意學生即興生成的優(yōu)秀問題,以問題串引領(lǐng)學生思維,經(jīng)歷知識的發(fā)生發(fā)展過程.

2.好的教學情境應該反映教學內(nèi)容的本質(zhì)

教師在創(chuàng)設(shè)教學情境時,不能為了情境而情境,好的教學情境應該為教師的教和學生的學服務,應該能反映數(shù)學知識的特點,能承載相應的教學功能,能反映教學內(nèi)容的本質(zhì).對于統(tǒng)計學知識,教學情境多來源于數(shù)學外部的素材.這類素材具有生動、具體、有吸引力的特點,但往往與數(shù)學知識的貼切度不強,教師應對教學情境進行適度改編,以增強情境與知識的貼切度,讓教學情境更好地反映教學內(nèi)容的本質(zhì).

3.好的教學情境應該鼓勵數(shù)學探究活動

數(shù)學探究活動是圍繞某個具體的數(shù)學問題,開展自主探究、合作研究，并最終解決問題的過程,是運用數(shù)學知識解決數(shù)學問題的一類綜合實踐活動,也是高中階段數(shù)學課程的重要內(nèi)容.好的教學情境,應該如同種子一般,具有不斷生長拓展的能力,可以不斷給學生提供新的信息、新的問題.應當鼓勵學生圍繞情境開展數(shù)學探究活動,在探究活動中實現(xiàn)核心素養(yǎng)的落地生根.