孔志文 劉 嘉

(北京市朝陽外國語學(xué)校，100012)

2019年清華大學(xué)自主招生筆試第11題形式新穎,內(nèi)涵豐富,引起了筆者深入的探究和思考.

一、試題簡析

本題是一道含約束條件的二元函數(shù)最值問題,題目以解析幾何中的圓和函數(shù)為背景,考查數(shù)形結(jié)合、分類整合、轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學(xué)思想,同時考查學(xué)生分析問題和解決問題的能力,具有很好的選拔功能.本題的成功解決要求學(xué)生具有一定的思維深度和廣度,難點在于如何根據(jù)條件合理轉(zhuǎn)化,將二元函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)問題.

二、解法探究

本題條件簡潔,求解的入口較寬,利用發(fā)散思維從不同的角度考察,可以達到對二元函數(shù)進行轉(zhuǎn)化化歸,得到不同的解法.

綜上,u∈[1,2],故w的最大值為2,最小值為1.

評注解決多元最值問題的基本思想是通過消元法轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)最值問題,因此解法1具有一般性. 本題利用齊次式換元,需要學(xué)生具備模型意識.

分析2聯(lián)想二元函數(shù)的最值(值域)問題可通過方程思想求解,本題利用換元法可使問題獲解.

①

解得3

綜上,得1≤u2≤4.

又u>0,所以u的最大值為2,最小值為1.

評注函數(shù)與方程思想是高中數(shù)學(xué)基本的數(shù)學(xué)思想之一,解法2與解法1的類似之處是通過換元將二元問題一元化. 隨后將函數(shù)的最值問題轉(zhuǎn)化為二次方程的實根分布問題而獲解,側(cè)重基礎(chǔ)知識的考查與運用完成.

評注由mx+ny聯(lián)想到構(gòu)造向量數(shù)量積,將原問題轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積問題,大大簡化了運算,提高了解題效率.

由以上分析可見,對一道好試題的解法研究,有助于踐行所學(xué)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識和思想方法,使我們的思維更加開闊、認(rèn)識更加深刻,更好地認(rèn)識數(shù)學(xué)的本質(zhì).一道好題猶如一杯甘泉水,越研究越有趣,越研究越有數(shù)學(xué)味道.當(dāng)然，這就需要我們有發(fā)現(xiàn)的眼睛,善于發(fā)現(xiàn)好題.