鮮永菊，扶坤榮，吳周青，徐昌彪

(1.重慶郵電大學 通信與信息工程學院，重慶 400065；2.重慶郵電大學 光電工程學院，重慶 400065)

0 引 言

混沌是確定與不確定、規(guī)則與非規(guī)則、有序與無序融為一體的現(xiàn)象，是非線性系統(tǒng)中所特有的一種運動形式，在電子信息工程、生物醫(yī)藥工程、動力學工程等領域中有著廣泛的應用前景[1-4]。

自麻省理工大學氣象學家Lorenz發(fā)現(xiàn)第一個奇怪吸引子—Lorenz吸引子以來，人們經(jīng)過不斷的研究與探索，發(fā)現(xiàn)了許多新的混沌系統(tǒng)，如Chen,Lü,Bao等。大量研究工作表明，新型混沌系統(tǒng)的發(fā)現(xiàn)，能為研究混沌的應用提供理論基礎，因此，尋找新型的混沌系統(tǒng)具有重要的研究價值[5]。

具有共存吸引子的系統(tǒng)在工程中有更高的靈活性和可塑性，因此，共存吸引子在許多實際系統(tǒng)中有著廣泛的應用價值[6]。在復雜性科學領域，共存吸引子的研究是一項非常有趣和富有挑戰(zhàn)性的工作。對于給定的系統(tǒng)參數(shù)，現(xiàn)有的混沌系統(tǒng)大多只有一個混沌吸引子，只有少數(shù)文獻提到具有多個共存吸引子的系統(tǒng)[7-10]。文獻[7]提出了一個無平衡存在部分重疊的共存混沌吸引子的三維自治連續(xù)混沌系統(tǒng)。文獻[8]提出了一個多吸引子共存的新三維自治連續(xù)Jerk系統(tǒng)，其中有周期與混沌、混沌與混沌吸引子共存。文獻[9]提出了一類含有周期函數(shù)的三維混沌系統(tǒng)，其具有無窮混沌吸引子共存。文獻[10-11]均提出了一個新的四維混沌系統(tǒng)，其中有周期與周期、周期與混沌、混沌與混沌吸引子共存。文中所提系統(tǒng)具有與上述文獻不同的和平共存復雜動態(tài)行為，具有多種類型的吸引子共存，不同吸引子形態(tài)如周期1、周期2、周期4、混沌吸引子均與一個周期1吸引子共存。

本文在Bao系統(tǒng)[12]的基礎上提出了一個新的三維自治連續(xù)混沌系統(tǒng)，通過相圖、李亞普諾夫指數(shù)(lyapunov exponent, LE)譜和分岔圖對系統(tǒng)的動力學行為進行了研究，發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)具有復雜的動力學行為，存在多種類型的吸引子共存。通過拓撲馬蹄理論和數(shù)值計算，得到了系統(tǒng)的拓撲馬蹄和拓撲熵，進一步證明了系統(tǒng)的混沌特性。對系統(tǒng)進行了Multisim模擬電路仿真和現(xiàn)場可編程門陣列(field-programmable gate array, FPGA)數(shù)字電路仿真實現(xiàn)，驗證了系統(tǒng)的混沌特性和可實現(xiàn)性。另外，基于Lyapunov穩(wěn)定理論，設計了一個自適應滑模同步控制器，仿真結果表明了所設計控制器的有效性。

1 系統(tǒng)的模型及其基本特性

1.1 系統(tǒng)模型

基于Bao系統(tǒng)，本文構建了一個新的三維自治混沌系統(tǒng)，數(shù)學模型為

(1)

(1)式中，x，y，z，為系統(tǒng)變量，a=5，b=4，c=14。

根據(jù)系統(tǒng)(1)，可得

1.2 平衡點及穩(wěn)定性

令系統(tǒng)方程(1)的左邊等于0，即

(2)

求解(2)式，可得系統(tǒng)的平衡點為

S0=(0,0,0)

S1=(6.132,4.965,2.175)

S2=(6.132,-14.098,-6.175)

S3=(-9.132,11.977,-7.812)

S4=(-9.132,-5.845,3.812)

(3)

令det(λI-J)=0(I為單位矩陣)，得到其特征方程為

f(λ)=λ3+A1λ2+A2λ+A3=0

(4)

(4)式中，

A1=b+c-a

當a=5，b=4，c=14時，其平衡點的穩(wěn)定性如表1。

表1 平衡點的穩(wěn)定性Tab.1 Stability of equilibrium points

1.3 動力學特性

取a=5，b=4，初始值為[1,1,1]，選擇c作為控制參數(shù)，時間步長Δt=0.001，迭代時間從t=0到t=200。采用文獻[12]所提方法以及四Runge-Kutta算法，分別計算出系統(tǒng)(1)的Lyapunov指數(shù)譜和分岔圖，如圖2、圖3?？梢钥闯觯琇yapunov指數(shù)譜和分岔圖能較好地吻合，該系統(tǒng)具有豐富的動力學行為。

當c從8向10增加時，系統(tǒng)(1)通向混沌的道路為倍周期分岔道路。當c=8時，為周期1軌道；當c=9.28時，為周期2軌道；當c=9.6時，為周期4軌道；當c=9.8時出現(xiàn)混沌吸引子，其LE分別為0.319 2，0.003 7和-9.122 9。

當c從12.2向11.8減小時，系統(tǒng)(1)通向混沌的道路為倍周期分岔道路，表現(xiàn)為倒分岔。當c=12.18時，為周期1軌道；當c=12.08時，由周期1軌道變成了周期2軌道；當c=12和c=11.8時出現(xiàn)混沌吸引子，其LE分別為0.306 4，0.002 5，-11.308 9和0.585 5，0.002 1，-11.387 6。

圖4a～圖4h分別給出了系統(tǒng)在上述參數(shù)下對應初始值為[1,1,1]和[-1,-1,-1]的相圖，其中初始值為[-1,-1,-1]時均為周期1吸引子，而初始值為[1,1,1]時出現(xiàn)周期1、周期2、周期4和混沌吸引子，即周期吸引子與周期吸引子、周期吸引子與混沌吸引子共存的情況。

2 系統(tǒng)中的拓撲馬蹄與拓撲熵

令D是度量空間A的緊子集，f:D→A是一個滿足存在D的m個互不相交的連通子集D1,D2,…,Dm，且對于每個Di都有f|Di連續(xù)。

定義1[13]對于任意1≤i≤m，令D1i和D2i為Di的2個互不相交的緊子集，對于Di的一個連通子集，若h∩D1i≠?和h∩D2i≠?，則稱h連接D1i和D2i，表示為(D1i?D2i)。

σ(q)=(…,q-n+1,…,q0,q1,q2,…,qn+1,…)

取參數(shù)az=-0.3，初始條件為[2,2,2]。選取的Poincare截面為Π={(x,y,z)|z=0}，選擇相應的龐加萊映射H：Π→Π如下：對每個(x,y,0)∈Π,H(x,y,0)是系統(tǒng)(1)在初始條件(x,y,0)的流下的第一回歸映射。使用HsTool工具箱中一個名為“A toolbox for finding horseshoes in 2D map”的Matlab GUI程序來尋找拓撲馬蹄，尋找拓撲馬蹄的詳細方法可參考文獻[15-16]。經(jīng)過多次嘗試，找到了一個拓撲馬蹄如圖5，其馬蹄映射如圖6。

其中，D1的4個頂點坐標為

(6.908 921 933,13.331 018 519)
(7.507 434 944,12.729 166 667)
(8.704 460 967,13.655 092 593)
(8.210 037 175,14.141 203 704)

D2的4個頂點坐標為

(9.328 996 283,14.743 055 556)
(9.797 397 770,14.256 944 444)
(9.276 951 673,13.909 722 222)
(8.704 460 967,14.303 240 741)

3 系統(tǒng)的電路實現(xiàn)

3.1 Multisim模擬仿真電路實現(xiàn)

采用線性電阻、電容、LM2924N型運算放大器、MULTIPLIER模擬乘法器，其中乘法器的輸出增益為0.1，從而設計出了系統(tǒng)(1)的模擬電子電路，如圖7。

根據(jù)電路圖以及電路理論，可得電路方程為

(5)

(5)式中，R1～R20為電阻，C1～C3為電容。取電容C1=C2=C3=1 μF，電阻R3=R5=R13=100 kΩ。令R4=R8=R9=R10=R14=R15=1 kΩ，對比系統(tǒng)(1)中的系數(shù)，可得R1=R19=12 kΩ，R2=30 kΩ，R6=R20=14 kΩ，R7=10 kΩ，R11=20 kΩ，R12=R17=40 kΩ，R16=50 kΩ，R18=200 kΩ。圖8為示波器上觀察到的結果，可以看出，實驗結果與數(shù)值仿真結果完全相符。

3.2 FPGA數(shù)字仿真電路實現(xiàn)

由于模擬器件的性能容易受到環(huán)境溫度、濕度以及器件老化的影響，故模擬電路實現(xiàn)混沌系統(tǒng)會嚴重影響系統(tǒng)的動力學特性，限制了模擬混沌電路在工程中的應用。采用FPGA數(shù)字電路技術實現(xiàn)混沌系統(tǒng)可以很好地避免這些問題，可以保證混沌吸引子的穩(wěn)定可靠，且FPGA以其強大的運算能力而被采用。

由于該系統(tǒng)是連續(xù)時間系統(tǒng)，F(xiàn)PGA無法直接處理。采用Euler算法將系統(tǒng)(1)離散化，得到的差分方程為

(6)

(6)式中，離散采樣時間步長取ΔT=0.001，用定點小數(shù)與截位計算相結合的方式對離散化方程中的實數(shù)進行處理，使其在FPGA中正確運算。通過板級驗證以及變量比例壓縮，通過Xilinx的FPGA開發(fā)軟件Vivado進行設計，在FPGA開發(fā)板上實現(xiàn)了系統(tǒng)(1)，實驗結果如圖9，其與Multisim軟件仿真以及計算機仿真結果一致。

4 系統(tǒng)的自適應滑模控制

考慮如下受控系統(tǒng)

(7)

定義滑模函數(shù)

(8)

(8)式中，e=z-r為跟蹤誤差，r為理想位置信號，k>0。

設計自適應控制器為

(9)

(10)

對參數(shù)估計誤差(10)求導得到

(11)

定義Lyapunov函數(shù)為

(12)

對V求導，將(9)—(10)式代入，得

b(xy+y2)-c(kz+xy-cz))-

(13)

參數(shù)更新定律如(14)式，則

(14)

根據(jù)Lyapunov穩(wěn)定性定理，可知受控系統(tǒng)(7)的平衡狀態(tài)是全局漸進穩(wěn)定的。

5 結束語

本文設計了一個新的三維自治連續(xù)混沌系統(tǒng)，通過數(shù)值仿真研究了系統(tǒng)的基本特性，發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)存在周期1與周期1、周期2、周期4和混沌吸引子共存的復雜動力學行為。通過數(shù)值計算，得到了系統(tǒng)的拓撲馬蹄，其拓撲熵為ent(f)=(1/6)log2，進一步證明了該系統(tǒng)的混沌特性。對系統(tǒng)進行了模擬電路和數(shù)字電路的仿真實現(xiàn)，驗證了系統(tǒng)的混沌特性和可實現(xiàn)性?；贚yapunov穩(wěn)定理論設計了一個自適應滑模同步控制器，實現(xiàn)對給定信號的追蹤與未知參數(shù)的辨識，并且通過數(shù)值仿真證明了控制器的有效性。