胡廣宏 夏麗娟

(江蘇省前黃高級中學(xué)國際分校，213161)

本文結(jié)合教學(xué)中學(xué)生遇到的困難,以近幾年高考或?？贾械臄?shù)列整數(shù)解問題為例,談?wù)剶?shù)列中整數(shù)解問題的求解策略.

策略1利用多項(xiàng)式因式分解

例1已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且2a5-a3=13,S4=16.

(1)求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn；

(2)是否存在正整數(shù)m、n(n>m>2),使得S2、Sm-S2、Sn-Sm成等比數(shù)列?若存在,求出所有的m、n;若不存在,說明理由.

分析通過對表達(dá)式進(jìn)行因式分解,對另一側(cè)的常數(shù)進(jìn)行因數(shù)分解,進(jìn)而將不定方程拆成含多個方程的方程組并解出變量,是不定方程求解的常用方法.

解(1)an=2n-1,Sn=n2.(過程略)

(2) 假設(shè)存在正整數(shù)m、n滿足題意,則(Sm-S2)2=S2(Sn-Sm),即(m2-4)2=4(n2-m2),所以4n2-(m2-2)2=12, 即(2n-m2+2)(2n+m2-2)=12.

由n>m>2,得m≥3,n≥4,故2n+m2-2≥15.又因2n-m2+2是整數(shù),所以等式(2n-m2+2)(2n+m2-2)=12不能成立.

綜上,滿足題設(shè)的正整數(shù)m、n不存在.

策略2利用參變分離法

例2已知數(shù)列{an}中,a1=3,前n項(xiàng)和Sn滿足an+1=2Sn+3(n∈N*).

(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;

(2)是否存在整數(shù)對(m,n)(其中m∈Z,n∈N*)滿足a2n-(m+2)an+7m+5=0?若存在,求出所有的滿足題意的整數(shù)對(m,n);若不存在,請說明理由.

解(1)an=3n(n∈Ν*).(過程略)

評注本題將不定方程先利用參變量分離,得出3n-7是40的約數(shù);再通過枚舉探索,簡單方便地處理了問題.

策略3利用變量函數(shù)的值域

(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式及Tn;

(2)是否存在正整數(shù)m、n(1

綜上,存在m=2,n=12,使得T1、Tm、Tn成等比數(shù)列.

策略4利用函數(shù)的單調(diào)性

(1)求Sn；

(2)是否存在正整數(shù)p、q、r(p

分析本題第(2)問,學(xué)生對三個變量的處理并不太熟悉,如何化復(fù)雜為簡單,需要先進(jìn)行減元處理,再通過構(gòu)造函數(shù)并研究其單調(diào)性,使問題得到解決.

綜上,p、q、r的值分別為1、2、3.

策略5利用分類討論思想

(1)求{an}的通項(xiàng)公式;

(2)設(shè){an}的前n項(xiàng)和為Sn,問是否存在正整數(shù)m、n,使S2n=mS2n-1? 若存在,求所有的正整數(shù)對(m,n);若不存在,請說明理由.

分析本題雖然只有兩個變量,但如果分離參處理,并不能直接得出結(jié)果.若利用題設(shè)條件尋找問題的突破口,可先對變量取值范圍進(jìn)行條件約束,再進(jìn)行分類討論.

假設(shè)存在正整數(shù)m、n,使得S2n=mS2n-1,則3n+n2-1=m(3n-1+n2-1),所以

3n-1(3-m)=(m-1)(n2-1).

(*)

由(*)式可見3-m≥0,即m≤3,所以m=1、2、3.

當(dāng)m=1時,(*)式顯然不成立.

當(dāng)m=3時,由(*)式可得n=1,此時S2=3S1,滿足題意.

當(dāng)m=2時,(*)式可化為3n-1=(n+1)(n-1).設(shè)存在k1、k2∈N,k1

于是n=2,S4=2S3,滿足題意.

綜上,存在正整數(shù)對(2,2),(3,1)滿足題意.