封志紅

(江蘇省泰興中學(xué)，225400)

一、教學(xué)目標(biāo)

知識(shí)技能 (1)了解數(shù)系發(fā)展歷史和數(shù)集的擴(kuò)展過程;(2) 理解復(fù)數(shù)的有關(guān)概念以及符號(hào)表示.

過程與方法 經(jīng)歷數(shù)系的擴(kuò)充過程,體驗(yàn)復(fù)數(shù)引入的必要,探究復(fù)數(shù)相等的概念,領(lǐng)悟類比的思想方法.

情感與態(tài)度 在問題情境中了解數(shù)系的擴(kuò)充過程,體會(huì)實(shí)際需求;由數(shù)系的擴(kuò)充過程,感受人類理性思維的作用以及數(shù)與現(xiàn)實(shí)世界的聯(lián)系.

二、教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)

重點(diǎn) 對(duì)引入復(fù)數(shù)的必要性的認(rèn)識(shí),理解復(fù)數(shù)的基本概念.

難點(diǎn) 虛數(shù)單位i的引入以及復(fù)數(shù)概念的生成.

三、教學(xué)流程與設(shè)計(jì)意圖

1. 設(shè)置情境,再現(xiàn)歷史

問題1 將10分成兩部分,使兩者的乘積為40.

設(shè)計(jì)意圖 一方面展示數(shù)學(xué)家卡當(dāng)?shù)娘L(fēng)采,激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣;另一方面,引領(lǐng)學(xué)生重溫歷史,感悟數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)并不神秘,數(shù)學(xué)家也是從常規(guī)問題入手的.

問題2 有沒有兩數(shù)之和為10且積為40呢?那為什么剛才的問題無解呢?

設(shè)計(jì)意圖 充分暴露數(shù)學(xué)家的思維過程.一方面讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)家的科研精神；另

一方面讓學(xué)生處于“憤悱”狀態(tài).

問題3 實(shí)數(shù)集中有沒有這樣的兩個(gè)數(shù)?

設(shè)計(jì)意圖 打破原有認(rèn)知平衡,形成認(rèn)知沖突,讓學(xué)生感受到原有的數(shù)已經(jīng)不夠用了,體現(xiàn)學(xué)習(xí)新知識(shí)的必要性.

2. 設(shè)計(jì)問題,追溯歷史

問題4 數(shù)集經(jīng)歷了哪幾次擴(kuò)充?

設(shè)計(jì)意圖 學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)過自然數(shù)、整數(shù)、分?jǐn)?shù)、負(fù)數(shù)、有理數(shù)、無理數(shù)、實(shí)數(shù)等.在此基礎(chǔ)上,幫助學(xué)生重新建構(gòu)數(shù)集的擴(kuò)充過程,即自然數(shù)集→整數(shù)集→有理數(shù)集→實(shí)數(shù)集.這是學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”,也是本節(jié)課知識(shí)的生長(zhǎng)點(diǎn).

問題5 數(shù)集的每一次擴(kuò)充分別解決了哪些問題?

計(jì)意意圖 學(xué)生通過小組合作交流、回憶、思考每次數(shù)集擴(kuò)充的必要性,解決了哪些問題,即數(shù)集為什么要擴(kuò)充?通過板書:

讓學(xué)生感受到這些數(shù)的產(chǎn)生不是從天而降,既是數(shù)學(xué)內(nèi)部發(fā)展的需要,也是社會(huì)發(fā)展

的需要.

問題6 這幾次擴(kuò)充有什么共同的特點(diǎn)?

設(shè)計(jì)意圖 一方面培養(yǎng)學(xué)生的觀察、概括與表達(dá)能力;另一方面通過對(duì)前幾次數(shù)集擴(kuò)充的梳理,為數(shù)系的再一次擴(kuò)充以及如何擴(kuò)充打好堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).讓學(xué)生感受到數(shù)系擴(kuò)充的合理性,并能提煉出數(shù)系擴(kuò)充的一般原則.由此,突破本節(jié)課的一個(gè)難點(diǎn).

3. 借鑒歷史,生成理論

設(shè)計(jì)意圖 引領(lǐng)學(xué)生再現(xiàn)卡當(dāng)問題,將問題轉(zhuǎn)化為找一個(gè)數(shù)的平方為-1,而且運(yùn)用規(guī)范醒目的板書和留白藝術(shù),給予學(xué)生充分思考問題的時(shí)間與空間,從而讓“引入新數(shù)”水到渠成.

T: 為什么用i呢?

i是“虛幻的”英文單詞imaginary的第一個(gè)字母.

T: 是誰引入了i呢?

卡當(dāng)只是發(fā)現(xiàn)了這個(gè)矛盾,它的引入者是被稱為“分析的化身”的瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉,引入時(shí)間公元1777年.從十六世紀(jì)到十八世紀(jì),歷史的車輪已經(jīng)行進(jìn)了兩百多年,可見科學(xué)上每一步的邁出是多么的艱辛!而這一年又是與虛數(shù)單位i結(jié)下不解之緣的高斯誕辰之年.數(shù)學(xué)的歷史充滿了不少巧合.

設(shè)計(jì)意圖 教師通過自問自答,介紹與虛數(shù)單位i有關(guān)的歷史,激發(fā)學(xué)生興趣,強(qiáng)化對(duì)i的認(rèn)識(shí),并讓學(xué)生感受到科學(xué)上每一步的邁出是多么的艱辛!

問題7 引入i后,你能寫出卡當(dāng)要找的數(shù)嗎?

問題8 你還能寫出其他含有i的數(shù)嗎?

設(shè)計(jì)意圖 學(xué)生利用新知解決卡當(dāng)問題,通過舉例,加深對(duì)i的理解,為復(fù)數(shù)代數(shù)形式的建構(gòu)奠定基礎(chǔ).

問題9 你能寫出一個(gè)形式,把剛才所寫出來的數(shù)都包含在內(nèi)嗎?

設(shè)計(jì)意圖 數(shù)學(xué)需要形式化、符號(hào)化.復(fù)數(shù)的代數(shù)形式正是這一體現(xiàn),也是本節(jié)課的重點(diǎn)與難點(diǎn).筆者通過設(shè)計(jì)問題7、8的鋪墊,對(duì)問題9的提出,引導(dǎo)學(xué)生由特殊到一般,抽象概括出復(fù)數(shù)的代數(shù)形式,培養(yǎng)學(xué)生抽象概括能力.

問題10a+bi(a,b∈R)一定是虛數(shù)嗎？

設(shè)計(jì)意圖 引導(dǎo)學(xué)生自然而然地想到要對(duì)復(fù)數(shù)進(jìn)行分類,從而深化對(duì)復(fù)數(shù)概念的理解,攻克本節(jié)課的重點(diǎn).

4. 精選例題,學(xué)以致用

例1 請(qǐng)你說出下列集合之間的關(guān)系:N,Z,Q,R,C.

例2 寫出下列復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部,并指出哪些是實(shí)數(shù),哪些是虛數(shù),哪些是純虛數(shù).

例3 實(shí)數(shù)m取什么值時(shí),復(fù)數(shù)z=m(m-1)+(m-1)i是

(1)實(shí)數(shù)？(2)虛數(shù)？(3)純虛數(shù)？

問題11 對(duì)于復(fù)數(shù)z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R)在什么情況下相等呢?

例4 已知(x+y)+(x-2y)i=(2x-5)+(3x+y)i,求實(shí)數(shù)x,y的值.

設(shè)計(jì)意圖 例1主要是前后呼應(yīng),采用概念同化的方式完善認(rèn)知結(jié)構(gòu);例2、例3主要是鞏固復(fù)數(shù)的分類標(biāo)準(zhǔn);例題4主要是強(qiáng)化復(fù)數(shù)相等的充要條件，讓學(xué)生在解決問題的過程中內(nèi)化復(fù)數(shù)有關(guān)概念,起到及時(shí)反饋、學(xué)以致用的功效.

5. 反思總結(jié),提煉收獲

T:回顧本節(jié)課,你有哪些收獲呢?

回顧本節(jié)課,i的引入者是歐拉,問題的提出者是卡當(dāng).卡當(dāng)雖然沒有解決問題,但他依然是大數(shù)學(xué)家,因?yàn)?發(fā)現(xiàn)問題比解決問題更重要.哈爾莫斯說,問題是數(shù)學(xué)的心臟.

會(huì)不會(huì)還有復(fù)數(shù)以外的數(shù)呢?數(shù)學(xué)是無窮的科學(xué),正如這無邊無際的海洋.我們就是這一葉扁舟,在知識(shí)的海洋探索永無止境,正如屈原所說“路漫漫其修遠(yuǎn)兮,吾將上下而求索.”以此和大家共勉.

(投影:問題是數(shù)學(xué)的心臟.數(shù)學(xué)是無窮的科學(xué).路漫漫其修遠(yuǎn)兮,吾將上下而求索.)

設(shè)計(jì)意圖 通過學(xué)生總結(jié)、教師提煉,深化內(nèi)容,讓學(xué)生體會(huì)數(shù)系擴(kuò)充過程中蘊(yùn)含的創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力,感受人類理性思維的作用以及數(shù)與現(xiàn)實(shí)世界的聯(lián)系.最后,以三句名言作為結(jié)束語,期望與學(xué)生產(chǎn)生共鳴.