■梁立揚(yáng)(指導(dǎo)老師:褚人統(tǒng))

例題已知a＞0,f(x)=ln(2x+1)+2ax-4aex+4。當(dāng)a=1 時(shí),f(x)的最大值為0。若函數(shù)f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2,求a的取值范圍。

解法一：(常規(guī)解法),當(dāng)a＞0,且時(shí),f″(x)＜0,所以f′(x)在上為減函數(shù)。

①當(dāng)a=1時(shí),f(x)只有唯一零點(diǎn)。

②當(dāng)0＜a＜1 時(shí),f(0)=4-4a＞0,即f(x0)＞f(0)＞0,此時(shí)有2個(gè)零點(diǎn)。

③當(dāng)a＞1 時(shí),2a-4aex0=0。

f(x0)=ln(2x0+1)+2ax0-4aex0+。

又有f′(0)=2-2a＜0,故。

令g(x)=ln(2x+1)+2ax-,則g′(x)=,故g(x)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增。

而g(0)=2-2a＜0,故g(x)＜0,于是f(x0)＜0,所以當(dāng)a＞1時(shí)不存在零點(diǎn)。

解法二：(利用偏導(dǎo)數(shù)求解)令z=f(x)=ln(2x+1)+2ax-4aex+4,則za=z′a=2x-4ex(za以a為自變量,zx以x為自變量),表示固定某x時(shí),a方向斜率的增速)。

當(dāng)x=x0時(shí),4ex0為一常數(shù)且小于0,,所以原式z(a)遞減(a為自變量,x=x0為常數(shù))。

當(dāng)a=1時(shí),f(x)max=0。

所以當(dāng)a=1時(shí),f(x0,a)≤0。

又f(x)=ln(2x+1)+2ax-4aex+4(a＞0),并且,

所以僅當(dāng)0＜a＜1 時(shí),存在f(x)＞0(x=x0)(x為自變量,a為常數(shù)),當(dāng)0＜a＜1時(shí),存在有2個(gè)零點(diǎn)(如圖1所示)。

圖1

總結(jié)：兩種方法相比較,利用偏導(dǎo)數(shù)求解時(shí)的運(yùn)算過(guò)程更加簡(jiǎn)潔。很多高中數(shù)學(xué)問(wèn)題都可以采用多種方法解決,所以同學(xué)們?cè)谧鲱}時(shí),不能僅僅滿足于一道問(wèn)題的解答,而應(yīng)該關(guān)注同一道問(wèn)題可以采用哪些不同的方法解答,并比較不同解法的優(yōu)缺點(diǎn),拓展思維的寬度。同時(shí)同學(xué)們也不要局限于對(duì)課本知識(shí)的學(xué)習(xí),也可適當(dāng)關(guān)注導(dǎo)數(shù)、泰勒公式、柯西不等式等這些高等數(shù)學(xué)知識(shí),因?yàn)樵诮鉀Q數(shù)列放縮、不等式證明等問(wèn)題時(shí),通?？梢允勾蠹艺驹诟叩慕嵌瓤磫?wèn)題,更好地解答問(wèn)題。