湯學(xué)興

(甘肅省金昌市第一中學(xué)，737100)

一、原題呈現(xiàn)與解答剖析

普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)試驗教科書數(shù)學(xué)選修2-1(人教版)第49頁有如下一道習(xí)題.

二、解題反思

隨著新一輪課程改革的實施,教師對數(shù)學(xué)的教學(xué)應(yīng)由傳統(tǒng)的“結(jié)果性教學(xué)”轉(zhuǎn)變?yōu)樗仞B(yǎng)立意的“過程性教學(xué)”.通過對這道題的剖析,啟發(fā)我們解題時不能僅限于就題論題,要站在命題者的角度探尋試題命制的源流,追溯其本源,更好地理解與領(lǐng)悟課程標(biāo)準(zhǔn)的精神和要求,提高日常學(xué)習(xí)的質(zhì)量和效率.

數(shù)學(xué)概念通常反映了現(xiàn)實世界空間形式和數(shù)量關(guān)系的本質(zhì)屬性.上述教材習(xí)題表明數(shù)學(xué)概念不僅要記住,更要通過具體的例子來深入理解，培養(yǎng)我們學(xué)會借助定義能快速解決問題的方法.

三、拓展變式舉例

例1已知圓A:(x+3)2+y2=100,圓A內(nèi)一定點(diǎn)B(3,0),圓P過點(diǎn)B且與圓A內(nèi)切,求圓心P的軌跡方程.

解設(shè)圓P的半徑為r,則|PB|=r.

如圖1，由圓P與圓A內(nèi)切,圓A的半徑為10,得兩圓的圓心距|PA|=10-r,即|PA|+|PB|=10(大于|AB|=6).于是，圓心P的軌跡是以A、B為焦點(diǎn)的橢圓.

變式1已知圓C1:(x+3)2+y2=1和圓C2:(x-3)2+y2=9,動圓M同時與圓C1及圓C2相外切,則動圓圓心M的軌跡方程為______.

變式2已知兩圓C1:(x+4)2+y2=2,C2:(x-4)2+y2=2,動圓M與兩圓C1、C2都相切,則動圓圓心M的軌跡方程是( )

(A)x=0

解動圓M與兩圓C1、C2都相切,有四種情況:① 動圓M與兩圓都外切;② 動圓M與兩圓都內(nèi)切;③ 動圓M與圓C1外切,與圓C2內(nèi)切;④ 動圓M與圓C1內(nèi)切,與圓C2外切.

綜上，選D.

(A)橢圓 (B)雙曲線

(C)拋物線 (D)以上都不對

解題設(shè)方程可轉(zhuǎn)化為

設(shè)M(x,y),上式可看作動點(diǎn)M到原點(diǎn)的距離等于動點(diǎn)M到直線3x+4y-12=0的距離.故動點(diǎn)M的軌跡是以原點(diǎn)為焦點(diǎn),以3x+4y-12=0為準(zhǔn)線的拋物線，選C.

例2已知函數(shù)f(x)對一切實數(shù)x、y∈R，都有f(x+y)=f(x)+f(y)；且當(dāng)x>0時,f(x)<0,f(3)=-2.

(1)試判定該函數(shù)的奇偶性;

(2)試判斷該函數(shù)在R上的單調(diào)性;

(3)求f(x)在[-12,12]上的最值.

分析要判斷函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性,大多數(shù)學(xué)生易想到定義和圖象,但對于抽象函數(shù)問題,聯(lián)系函數(shù)奇偶性、單調(diào)性定義解決顯然更優(yōu)越.

解(1)在已知函數(shù)方程中令x=y=0,得f(0)=f(0)+f(0),故f(0)=0;再令y=-x,得f(x)+f(-x)=f(0),即f(x)+f(-x)=0,亦即f(-x)=-f(x).故f(x)為奇函數(shù).

(2)對任意x1、x2>0,且x10,聯(lián)系函數(shù)方程及f(x)的奇偶性，可得f(x2)-f(x1)=f(x2)+f(-x1)=f(x2-x1)<0,故f(x)在(0,+∞)單調(diào)減.

再由奇函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，可得f(x)在(-∞,0)上單調(diào)減.

綜上，f(x)在(-∞,+∞)單調(diào)減.

(3)由(2)知，f(x)在[-12,12]的最大值為f(-12),最小值為f(12).

在函數(shù)方程中令y=x,可得f(2x)=2f(x);又f(3)=-2,故f(12)=2f(6)=4f(3)=-8,f(-12)=-f(12)=8.即所求最大值為8，最小值為-8.