周 輝

(江蘇省高淳高級(jí)中學(xué)，211300)

一、案例背景

在近年的高考?jí)狠S題中,用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值及不等式問(wèn)題，成為命題趨勢(shì).用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)綜合問(wèn)題,最終都會(huì)歸結(jié)為對(duì)函數(shù)單調(diào)性的判斷,而函數(shù)的單調(diào)性又與導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)有著密切的聯(lián)系.可以說(shuō)，函數(shù)零點(diǎn)的求解或估算，是函數(shù)綜合問(wèn)題的核心.函數(shù)的零點(diǎn)是高中數(shù)學(xué)中的一個(gè)極其重要的概念,經(jīng)常借助于方程、函數(shù)的圖象等加以解決.

二、課堂簡(jiǎn)錄

師:導(dǎo)數(shù)是高中數(shù)學(xué)知識(shí)體系的重要組成部分,是研究函數(shù)性質(zhì)的重要工具.利用導(dǎo)數(shù)工具能解決一些什么問(wèn)題?

生:切線、單調(diào)性、極值、最值.

師:求極值最值的一般步驟是怎樣的?

生:令f′(x)=0，解方程求得導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn),判斷零點(diǎn)左右導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)得到原函數(shù)的單調(diào)性,再求出原函數(shù)的極值最值.

師:我們來(lái)看一個(gè)最值問(wèn)題.

例1求函數(shù)f(x)=x-elnx的最小值. (投影學(xué)生解答過(guò)程)

x(0,e)e(e,+∞) f '(x)-0+ f (x)減極小增

所以,f(x)min=f(e)=0.

設(shè)計(jì)意圖本題旨在復(fù)習(xí)回顧求極值最值的一般流程,感知導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)的作用,是導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)的研究起點(diǎn),也為后續(xù)問(wèn)題的研究提供方法準(zhǔn)備.

師:我們?cè)賮?lái)看一個(gè)最值問(wèn)題.

例2求函數(shù)f(x)=ex-e lnx的最小值.(投影學(xué)生解答過(guò)程)

x(0,1)1(1,+∞) f '(x)-0+ f (x)減極小增

所以,f(x)min=f(1)=e.

師:本題中導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)是怎樣得到的?(引導(dǎo)學(xué)生先考慮存在性)

生:猜出來(lái)的.

師:很好,本題中方程f′(x)=0為超越方程,我們不會(huì)解,但可通過(guò)觀察,猜出其零點(diǎn).那么一般我們都怎么猜?

生:含有ex的式子我們會(huì)取0、1、-1、ln 2，等等;含有l(wèi)nx的式子我們會(huì)取1、e、e2等等.這樣取值方便計(jì)算.

師:猜出一個(gè)零點(diǎn),你覺(jué)得會(huì)有什么問(wèn)題嗎?(引導(dǎo)學(xué)生先考慮唯一性)

生:可能還有其它零點(diǎn)我們看不出來(lái).

師:是的,那怎么判定零點(diǎn)的個(gè)數(shù)?

生:對(duì)導(dǎo)數(shù)再求導(dǎo),判斷導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性.

生:觀察零點(diǎn),求導(dǎo)驗(yàn)證.

設(shè)計(jì)意圖當(dāng)f′(x)=0為超越方程時(shí),我們不會(huì)求解,此時(shí)我們可以觀察導(dǎo)函數(shù),找出導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn),為驗(yàn)證零點(diǎn)的唯一性,對(duì)導(dǎo)函數(shù)再求導(dǎo),判斷導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性,將本題的方法歸納為:觀察零點(diǎn),求導(dǎo)驗(yàn)證.通過(guò)設(shè)問(wèn)，引導(dǎo)學(xué)生從存在性與唯一性兩個(gè)方面積極思考,并得到問(wèn)題的解決方案.

例3函數(shù)f(x)=ex-lnx,求證:f(x)>2恒成立.

師:導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)可求嗎?可猜嗎?

生:不可求也不可猜.

師:如何解決呢?(引導(dǎo)學(xué)生對(duì)零點(diǎn)存在性的探索)

生:先判斷有沒(méi)有零點(diǎn).

x(0,x0)x0(x0,+∞) f '(x)-0+ f (x)減極小增

所以,f(x)min=f(x0)=ex0-lnx0.

設(shè)計(jì)意圖當(dāng)f′(x)=0為超越方程不可解,也猜不出其零點(diǎn),問(wèn)題的解決又需要這個(gè)零點(diǎn),引導(dǎo)學(xué)生先利用零點(diǎn)存在定理判斷零點(diǎn)的存在性,再由導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性驗(yàn)證零點(diǎn)的唯一性,進(jìn)而求得原函數(shù)的單調(diào)性與最值.

師:問(wèn)題轉(zhuǎn)化為f(x0)=ex0-lnx0大于2,那么如何證明呢?

師:上述解答過(guò)程的兩個(gè)關(guān)鍵步驟是什么?

生:判斷零點(diǎn)的存在性,利用等式f′(x0)=0對(duì)目標(biāo)回代化簡(jiǎn).

師:為什么要回代?如何回代?

生:回代化簡(jiǎn)方便求解,化超越式為普通式.

設(shè)計(jì)意圖引導(dǎo)學(xué)生利用方程f′(x0)=0對(duì)目標(biāo)式進(jìn)行回代化簡(jiǎn),以方便求證所求目標(biāo).

設(shè)計(jì)意圖利用二分法縮小零點(diǎn)的存在區(qū)間進(jìn)而縮小所求目標(biāo)的范圍,當(dāng)零點(diǎn)存在區(qū)間足夠小時(shí),可得函數(shù)最值的近似值,體會(huì)二分法的思想.

課堂練習(xí):

1.(2017年南京一模)設(shè)函數(shù)f(x)=(x-3)lnx,關(guān)于x的不等式2λ≥f(x)有解,求出整數(shù)λ的最小值.

解法略.

設(shè)計(jì)意圖通過(guò)課堂練習(xí),鞏固本節(jié)課探究的解題方法,了解學(xué)生掌握情況.

課后探究:

三、案例反思

(1)高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)側(cè)重全面復(fù)習(xí),夯實(shí)基礎(chǔ),提升能力.高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí),以大專題為主,構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò),強(qiáng)調(diào)復(fù)習(xí)的廣度,跨度大、思維跳躍性強(qiáng).為了突出重點(diǎn),突破難點(diǎn),提升解題能力,在一輪、二輪復(fù)習(xí)過(guò)程中,適當(dāng)穿插一些微專題,選取高考中的重點(diǎn)難點(diǎn),展開(kāi)微專題的形式探究,精準(zhǔn)突破學(xué)生學(xué)習(xí)中的難點(diǎn),提高復(fù)習(xí)效率.微專題因指向性強(qiáng)、提升學(xué)生能力實(shí)效性高等特點(diǎn),高三復(fù)習(xí)普遍采用.

(3)微專題“微”在精心預(yù)設(shè).本微專題精心設(shè)計(jì)了三個(gè)例題,第一題導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)存在可解,第二題導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)存在難求解但可猜,第三題導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)存在難求解也不可猜,問(wèn)題的設(shè)計(jì)由易到難,層層推進(jìn),揭示問(wèn)題的來(lái)龍去脈.問(wèn)題的設(shè)計(jì)應(yīng)做到目標(biāo)明確，重點(diǎn)突出，刪繁就簡(jiǎn)，直擊要害.同時(shí)精心預(yù)設(shè)課堂問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生思考,如，“導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)可求嗎?可猜嗎?如何解決呢?”引導(dǎo)學(xué)生對(duì)零點(diǎn)存在性的探索.再如， “猜出一個(gè)零點(diǎn),你覺(jué)得會(huì)有什么問(wèn)題嗎?” 引導(dǎo)學(xué)生考慮零點(diǎn)的唯一性.

(4)微專題“微”在學(xué)生探究.微專題的教學(xué)重在學(xué)生探究,綜合運(yùn)用小組合作、討論、探究、展示等多種組織形式,讓學(xué)生充分交流、各抒己見(jiàn),完成知識(shí)體系的建構(gòu)、思維模式的建立.突出學(xué)生的主體地位,將學(xué)生自探、互探、悟探融為一體,教師應(yīng)根據(jù)實(shí)際需要,在一些思維的關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)進(jìn)行點(diǎn)撥引導(dǎo)，發(fā)揮教師的主導(dǎo)作用.