江志杰

(福建省惠安第三中學(xué)，362100)

一、線性遞推數(shù)列模型的內(nèi)涵與外延

值得一提的是,很多復(fù)雜遞推關(guān)系模型往往是由an+1=kan+b變式替代而來的:

當(dāng)數(shù)列{an}的通項(xiàng)an表示某一數(shù)列{bn}的前后項(xiàng)關(guān)系時,比如說an=pbn+1+qbn，將此代入an+1=kan+b中就得到bn+2、bn+1、bn的關(guān)系.反之,給定bn+2、bn+1、bn的關(guān)系,我們一般可通過恰當(dāng)?shù)呐錅愖冃?、?gòu)造轉(zhuǎn)化為常規(guī)數(shù)列來求解.諸如這類“由某一數(shù)列前后幾項(xiàng)關(guān)系構(gòu)造新數(shù)列求通項(xiàng)”的問題中,其遞推關(guān)系模型往往來源于對an+1=kan+b的迭代或轉(zhuǎn)型!

當(dāng)數(shù)列{an}的通項(xiàng)an表示某兩數(shù)列{bn}、{cn}的通項(xiàng)關(guān)系時,比如說an=pbn+qcn，將此代入an+1=kan+b中就得到bn+1、bn、cn+1、cn的“混合”關(guān)系,這其實(shí)就是雙數(shù)列的遞推關(guān)系,其中數(shù)列{bn}和{cn}之間可能是獨(dú)立(彼此無關(guān))的.也可能是交錯(彼此相關(guān))的,據(jù)此我們可初步領(lǐng)略那些雙數(shù)列線性遞推問題的生成根基.

二、線性交替遞推關(guān)系的代換與變式

很多線性雙數(shù)列通項(xiàng)問題的求解關(guān)鍵是圍繞“雙數(shù)列的線性組合”來構(gòu)造常規(guī)數(shù)列的.

例1(2019年全國高考題)已知數(shù)列{an}和{bn}滿足a1=1,b1=0,4an+1=3an-bn+4,4bn+1=3bn-an-4.

(1)證明:{an+bn}是等比數(shù)列,{an-bn}是等差數(shù)列;

(2)求{an}和{bn}的通項(xiàng)公式.

解類似例1,發(fā)現(xiàn)遞推關(guān)系中數(shù)列{an}和{bn}的第n+1項(xiàng)系數(shù)相同、第n項(xiàng)系數(shù)交替.

將兩式相減，得an+1-bn+1=an-bn，又a1-b1=1,故an-bn=1(n∈N*).

將兩式相加，得an+1+bn+1=3(an+bn),故an+bn=(a1+b1)·3n-1=3n-1(n∈N*).

(A)9 (B)10 (C)11 (D)12

評注不難發(fā)現(xiàn),若將兩式相加可得an+1+bn+1=an+bn=1.3,進(jìn)而求出數(shù)列{an}和{bn}的通項(xiàng)公式;在上述三個例題的線性遞推關(guān)系中,均明顯具備“后項(xiàng)系數(shù)交替”的特征,故對數(shù)列{an}、{bn}直接進(jìn)行“和差組合”即可發(fā)現(xiàn)、構(gòu)造新的常規(guī)數(shù)列!

例4已知數(shù)列{an}和{bn}滿足a1=b1=1,an+1=an+2bn,bn+1=an+bn,則下列結(jié)論正確的是( ) .

三、線性交替遞推關(guān)系的配湊與構(gòu)造

上述例題中,數(shù)列{an}和{bn}均明確提供了線性組合關(guān)系,只要根據(jù)這一組合關(guān)系便可構(gòu)造新數(shù)列,并且求得新數(shù)列的通項(xiàng)公式.于是我們不禁要問:這種線性組合又是如何得到呢?

事實(shí)上,對于

解由條件可得an+1+λbn+1=(-2-4λ)an+(1+3λ)bn.

當(dāng)λ=-1時,an+1-bn+1=2(an-bn),可得an-bn=(-6)·2n-1=-3·2n.

聯(lián)立方程組，可得an=2n+(-1)n,bn=2n+2+(-1)n.

即an是完全平方數(shù).

通過以上探究發(fā)現(xiàn)，對形如①、②兩式的雙數(shù)列線性交替遞推關(guān)系,通過恰當(dāng)合理的配湊一般可轉(zhuǎn)為“雙數(shù)列線性組合”an+1+λbn+1=k(an+λbn)+b或“單數(shù)列前后項(xiàng)線性組合”pan+2+qan+1=k(pan+1+qan)+b的新型常規(guī)數(shù)列來解決.這種雙數(shù)列線性遞推問題的實(shí)質(zhì)來源均是常規(guī)模型“cn+1=kcn+b(n∈N*,k≠0)”的線性迭代或變式衍生.掌握這一問題本質(zhì)必然使我們對遞推關(guān)系的化歸轉(zhuǎn)換和配湊構(gòu)造更具方向性、目的性和創(chuàng)造性,也讓我們充分感受到“cn+1=kcn+b”這一遞推模型的廣泛應(yīng)用性和目標(biāo)統(tǒng)一性!