李蓉芳

(甘肅省臨澤縣職教中心，734200)

求解三角函數(shù)的最值問題是高考的熱點題型之一.解決這類問題，不僅要用到三角函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、圖象和三角函數(shù)的恒等變形等知識,還常常涉及到函數(shù)、不等式、方程、幾何等眾多知識，綜合性很強，許多同學(xué)面對這類問題常覺得難以下手.但只要熟悉三角函數(shù)的特性,掌握三角函數(shù)與方程、導(dǎo)數(shù)之間的轉(zhuǎn)化,最值問題也就迎刃而解了．本文結(jié)合一道高考變式題,從不同的解題角度,探究該類題型的解題方法．

解法1 (利用三角函數(shù)的有界性求最值)

∴sinx-ycosx=2y，

又∵|sin(x+φ)|≤1，

評注 解法1是從三角函數(shù)有界性即正弦函數(shù)值域小于或等于1出發(fā),對原函數(shù)進(jìn)行變形,利用有界性將三角函數(shù)最大值問題變成解不等式．

解法2 (利用二次方程的判別式求最值)

兩邊平方整理，得

(y2+1)cos2x+4y2cosx+4y2-1=0

Δ=4y4-4(y2+1)(4y2-1)≥0，

評析 解法2是把三角函數(shù)最值問題轉(zhuǎn)化成了同學(xué)們掌握更為牢固的二次方程問題．首先對函數(shù)進(jìn)行變化整理,變成一個關(guān)于cosx的二次方程,再根據(jù)二次方程有解的條件借助判別式解出最大值．

解法3 (利用換元轉(zhuǎn)化為均值不等式求最值)

評注 解法3利用換元,將sinx和cosx變成t的函數(shù),使得轉(zhuǎn)化后的函數(shù)中僅含一個三角函數(shù),此時再解不等式即可得出最值．

解法4 (利用導(dǎo)數(shù)求最值)

f′(x)

評注 不管是三角函數(shù)，還是其他函數(shù),本質(zhì)上都是函數(shù),所以求三角函數(shù)最值問題也都是求函數(shù)最值問題．而求導(dǎo)就是求函數(shù)最值問題最基本思路之一,故也可用于解答此題．

解法5 (利用數(shù)形結(jié)合求最值)

如圖1的單位圓中,∠MOP=x(其中x∈(0,π).

P(2,0),M(-cosx,-sinx)

PA為單位圓切線,當(dāng)M位于切點A時,PM斜率最大.

評注 此解法是一種特殊解法,利用了數(shù)形結(jié)合的思想,將函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為圖形問題,借助直線斜率求得最大值．

綜上所述,分式型三角函數(shù)的最值問題,對數(shù)學(xué)思維要求高,綜合性強,解法多樣,但其基本思路是將最值問題轉(zhuǎn)化為解不等式問題．對于大多數(shù)最值問題,可采用解法1、2的解題思路,即通過簡單轉(zhuǎn)化,將最值問題轉(zhuǎn)化為大家熟知的三角函數(shù)、二次函數(shù)等問題,再通過解不等式得到答案,這兩種方法都是容易掌握的．解法3需要熟悉三角函數(shù)之間的恒等變形,要有一定的變形能力．最后兩種方法則是對于某些特別的分式型三角函數(shù)有用,可讓同學(xué)們了解，這有利于思維拓展.總之，如何解決應(yīng)根據(jù)其結(jié)構(gòu)特點靈活選擇．