方明生

(安徽省樅陽縣會宮中學(xué)，246740)

無理函數(shù)的最值問題是一類常見試題，其難度適中,但學(xué)生普遍得分不高,主要是方法選取不當(dāng)導(dǎo)致解題思路受阻.學(xué)生習(xí)慣采用平方或者導(dǎo)數(shù),但對有些題型,以上兩種方法都不太實用.通過平時的教學(xué)以及解題經(jīng)驗的總結(jié),筆者對此類題型的做法進行了一些歸納,不當(dāng)之處請各位指正．

一、平方法

二、導(dǎo)數(shù)法

評注導(dǎo)數(shù)法是學(xué)生最常用的方法,解題的思路比較清晰,但弊端是運算量大,對于較為復(fù)雜的題型容易出現(xiàn)求導(dǎo)錯誤.在解題中確實沒有任何思路,可采用導(dǎo)數(shù)法.

三、單調(diào)性法

評注利用函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)去判斷函數(shù)的單調(diào)性,主要適用于單調(diào)性遞增函數(shù)加單調(diào)遞增函數(shù)的函數(shù)題型(或者減函數(shù)加減函數(shù))這需要我們在審題時多加觀察,熟悉一些常見函數(shù)的單調(diào)性

四、分子有理化法

評注本題函數(shù)的單調(diào)性并不明顯,但采用分子有理化后,其分母是單調(diào)遞增函數(shù),問題迅速回歸熟悉題型.本題類型與例1有異同,希望讀者多加比較.

解易知函數(shù)定義域為[6,8],且

五、換元法

評注雙換元是比較實用的方法,對于大部分題型都可以采用,換元后再利用線性規(guī)劃知識或者三角換元求出最值即可.

評注本題有一定的綜合性，相對來說有點難度.在處理的時候需要借助式子自身的特點,通過換元后轉(zhuǎn)化為三次函數(shù),再通過導(dǎo)數(shù)進行求最值.

六、平面幾何法

評注本題看似同于例4,其實不然.本題型通過轉(zhuǎn)化為兩條線段的距離之差求最值,在求解時需要根據(jù)圖象(或者|PA|與|PB|的大小)判斷是最大值還是最小值.若存在最小值,則最大值不存在,但是函數(shù)值y有上界;同理，存在最大值時,則最小值不存在,但函數(shù)最小值存在下界.

七、三角換元法

評注抓住函數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征,通過三角換元去根號也是常用思路,但換元的時候一定要注意換元的等價性,還要根據(jù)定義域求出參數(shù)α的取值范圍.

八、向量法

評注本題是例1的變式題型,如果要求最小值采用向量法就不太好處理,其原因是向量n表示的動點軌跡為四分之一圓弧.

評注向量法通常是是借助向量不等式-|m||n|≤m·n≤|m||n|求范圍,運算簡便,但劣勢在于求最小值還必須通過其他的方法去解決.