黃基榮 廖克杰

(廣西南寧市第三中學(xué)，530201)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準》提出數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運算、數(shù)據(jù)分析等六大數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).高中數(shù)學(xué)教材充分考慮了數(shù)學(xué)學(xué)科的基本特征和學(xué)生的認知規(guī)律,為“教”與“學(xué)”提供了很好的主題和內(nèi)容,是實現(xiàn)高中數(shù)學(xué)課程目標(biāo)、培養(yǎng)高中生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要教學(xué)資源.“獨立性檢驗的基本思路及其初步應(yīng)用”蘊含著豐富的統(tǒng)計思想,有利于學(xué)生形成數(shù)學(xué)直觀,增強基于數(shù)據(jù)表達現(xiàn)實問題的意識,是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)分析等核心素養(yǎng)的理想教材.“問題是數(shù)學(xué)的心臟”,以問題為紐帶,可以引發(fā)學(xué)生深度思考,從而思維得到有效鍛煉.因此,本文以“獨立性檢驗的基本思路及其初步應(yīng)用”為例,談?wù)勗诮y(tǒng)計專題中以問題為導(dǎo)向,落實核心素養(yǎng)的認識與實踐.

一、創(chuàng)設(shè)情境,引出問題

創(chuàng)設(shè)情境若以教師敘述為主,容易引發(fā)認知疲勞,不利于學(xué)生主動學(xué)習(xí).因此以問題為載體,有利于激活學(xué)生的認知活力,讓學(xué)生進行探究,主動思考、自然生長.

視頻播放“美國煙民患肺癌去世,煙草公司被判236億美元天價賠償”，“韓國肺癌患者敗訴,狀告煙草公司賠償無果”的新聞. 接著就以下問題與學(xué)生進行交流.

問題1兩起案件中被告方申辯的主要依據(jù)是什么?

問題2要研究吸煙與患肺癌是否有關(guān)系,應(yīng)收集哪幾方面的數(shù)據(jù)?

設(shè)計意圖通過真實法律案件激發(fā)學(xué)生的好奇心,為引入本課內(nèi)容做準備,同時也強調(diào)了本節(jié)內(nèi)容與實際生活緊密聯(lián)系,體現(xiàn)了數(shù)學(xué)從生活中來又應(yīng)用于生活的價值.

二、案例展示,初步體驗

學(xué)生通過具體案例剖析,通過數(shù)與形直觀感受“吸煙與患肺癌有關(guān)系”,使學(xué)生形成數(shù)學(xué)直觀,在具體的情境中感知事物本質(zhì)的能力.

為調(diào)查吸煙是否對患肺癌有影響,某腫瘤研究所隨機地調(diào)查了9 965人,得到如下結(jié)果:

不患肺癌患肺癌總計 不吸煙7 775427 817 吸煙2 099492 148 總計9 874919 965

師生活動:教師引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光，觀察統(tǒng)計表格的結(jié)構(gòu)特點以及核心數(shù)據(jù),介紹分類變量和2×2列聯(lián)表的概念.組織學(xué)生討論如下問題.

問題3請你用學(xué)過的統(tǒng)計知識來分析“吸煙與患肺癌是否有關(guān)”的數(shù)據(jù),你能獲得什么結(jié)論?

師生活動:學(xué)生利用頻率分布表初步感知吸煙與患肺癌有關(guān),教師用Excel表格作出等高條形圖,引導(dǎo)學(xué)生分析圖形的頻率特征,直觀體現(xiàn)兩者的關(guān)系.

設(shè)計意圖讓學(xué)生體驗讀取、整理、分析和用數(shù)據(jù)說話的過程,體會統(tǒng)計的作用,進一步培養(yǎng)學(xué)生基于數(shù)據(jù)表達現(xiàn)實問題的意識.

三、勤于思考,探究新知

問題4你能有多大的把握認為”與患肺癌有關(guān)”？

教師先不急于引導(dǎo),而是給學(xué)生留有充足的時間獨立思考,接著小組合作探究,互相交流解決問題的方法. 直接研究兩個分類變量有關(guān)比較困難,可以引導(dǎo)學(xué)生將問題轉(zhuǎn)化為研究兩個分類變量無關(guān),即相互獨立,引出獨立性檢驗的思想.

假設(shè)H0:吸煙與患肺癌沒有關(guān)系

用A表示不吸煙,B表示不患肺癌,則“吸煙與患肺癌沒有關(guān)系”等價于“吸煙與患肺癌相互獨立”,即假設(shè)H0等價于P(AB)=P(A)P(B).

設(shè)計意圖前面通過頻率分布表和等高條形圖,學(xué)生已直觀感受到了吸煙與患肺癌有關(guān)系,教師再引導(dǎo)學(xué)生運用相關(guān)概率知識分析吸煙與患肺癌之間關(guān)系的大小,由感性分析過渡到理性分析,體現(xiàn)數(shù)學(xué)的嚴謹性.

問題5如何表示P(AB)、P(A)和P(B)?在H0成立的條件下，你能得出什么結(jié)論?

師生活動:將數(shù)據(jù)一般化,用a,b,c,d來表示,得到如下列聯(lián)表:

不患肺癌患肺癌總計 不吸煙aba+b 吸煙cdc+d 總計a+cb+da+b+c+d

學(xué)生以頻率來代替概率,在假設(shè)H0成立的條件下推導(dǎo)得出ad≈bc.

問題6如何通過|ad-bc|的大小判定兩個分類變量之間關(guān)系的大小?

學(xué)生:|ad-bc|越小,說明吸煙與患肺癌之間關(guān)系越弱;|ad-bc|越大,說明吸煙與患肺癌之間關(guān)系越強.

設(shè)計意圖讓學(xué)生通過“用頻率估計概率”自主探究獲得判斷“兩個分類變量之間關(guān)系的大小”的粗略方法,充分鍛煉學(xué)生讀取數(shù)據(jù)以及用數(shù)學(xué)的思維分析問題的能力,落實數(shù)據(jù)分析這一核心素養(yǎng)的培養(yǎng).

問題7如何評判“大”和“小”的標(biāo)準呢?

教師:在統(tǒng)計學(xué)中,為度量觀測值與預(yù)期值的差值,1900年,英國著名的生物統(tǒng)計學(xué)家、應(yīng)用數(shù)學(xué)家、科學(xué)哲學(xué)家皮爾遜(K.Pearson)引進了著名的卡方統(tǒng)計量:

(其中n=a+b+c+d為樣本容量).

“卡方檢驗法” 提出后得到了廣泛的應(yīng)用,在現(xiàn)代統(tǒng)計理論中占有重要地位.

設(shè)計意圖介紹K2公式的由來,在課堂上增加數(shù)學(xué)史內(nèi)容,讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)發(fā)展的過程,體會數(shù)學(xué)的人文價值,提升學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.

師生活動:教師引導(dǎo)學(xué)生觀察隨機變量K2公式的結(jié)構(gòu)特點,然后給出K2的臨界值表,加以解釋,并簡單介紹小概率事件的標(biāo)準.

臨界值表:

p(k≥k0)0.500.400.250.150.10 k00.4550.7081.3232.0722.706 p(k≥k0)0.050.0250.0100.0050.001 k03.8415.0246.6367.87910.828

問題8我們以k0=6.635為例,如何理解在H0成立的情況下,P(K2≥6.635)≈0.010的含義呢?

師生活動:教師提問,學(xué)生討論、解釋P(K2≥6.635)≈0.010體現(xiàn)的統(tǒng)計學(xué)意義,使學(xué)生明白:① 在H0成立的情況下,K2≥6.635的概率不到0.010,是一個小概率事件.若其發(fā)生,則可以否定H0成立,即認為吸煙與患肺癌有關(guān)系.② “H0成立”的概率不超過0.010.或者說判斷“H0不成立”會犯錯誤,但犯錯誤的概率不會超過0.010.

讓學(xué)生根據(jù)表格中的具體數(shù)據(jù),動筆計算K2的觀測值，其中

教師:如何快速計算上述式子?

部分學(xué)生能計算得到56.632,教師引導(dǎo)學(xué)生通過提取平方項的公因數(shù),提高化簡效率.在教學(xué)過程中強調(diào)算理意識,有效落實數(shù)學(xué)運算核心素養(yǎng)的培養(yǎng).

教師:根據(jù)以上分析,請解釋在H0成立的情況下,P(56.632≥6.635)≈0.010的含義.

學(xué)生1:“吸煙與患肺癌有關(guān)系”這種判斷會犯錯誤,但犯錯誤的概率不會超過0.010.

學(xué)生2:我們有99%的把握認為“吸煙與患肺癌有關(guān)系”.

此時教師應(yīng)當(dāng)指出:對于實際問題,臨界值的確定不能根據(jù)觀測數(shù)據(jù)的結(jié)果,需要在獲取觀測數(shù)據(jù)之前確定.

設(shè)計意圖把卡方臨界值表提前講述,使P(56.632≥6.635)≈0.010的引入更加符合邏輯,同時也更利于學(xué)生對獨立性檢驗思想的理解.通過反復(fù)提問,讓學(xué)生學(xué)會利用概率知識準確地對實際問題下統(tǒng)計學(xué)的結(jié)論,體會數(shù)學(xué)的嚴謹性,培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界和用數(shù)學(xué)的語言表達世界的素養(yǎng).

四、理解運用,鞏固練習(xí)

例1在某醫(yī)院,因為患心臟病而住院的665名男性病人中,有214人禿頂,而另外772名不是因為患心臟病而住院的男性病人中有175人禿頂.

(1)利用圖形判斷禿頂與患心臟病是否有關(guān);

(2)能否在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認為禿頂與患心臟病有關(guān)系?

練習(xí):有甲乙兩個班級進行一門課程的考試,按照學(xué)生考試成績優(yōu)秀和不優(yōu)秀統(tǒng)計成績后,得到如下的列聯(lián)表:

優(yōu)秀不優(yōu)秀總計 甲班103545 乙班73845 總計177390

請畫出列聯(lián)表的等高條形圖,并通過圖形判斷成績與班級是否有關(guān)系.根據(jù)列聯(lián)表的獨立性檢驗,能否在犯錯誤的概率不超過0.01 的前提下認為成績與班級有關(guān)系?

設(shè)計意圖讓學(xué)生再次熟悉獨立性檢驗的基本步驟,強調(diào)規(guī)范的書寫過程,提升用數(shù)學(xué)的語言表達世界的素養(yǎng).

五、總結(jié)反思,歸納提升

教師引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)上述解決問題的過程,先讓學(xué)生回答,然后教師再補充完善.

設(shè)計意圖由具體問題總結(jié)得出判別“兩個分類變量有關(guān)系”的一般方法,引出獨立性檢驗的定義,讓學(xué)生體會由特殊到一般的過程.

獨立性檢驗定義:上面這種利用隨機變量K2來判斷“兩個分類變量有關(guān)系”的方法,稱為兩個分類變量的獨立性檢驗.

教師再次引導(dǎo)學(xué)生對判斷兩個分類變量是否相關(guān)的一般步驟進行總結(jié),進一步加深對獨立性檢驗的原理以及方法的理解:

① 給出假設(shè)H0:兩個分類變量無關(guān).② 計算K2的觀測值k.③ 查表確定臨界值k0.④ 作出判斷:有(1-P(k≥k0))×100%的把握認為兩個分類變量有關(guān);或者說在犯錯誤的概率不超過P(k≥k0)的前提下,認為這兩個分類變量有關(guān).

問題9獨立性檢驗的原理與反證法有什么區(qū)別和聯(lián)系?

師生活動:學(xué)生總結(jié),不斷補充,最后教師完善.

設(shè)計意圖與熟悉的方法進行比較,加深學(xué)生對獨立性檢驗思想方法的理解與掌握,并且通過新舊知識的對比,幫助學(xué)生建立新舊知識的內(nèi)在聯(lián)系,完善知識結(jié)構(gòu).

教學(xué)設(shè)計通過“吸煙與患肺癌是否有關(guān)”典型案例的探究,了解獨立性檢驗的基本思想、方法. 以問題為導(dǎo)向,遵循概念教學(xué)中的直觀性、理解性、反面性原則去充分暴露概念的創(chuàng)造性過程. 讓學(xué)生觀察、思考,培養(yǎng)學(xué)生對數(shù)據(jù)的直觀感受,體會統(tǒng)計方法的特點. 進一步地設(shè)置問題,引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷數(shù)據(jù)處理的過程,體會運用數(shù)據(jù)分析解決實際問題的基本思想與方法,提高抽象概括能力和邏輯思維能力,培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界和用數(shù)學(xué)的語言表達世界的素養(yǎng).