一、選擇題(本大題共8小題,每小題5分，計(jì)40分.在每小題的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求)

1.在?ABC中,A=45°，B=60°，a=10,則b等于 ( )

2.在?ABC中,sinA∶sinB∶sinC=3∶7∶5,那么這個(gè)三角形的最大角是( )

(A)90° (B)120° (C)135° (D)150°

4.已知在?ABC中,角A、B、C所對的邊分別為a、b、c,如果(a+b+c)(b+c-a)=3bc， 那么A=( )

(A)30° (B)60° (C)120° (D)150°

6.已知?ABC中,a=4sin 10°,b=2sin 50°,C=70°,則S?ABC=( )

(A)等腰三角形 (B)直角三角形

(C)銳角三角形 (D)鈍角三角形

二、多項(xiàng)選擇題(本題共4小題,每小題5分,計(jì)20分.在每小題的四個(gè)選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合項(xiàng)目要求，全部選對得5分,部分選對得3分,有選錯(cuò)的得0分)

9.在?ABC,下列各結(jié)論中,正確的為 ( )

(A)sin2A=sin2B+sin2C

+2sinBsinCcos(B+C)

(B)sin2B=sin2A+sin2C

+2sinAsinCcos(A+B)

(C)sin2(A+B)=sin2A+sin2B

-2sinBsinCcos(A+B)

(D)sin2C=sin2A+sin2B

-2sinAsinBcosC

10.在?ABC中,角A、B、C所對的邊分別為a、b、c,根據(jù)下列條件解三角形,其中有一解的是( )

(A)b=10,A=45°,C=70°

(B)a=7,b=5,A=60°

(C)a=14,b=16,A=45°

(D)a=4,b=2,B=30°

11.已知a、b、c是?ABC三個(gè)內(nèi)角的對邊,下列四個(gè)命題中正確的是( )

(A)若sin2A+sin2B+cos2C<1,則?ABC為鈍角三角形

(B)若acosA=bcosB,則?ABC是等腰三角形

(C)若bcosC+ccosB=b,則?ABC是等腰三角形

(D)若tanA+tanB+tanC>0,則?ABC是銳角三角形

三、填空題(本題共4題,每小題5分,計(jì)20分)

14.如圖所示,一艘海輪從點(diǎn)A處出發(fā),測得燈塔在海輪的北偏東15°方向,與海輪相距20海里的點(diǎn)B處,海輪按北偏西60°的方向航行了30分鐘后到達(dá)點(diǎn)C處,又測得燈塔在海輪的北偏東75°的方向,則海輪的速度為______海里/分鐘.

16.已知等腰三角形腰上的中線長為1,則該三角形的面積的最大值是______.

四、解答題(本大題共6小題,計(jì)70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)

(1)求函數(shù)f(α)的值域;

(1)求sinA;

(1)將y表示為x的函數(shù)f(x),并求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;

(1)求角A的大小;

21.(本小題滿分12分)某地舉行水上運(yùn)動(dòng)會(huì),如圖,岸邊有A、B兩點(diǎn),相距2千米,∠BAC=30°.小船從A點(diǎn)以v千米/小時(shí)的速度沿AC方向勻速直線行駛,同一時(shí)刻運(yùn)動(dòng)員出發(fā),經(jīng)過t小時(shí)與小船相遇.

(1)若v=12,運(yùn)動(dòng)員從B處出發(fā)游泳勻速直線追趕,為保證15分鐘內(nèi)(含15分鐘)能與小船相遇,求運(yùn)動(dòng)員游泳速度的最小值;

(2)若運(yùn)動(dòng)員先從A處沿射線AB方向在岸邊跑步勻速行進(jìn)m(0

(1)證明:方程有兩個(gè)不等實(shí)根;

(2)證明:兩個(gè)實(shí)根α、β都是正數(shù);

(3)若a=c，試求|α-β|的變化范圍.

參考答案

一、選擇題

1.A；2.B;3.A;4.B;5.B;

6.C;7.A;8.C;

二、多項(xiàng)選擇題

9.AD；10.ACD;11.ACD;12.AD.

三、填空題

四、解答題

由余弦定理，得a2=b2+c2-2bccosA,即4=b2+c2-bc,所以4=(b+c)2-3bc,結(jié)合b+c=4,所以bc=4.

(2)由余弦定理，在?ABM、?ACM中，有

①

②

又cos∠AMB=-cos∠AMC,①+②可得

T=4sin2B+4sin2C

=-2(cos 2B+cos 2C)+4

答:運(yùn)動(dòng)員游泳速度的最小值為6千米/小時(shí).

(2)由題意知[8(t-m)]2=(16m)2+(vt)2-2×16m×vtcos 30°,兩邊同除以t2，得

=-4cosB.

由cosB∈(-1,0)，得0<-4cosB<4,所以，|α-β|的變化范圍是(0,2).